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1、 1 跳格游戏跳格游戏 如图，一个人站在如图，一个人站在“梯子格梯子格”的起的起点处向上跳，从格外只能进入第点处向上跳，从格外只能进入第1 1格，从格格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：中，每次可向上跳一格或两格，问：可以可以用多少种方法，跳到第用多少种方法，跳到第n n格？格？ 解：设跳到第解：设跳到第n n格的方法有格的方法有 种。种。 由于他跳入第由于他跳入第1 1格，只有一种方法；跳格，只有一种方法；跳入第入第2 2格，必须先跳入第格，必须先跳入第1 1格，所以也只有格，所以也只有一种方法，从而一种方法，从而 而能一次跳入第而能一次跳入第n格的，只有第格的，只有第 和第和第 两格，
2、因此，跳入第两格，因此，跳入第 格的方法格的方法 数，是跳入第数，是跳入第 格的方法数格的方法数 ，加上跳入，加上跳入 第第 格的方法数格的方法数 之和。之和。 即即 。综合得递推公式。综合得递推公式 容易算出，跳格数列容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 三、三、 黄金分割黄金分割 1 定义：定义：把任一线段分割成两段，把任一线段分割成两段，使使 ，这样的分割叫黄金分割，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）（可以有两个分割点） 1小段小段大段大段 2 求黄金比求黄金比 解：设黄金比为解：
3、设黄金比为 ，不妨设全段长为，不妨设全段长为 1，则大段，则大段= ，小段，小段= 。 故有故有 ， 解得解得 ，其正根为，其正根为 A B 小段小段大段大段 3 黄金分割的尺规作图黄金分割的尺规作图 设线段为设线段为 。作。作 ，且，且 ，连，连 。作。作 交交 于于 ，再作再作 交交 于于 ，则，则 ， 即即为为 的黄金分割点。的黄金分割点。 证：不妨令证：不妨令 ，则，则 ， ， ， 证完。证完。 四、四、 优选法优选法 1 华罗庚的优选法（华罗庚的优选法（“法法”） 二二十十世世纪纪六六十十年年代代，华华罗罗庚庚创创 造造了了 并并证证 明明了了优优选选法法，还还用用很很大大的的精精力
4、力去去推推 广广优优选法。选法。 “优优选选法法”，即即对对某某类类单单因因素素问问题题，用用最少的试验次数找到最少的试验次数找到“最佳点最佳点”的方法。的方法。 例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到克到2000克之间，现克之间，现求最佳加入量求最佳加入量，误差，误差不得超过不得超过1克。最克。最“笨笨”的方法是分别加入的方法是分别加入100克，克，1002克，克，1000克，做克，做1千次试千次试验，就能
5、发现最佳方案验，就能发现最佳方案。 一种动脑筋的办法是二分法，取一种动脑筋的办法是二分法，取10001000克克20002000克的中点克的中点15001500克。再取进一步二分法的中点克。再取进一步二分法的中点12501250克与克与17501750克，分别做两次试验。如果克，分别做两次试验。如果17501750克处效克处效果较差，就删去果较差，就删去17501750克到克到20002000克的一段，如果克的一段，如果12501250克处效果较差，就删去克处效果较差，就删去10001000克到克到12501250克的一克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果段。再在剩下的一段中取中点
6、做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种决定下一次的取舍，这种“二分法二分法”会不断接近会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。减少。 表表 面面 上上 看看 来来 ， 似似 乎乎 这这 就就 是是 最最 好好 的的 方方法法 。 但但 华华 罗罗 庚庚 证证 明明 了了 ， 每每 次次 取取 中中 点点 的的 试试 验验方方 法法 并并 不不 是是 最最 好好 的的 方方 法法 ； 每每 次次 取取 试试 验验 区区 间间的的 处处 去去 做做 试试 验验 的的 方方 法法 ， 才才 是是 最最 好好的，称之为的，称之为“优选法优选法
7、”或或“法法”。 华华 罗罗 庚庚 证证 明明 了了 ， 这这 可可 以以 用用 较较 少少 的的 试试 验验次数，较快地逼近最佳方案。次数，较快地逼近最佳方案。 3） 股票指数增减的股票指数增减的“波浪理论波浪理论” 完完 整整 周周 期期 3上上2下下 （ 或或 5上上3下下 或或 3上上5下），常是相继两斐波那契数；下），常是相继两斐波那契数； 每每次次股股指指增增长长幅幅度度（ 8，13等等 ） 或或回回调调幅幅度度（ 8，5），常常是是相相继继两两斐斐波波那那契契数。数。 股指变化有无规律？回答是肯定的。股指变化有无规律？回答是肯定的。 1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料年美
8、国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的提出了颇有影响的“波浪理论波浪理论”。该理论认为：。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的（股指变化的图象）上的5（或（或8）个波组成，其）个波组成，其中中3上上2下（或下（或5上上3下），如图，无论从小波还是下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。从大波波形上看，均如此。 注意这儿的注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中均系斐波那契数列中的数。的数。 同同时时，每每次次股股指
9、指的的增增长长幅幅度度常常循循斐斐波波那那契契数数列列中中数数字字规规律律完完成成。比比如如：如如果果某某日日股股指指上上升升8点点，则则股股指指下下一一次次攀攀升升点点数数为为13；若若股股指指回回调调，其其幅幅度度应应在在5点点 左左右右。显显然然，5、8、13为为斐斐氏氏数数列列的的相相邻邻三三项。项。2） 用斐波那契数列及其推广变魔术用斐波那契数列及其推广变魔术 让观众从你写出的斐让观众从你写出的斐波那契数列中任意选波那契数列中任意选定连续的十个数，你定连续的十个数，你能很快说出这些数的能很快说出这些数的和。和。 其实有公式：这个和，就其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数是所选出的十个数中第七个数的的11倍。倍。 1 1 2 3 5 81321345589144233377610987“十秒钟加数十秒钟加数”的秘密的秘密数学数学家发现：连续家发现：连续 1010个个斐波斐波那契数之和，必定等于第那契数之和，必定等于第 7 7个个数数的的 11 11 倍！倍！1235813213455+89?所以右式的答案是：21 11 = 231“十秒钟加数十秒钟加数”的秘密的秘密又例如：右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710
