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1、第第4章章Cohen类时频分布类时频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 4.1 前言前言 4.2 Wigner分布与模糊函数分布与模糊函数 4.3 Cohen类时频分布类时频分布 4.4 时频分布所希望的性质时频分布所希望的性质 及核函数的制约及核函数的制约 4.5 核函数对时频分布中核函数对时频分布中 交叉项的抑制交叉项的抑制 4.6 减少交叉项干扰的核的设计减少交叉项干扰的核的设计第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.1 前言前言 1966年，年，Cohen给出了时频分布的更一般表示给出了时频分布的更一般表示形式：形式：式中式中 称为时频分布的核函数，也可称为时频分布的核函
2、数，也可以理解以理解为是加在原为是加在原Wigner分布上的窗函数。不同的分布上的窗函数。不同的 ，可以得到不同类型的时频分布。可以得到不同类型的时频分布。 目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时频目前已提出的绝大部分具有双线性形式的时频分布都可以看作是分布都可以看作是Cohen类的成员。类的成员。 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.2 Wigner分布与模糊函数分布与模糊函数u模糊函数定义模糊函数定义 令令 为一复信号，由定义为一复信号，由定义 的瞬时自相关的瞬时自相关函数为函数为 （）（）并定义并定义 相对相对 的傅立叶变换的傅立叶变换 （）（）为为 的的WVD。 第第4章章Co
3、hen类时频分布类时频分布 的对称模糊函数的对称模糊函数 定义为定义为 相对变相对变量量 的傅立叶逆变，即的傅立叶逆变，即： （）（）由（）式，有由（）式，有 ）对该式两边取相对变量对该式两边取相对变量 的傅立叶变换，立即可得的傅立叶变换，立即可得 （）（）该式说明，信号的该式说明，信号的WVD是其是其AF的二维傅立叶变换。的二维傅立叶变换。 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 令令 为一复信号，定义为一复信号，定义 ， 分别是作分别是作正、正、负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即：负移位和正、负频率调制所得到的新信号，即： （）（） （）（） 式中为时移，为频移，显然式中为时移，为
4、频移，显然 ）即：模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的即：模糊函数可理解为信号在作时移和频率调制后的 内积。内积。 u 模糊函数的含义模糊函数的含义 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 当将信号当将信号 发射出去并由一固定目标发射出去并由一固定目标作作无失真反射回来时，反射信号应是无失真反射回来时，反射信号应是 。通过估计时间可知道从信号发射点到目标的通过估计时间可知道从信号发射点到目标的距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还距离。若目标是移动的，由多普勒效应，还将产生频移，即接受到的信号应是将产生频移，即接受到的信号应是 。因此，模糊函数在雷达理论中具有重要的作因此，模糊函数在雷
5、达理论中具有重要的作用。用。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 模糊函数的性质：模糊函数的性质： .若若 ， 则则 （）（） 2. 若若 ， 则则 （）（） 的最大值始终在平面的最大值始终在平面 的原点，且的原点，且该最大值即该最大值即是信号的能量，即：是信号的能量，即：（）（）如果我们再定义如果我们再定义 （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布为为 的的“瞬时瞬时”谱自相关，式中为的谱自相关，式中为的FT，则：，则： （）（） （）（）且且 （）（） 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布uWVDWVD和和AFAF的本质区别：的本质区别：不论不论 是实信号还是复信号，其是
6、实信号还是复信号，其WVDWVD始终是实始终是实信号，但其模糊函数一般为复函数。信号，但其模糊函数一般为复函数。两个信号两个信号 ， 的互的互WVDWVD满足满足 （）而其互而其互AFAF不存在上述关系，即不存在上述关系，即 （）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 WVDWVD和和AFAF分别处在不同的分别处在不同的“域域”： ：时频域，对应：时频域，对应 ：瞬时自相关域，对应：瞬时自相关域，对应 ：“瞬时瞬时”谱自相关域，对应谱自相关域，对应 ：模糊函数域，对应：模糊函数域，对应之所以称之所以称 为为“模糊函数模糊函数”，是因为，是因为 和和 分分别对应了频域的别对应了频域的“频移频移
7、”和时域的和时域的“时移时移”。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图WVD和AF的关系第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 举例说明举例说明 和和 在在 和和 平面上的位置的不同平面上的位置的不同 例令例令 （）（）我们在例中已求出其我们在例中已求出其WVDWVD是是 （）（）同样可求出其模糊函数是同样可求出其模糊函数是 （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布分析结论：分析结论：（1 1） 是实函数，而是实函数，而 是复函数；是复函数；（2 2） 的中心在的中心在 处，它是一高斯型函数，处，它是一高斯型函数，时域、频域的扩展受时域、频域的扩展受 的控制；的控制； 的中心在的
8、中心在 处，其幅值也是高斯处，其幅值也是高斯型函数，且受到一复正弦的调制。该复正弦在型函数，且受到一复正弦的调制。该复正弦在 和和 轴方向上的震荡频率由轴方向上的震荡频率由 和和 所控制。这就是说，所控制。这就是说， 和和 并不影响并不影响 的中心位置，影响的只是其的中心位置，影响的只是其震荡速度。震荡速度。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布例例4.2 令令 （）（）其模糊函数（其模糊函数（AF）：）： (4.2.20) 及及 是是 的的AF的互项，其中：的互项，其中： （）（）式中式中 ， ， ，因此因此 的中心为的中心为 的中心为的中心为 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布x(
9、t) 的模糊函数与时频分布, (a) 模糊函数, (b) 时频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 将将WVDWVD的互项及（）式均写成极坐标的形式，即：的互项及（）式均写成极坐标的形式，即： （）（） （）（）由（）式，有由（）式，有 （）（）由（）式，有由（）式，有 （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布上式结果表明：上式结果表明： WVD互项的相位对互项的相位对 和和 的偏导数分别对应于该信的偏导数分别对应于该信号模糊函数的互项的中心坐标，即号模糊函数的互项的中心坐标，即 。AF中互项中互项的位的位置直接反映了置直接反映了WVD中交叉项的震荡状况。中交叉项的震荡状况。W
10、VD中交叉项震中交叉项震荡越厉害，那么，荡越厉害，那么，AF中互项的中心距中互项的中心距 平面的原点平面的原点越越远，反之，我们由远，反之，我们由AF互项的中心位置又可大致判断互项的中心位置又可大致判断WVD互互项的震荡程度。项的震荡程度。 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 WVD WVD和和AFAF各自互项与自项的位置及它们互项间的关各自互项与自项的位置及它们互项间的关系提供了一个抑制系提供了一个抑制WVDWVD中交叉项的有效途径，即：中交叉项的有效途径，即：（1 1）首先对）首先对 求模糊函数，由于求模糊函数，由于 的自项始的自项始终在平面终在平面 的原点处，而互项远离原点，因此，
11、的原点处，而互项远离原点，因此，我们可设计一个我们可设计一个 平面的低通滤波器对平面的低通滤波器对 滤波，从而有效地抑制了滤波，从而有效地抑制了 中的交叉项；中的交叉项；（2 2）对滤波后的）对滤波后的AFAF按（）式作二维傅立叶变换，得按（）式作二维傅立叶变换，得到到 。这时。这时 的已是被抑制了交叉项的已是被抑制了交叉项的新的新WVDWVD。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布AF中越是远离原点的交叉项，在中越是远离原点的交叉项，在 的作用的作用下，抑制的效果越明显。下，抑制的效果越明显。 图4.2.3 同一信号AF及WVD互项与自项的位置示意图第第4章章Cohen类时频分布类时频分布
12、4.3 Cohen类时频分布类时频分布 u时频分布形式时频分布形式 令令 ，Cohen类分布的统一表示形式变为类分布的统一表示形式变为 （）（）即即WignerWigner分布是分布是CohenCohen类的成员，且是最简单的一种。类的成员，且是最简单的一种。 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 Rihaczec分布分布 Page分布分布 ChoiWillams分布分布 BornJordan分布分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u Cohen Cohen类分布的其它表示形式类分布的其它表示形式 1、用、用 的频谱的频谱 表示，即表示，即 2、用模糊函数表示、用模糊函数表示 （）
13、（） （）（）3、用、用WVD表示表示 （）（） 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4、用广义模糊函数表示、用广义模糊函数表示在（）式中，定义在（）式中，定义 （）（）为信号的广义模糊函数，那么为信号的广义模糊函数，那么 （）（）5、用广义时间相关表示、用广义时间相关表示定义时间自相关域的核函数为：定义时间自相关域的核函数为： （）（）则广义时间自相关定义为：则广义时间自相关定义为： （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 （）（）6、用广义谱自相关表示。定义、用广义谱自相关表示。定义 （）（）为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关定义为：为谱自相关域的核函数，那么广义谱自相关
14、定义为： （）（）这样，这样， 可表为可表为 的傅立叶逆变换，的傅立叶逆变换，即：即： （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u Cohen类时频分布的六种表达形式，归纳类时频分布的六种表达形式，归纳起来可分为四类：起来可分为四类： 和和 在域在域 内的卷积（）；内的卷积（）；广义模糊函数的广义模糊函数的 傅立叶变换（）、（）及（）；傅立叶变换（）、（）及（）；瞬时时间自相关瞬时时间自相关 和时间自相关域核函数和时间自相关域核函数 在在t t方向上卷积后的方向上卷积后的 傅立叶变换）（）傅立叶变换）（）；瞬时谱自相关瞬时谱自相关 和谱自相关域核函数和谱自相关域核函数 在在 方向上卷积
15、的傅立叶变换（）（）。方向上卷积的傅立叶变换（）（）。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 由由MoyalsMoyals公式，可以证明，图谱也是公式，可以证明，图谱也是CohenCohen类的成员，即：类的成员，即： （）（）式中式中 是作是作STFTSTFT时所用时域窗函数时所用时域窗函数 的的WVDWVD。比。比较（）式，较（）式， 对应对应 ，它应是某一模，它应是某一模糊函数的糊函数的2-D2-D傅立叶变换。傅立叶变换。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表已知时频分布及其核函数表已知时频分布及其核函数 Spectrogram（谱图）（谱图） ZhaoAtlasMarks Cho
16、iWilliams（ED） Page BornJordan（Cohen） Rihaczek ReRihacze 伪伪Wigner分布分布 1 Wigner 时频分布表达式时频分布表达式 核函数核函数 分布名称分布名称 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.44.4时频分布所希望的性质及时频分布所希望的性质及对核函数的制约对核函数的制约 由表可以看出，给出不同的核函数可以得由表可以看出，给出不同的核函数可以得到不同的分布。因此，通过对核函数的性能的分析，到不同的分布。因此，通过对核函数的性能的分析，可以考察其时频分布的能性，可以得到一个新的分可以考察其时频分布的能性，可以得到一个新的分布，
17、对核函数施加一些制约条件，有可能得到我们所布，对核函数施加一些制约条件，有可能得到我们所希望的时频分布的性质。表列出了这些性质希望的时频分布的性质。表列出了这些性质 及对核函数的制约及对核函数的制约 。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表所希望的时频分布的性质及对核函数的制约性质名称性质名称 表达式表达式 对核函数的约束对核函数的约束 ：非负性：非负性 ： 是某些函数的模是某些函数的模糊函数糊函数 ：实值性：实值性 ： ：时移：时移 ： 不取决于不取决于t ：频移：频移 : 不取决于不取决于 ：时间边：时间边 界条件界条件 ： ：频率边：频率边 界条件界条件 ：第第4章章Cohen类时频
18、分布类时频分布 ： 是一个是一个 低通滤波器低通滤波器 ：减少干扰：减少干扰 ：若若 ， 则对则对 ：频率支持域：频率支持域 ：若若 ，则对则对 ：时间支持域：时间支持域 ： 及及 ：群延迟：群延迟 ： 及及 ：瞬时频率：瞬时频率 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布表六个时频分布满足性质情况比较表六个时频分布满足性质情况比较 性质名称性质名称分布名称分布名称 WignerRihaczekRe RihaczekChoiwilliamsSpectrogramBornJordan Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y
19、 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y-Yes第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 性质性质 及对核函数及对核函数 的要求的要求 给出一些给出一些解释解释 ，时频分布的非负性，即，时频分布的非负性，即 但遗憾的是，对已知的许多分布，它们并不满足这一性但遗憾的是，对已知的许多分布，它们并不满足这一性质。如表中的六个分布，只有谱图总是正的。质。如表中的六个分布，只有谱图总是正的。条件条件 指出，若想保证指出，若想保证CohenCohen类的某一成员是恒正类的某一成员是恒正的分布，则的分布，则 应是某一函数的模糊函数。应是某一函数的模糊函数。第第4
20、章章Cohen类时频分布类时频分布 实值性，即实值性，即 ， ：证明：由（）式，证明：由（）式，令令 ， ，则上式变为，则上式变为显然，如要求显然，如要求 ，必有，必有 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布时移：时移： ：若若 ，则，则 ： 不决定于不决定于 证明：因为证明：因为 处于处于 域，和域，和t无关，无关，所以它不影所以它不影响分布的时移性质；响分布的时移性质；频移：频移： ：若：若 ，则，则 ： 与无关与无关性质性质 与与 称为称为Cohen类时频分布的类时频分布的“移不变移不变”性质，它包含了时移和频移性质，它包含了时移和频移 。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布时间边
21、缘条件，即时间边缘条件，即 ： ： 频率边缘条件，即频率边缘条件，即 ： ：第第4章章Cohen类时频分布类时频分布瞬时频率与瞬时频率与 的关系，即的关系，即 ： ： 及及 群延迟与群延迟与 的关系，即的关系，即 ： ： 及及 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 时域支撑范围，即时域支撑范围，即：若：若 时，时， ，希望，希望 ，对，对 ： 频域支撑范围，即频域支撑范围，即 ：若：若 时，时， ，希望，希望 ： ：减少交叉项干扰减少交叉项干扰 ： 是是 平面上的平面上的2 2D D低通函数。低通函数。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 给定一个信号给定一个信号 ，记其时频分布为，记
22、其时频分布为 。假定。假定 在在 和和 的范围内为零，若的范围内为零，若 在在 和和 的范的范围内也为零，则围内也为零，则 称具有弱有限时间支撑性质。同理，称具有弱有限时间支撑性质。同理，假定假定 在在 之外为零，若之外为零，若 在在 也为也为零，则称零，则称 具有弱有限频率支撑性质。具有弱有限频率支撑性质。 和和 指的是指的是弱有限支撑。弱有限支撑。 若信号若信号 分段为零，分段为零， 在在 为零的区间内也为为零的区间内也为零，则零，则 称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含称具有强有限时间支撑性质。强有限支撑的含义是：只要义是：只要 为零，在所对应的时间段内为零，在所对应的时间段内 恒为
23、零。恒为零。 同理可定义强有限频率支撑。同理可定义强有限频率支撑。 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.54.5核函数对时频分布中交叉项的抑制核函数对时频分布中交叉项的抑制 单分量信号和多分量信号的区别是在任意固定的单分量信号和多分量信号的区别是在任意固定的时刻，该信号的瞬时频率时刻，该信号的瞬时频率 是单值的还是多值的。是单值的还是多值的。一个多分量信号又可表为单分量的和，即：一个多分量信号又可表为单分量的和，即： (4.5.1)式中式中 都是单分量信号，因此都是单分量信号，因此 （4.5.2)第第4章章Cohen类时频分布类时频分布相应的时频分布相应的时频分布 （）（）也由自项和互
24、项所组成。互项即是交叉项，它是对真也由自项和互项所组成。互项即是交叉项，它是对真正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。正时频分布的干扰，应设法将其去除或尽量减轻。减轻减轻 中交叉项的一个有效途径是通过的中交叉项的一个有效途径是通过的模糊模糊函数来实现函数来实现。 的广义模糊函数：的广义模糊函数： （）（）核函数核函数 取平面取平面 上的上的2-D低通函数。低通函数。可去除可去除或抑制时频分布中的交叉项。或抑制时频分布中的交叉项。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u举例说明核函数举例说明核函数 对交叉项的效果对交叉项的效果 例例 指数核指数核 （4.5.7)其相应的其相应的TF分布称
25、为指数分布（分布称为指数分布（ED），属于），属于Cohen类。类。 显然显然 ， ，且，且当当 和和 同时不为零同时不为零时时 。 为常数。为常数。 越大，自项的分辨率越高，越大，自项的分辨率越高， 越小，越小，对交叉项的抑制越大。因此，对交叉项的抑制越大。因此， 的取值应在自项分辨率和交叉的取值应在自项分辨率和交叉项项的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若的抑制之间取折中，并视信号的特点而定。若信号的幅度和频信号的幅度和频率变化得快，应取较大的率变化得快，应取较大的 ，反之取较小，反之取较小 。 的取值推荐在的取值推荐在0.10.11010之间。之间。当当 时，时， ，ED变成变成WVD
26、，可以有，可以有效地抑制交叉项，但不能保证性质效地抑制交叉项，但不能保证性质 和和 。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布EDED对应的时域的核为对应的时域的核为 （）（）相应的时频分布是相应的时频分布是 （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 例令例令 由三个时频由三个时频“原子原子”组成，组成， 和和 具有相同的归一化频率（具有相同的归一化频率（0.40.4），但具有不同的时间位置（分），但具有不同的时间位置（分别是别是3232和和9696）。令）。令 和和 具有相同的时间位置，但归一具有相同的时间位置，但归一化频率为化频率为0.10.1。 的时域波形如图所示，其理想的时的时
27、域波形如图所示，其理想的时频分布如图所示。其频分布如图所示。其WVDWVD如图所示。图如图所示。图c c中存在中存在着由这三个着由这三个“原子原子”两两产生的共三个交叉项。两两产生的共三个交叉项。图是图是 的模糊函数。图是指数核的模糊函数。图是指数核 的等高线图，的等高线图，第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 图（图（a） 的时域波形的时域波形 图图 （b） 理想时频分布理想时频分布第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图图4.5.1(c ) 的的WVD 可以看到，图中存在着由这三个可以看到，图中存在着由这三个“原子原子”两两产生的共三两两产生的共三个交叉项个交叉项 第第4章章Cohe
28、n类时频分布类时频分布AF的自项位于中心，在的自项位于中心，在 轴和轴和 轴上各有两个互项，在轴上各有两个互项，在第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的第二和第四象限也各有一个互项，因此，该信号的AF共有共有6个互项。个互项。 图4.5.1（d） 的模糊函数 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图图4.5.1(e) 指数核指数核 的等高线图的等高线图 它在原点最大，在它在原点最大，在 轴和轴和 轴上恒为轴上恒为1 1。改变。改变 ，可，可调节坐标轴两边两个等高线的距离。调节坐标轴两边两个等高线的距离。 越大，距离越越大，距离越大，反之距离越小。大，反之距离越小。第第4章章Cohen类
29、时频分布类时频分布在第二和第四两个象限的互项已被去除，在在第二和第四两个象限的互项已被去除，在 轴和轴和 轴上的轴上的四个互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。四个互项在图中体现出来，但实际上也被抑制。图图4.5.1(f)4.5.1(f) 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.5.1g 是用ED求出的 的时频分布 交叉项较之图的交叉项较之图的WVD，已大大减轻，已大大减轻 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布4.6减少交叉项干扰的核的设计减少交叉项干扰的核的设计 如果如果 可以写成变量可以写成变量 ， 的积的函数，的积的函数，即即那么该核函数称为那么该核函数称为“积核积核”，在表中
30、，在表中 ，sinc 及及ED核都是积核。核都是积核。 如果如果 可以写成可以写成 各自函数的积，各自函数的积，即即那么那么 称为可分离的核。称为可分离的核。 u 定义定义第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u 可分离核的计步骤：可分离核的计步骤：步骤步骤1 1 设计一个基本函数设计一个基本函数 ，使满足下述条件：，使满足下述条件：（a a） 有单位面积，即有单位面积，即 ；（b b） 为偶对称，即为偶对称，即 ；（c c） 是时限的，即当是时限的，即当 时时 。（d d） 以以t=0t=0为中心向边际平滑减少，以保证含有较少为中心向边际平滑减少，以保证含有较少的高频分量。的高频分量。步骤
31、步骤2 2 取取 的傅立叶变换，即的傅立叶变换，即步骤步骤3 3 用用 代替代替 中的中的 ，得到积核函数，得到积核函数 （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 按以上原则设计出的核按以上原则设计出的核 ，所对应的分布称为，所对应的分布称为减少减少干扰分布，即干扰分布，即RID。RID主要强调如何抑制交叉项干扰，但同主要强调如何抑制交叉项干扰，但同时也兼顾时频分布的其它性质。时也兼顾时频分布的其它性质。 式（）的核函数式（）的核函数 ，条件（，条件（a）对应）对应 和和 ，条，条件（件（b）保证了）保证了 ， 和和 。现在考察条件（。现在考察条件（c）。现将）。现将（）两边相对作傅立
32、叶变换，即（）两边相对作傅立叶变换，即 （）按傅立叶变换的变量加权性质，有按傅立叶变换的变量加权性质，有 （）（）第第4章章Cohen类时频分布类时频分布因此条件（因此条件（c）意味着满足）意味着满足 和和 。 条件（条件（d）的目的是用以减少交叉项干扰，即令）的目的是用以减少交叉项干扰，即令 是是 平面的平面的2D低通函数，因此条件（低通函数，因此条件（d）满足）满足 。u 不同不同 所对应的所对应的T TF F分布形式分布形式 若若 ，那么，那么 ，对应的分布是，对应的分布是WVDWVD。满足条件（满足条件（a a）、（）、（b b）和（）和（c c），但不满足（），但不满足（d d），）
33、，因此因此WVDWVD不具备性质不具备性质 及相应的制约及相应的制约 。若若 ，则，则 ，此为复数核，此为复数核形式的形式的RihaczekRihaczek分布，分布， 满足条件（满足条件（a a）和（）和（c c），），不满足条件（不满足条件（b b）和（）和（d d）。）。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布若若 ，则，则 ，对，对应应ReReRihaczekRihaczek分布，分布， 也只满足条件（也只满足条件（a a）（c c），不满足（），不满足（d d），所以该分布也和），所以该分布也和WVDWVD一样，一样，满足满足 ，不满足，不满足 及相应的制约及相应的制约若对若对 ，
34、则则 ，对应，对应BornBornJordnJordn分布，分布， 满足条件（满足条件（a a）（）（d d），所），所以该分布满足性质以该分布满足性质 。若若 ，此，此 对应对应ChoiChoiWillamsWillams分布，分布， 满足条件（满足条件（a a），（），（b b）和（）和（d d），），所以相应的所以相应的T TF F分布有性质分布有性质 和和 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布u设计思路及所得核在四个域内的形状设计思路及所得核在四个域内的形状BornJodan（BJ）分布对应的）分布对应的 ，对，对该该 满足上述（满足上述（a）（）（d）的四个条件。由）的四个条件。
35、由 对应对应 域域用用 代替代替 ，得，得BJ分布的核，即分布的核，即 （）（）这是模糊域这是模糊域 的核函数。形状如图（的核函数。形状如图（a）所示。）所示。 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.6.1(a)BJ分布核函数在 域内的形状第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 对应对应 域域令令 ，则，则 ，利用傅立叶变换的定标性质，利用傅立叶变换的定标性质，有有 （）（） 的形状如图的形状如图4.6.1(c)4.6.1(c)所示。所示。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图图4.6.1(c) 的形状的形状第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 在在 域的表示形式域的表示形式 （）（） 的形状如图（的形状如图（d)d)所示。所示。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 图（图（d） 的形状的形状 第第4章章Cohen类时频分布类时频分布 在在 域的表示形式域的表示形式 （）（） 其形状如图（其形状如图（b b）所示。）所示。第第4章章Cohen类时频分布类时频分布图4.6.7 的形状
