等差数列前n项和公式的几个性质和与应用

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1、等差数列前 n 项和公式的几个性质和与应用等差数列是高中数学的一项重要内容， 其中心是通项公式与前n 项和公式。 透彻理解并掌握他们的相关性， 能使我们的解题简洁方便。 现就等差数列前 n 项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。性质 1：设等差数列an的前 n 项和公式和为Sn，公差为d，m.nN*则SNSm1n mdnm2m nSm Sn Sm Sn mndm n*Smn性质 2：设等差数列an的前 n 项和公式和为Sn，m.n.k N若m.n.k成等差数列，则SmSnSk,成等差数列mnk*性质 3：设等差数列an的前 n 项和公式和为Sn，p.q.m.n. NSm SnSp Sq若

2、p q m n，则m np q性质 4：设等差数列an的前 n 项和公式和为Sk当n 2kk N *时，S2k kak ak1当n 2k 1k N *时，S2k12k 1a2k1例 1： （人教版高中数学第一册上P1237 题）如果等差数列an的前 4 项和是 2，前9 项和是 6，求其前 n 项和公式。S9S4119 4d 942解：由性质 1 得：SnS41n 4d242 n将S4 2,S9 9代入1,2得：Sn 7243n n3030131S4的等比4例 2： （97 年全国高考文科卷）设Sn是等差数列an的前 n 项和，已知S3和中项为111S5，S3和S4的等差中项为 1，求等差数列

3、an的通项公式an。534解：由性质 1 和题意知，11S4S31S3(1)43 d d1d433224SS14S43解得： 21d(2)34443S5S41S511d5 4 d d5(3)4422512SS S 311又5 43，即1d 1d1d，d 0或d 5444543当d 0时，S3 3，an1,nN*当d 221211224时，S313 5455321224d，即3a13 ，a1 4255又S3 3a1故an 4n 1123212n,n N* 5155例 3：(人教版高中数学第一册上P122)一等差数列前 4 项和是 24，前5 项和的差是 27，求这个等差数列的通项公式。5 27S

4、 S S27 6317525 23解：由性质 1 知：SS13747 4d d2422 7又S4 24，代入上式：d 2，则S4 4a143d 4a112 242解有a1 3，an a1n1d 2n1，n N例 4：首项为25 的等差数列的前 9 项和等于前 17 项和，问此数列的前多少项和最大，并求此最大项。解：由性质 1 得：S917917S917 0917由Sn的对称性知S13最大，又S17 S9171698d 925d，d 2221312 2169故所求最大项为S1313252即1725例 5： （人教版高中数学第一册上Pan是等差数列，Sn是其前 n 项和，12310题）已知数列设k

5、 N，Sk,S2k Sk,S3k S2k成等差数列吗？解：由k,2k,3k成等差数列，据性质 1 可知：SkS2kS3k,成等差数列。k2k3k则2S2kSkS3k，：3S2k 3Sk S3k2kk3k即2S2k Sk Sk S3k S2k，故，Sk,S2k Sk,S3k S2k成等差数列。例 6： （人教版高中数学第一册上P142第 4 题）两个等差数列an, bn。且a1 a2 an7n 2a，求5。b1b2bnn 3b5解：设an, bn的前 n 项和分别为Sn,Tn，由性质 4 有：S9 9a5,T9 9b5a5S979 265b5T99312a55S，求9a39S5例 7：已知等差数列an的前 n 项的和为Sn，若解：由性质 4：S9 9a5,S5 5a3S99a5951S55a359