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1、第十一章 概率与统计 11.1 随机事件及其概率高考理数高考理数考点事件与概率考点事件与概率1.事件的分类2.频率与概率(1)频数与频率:在相同条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现,则称在n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.(2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数n的增加,事件A发生确定事件必然事件一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件知识清单的频
2、率fn(A)稳定在某个常数上,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.3.事件的关系与运算(1)包含关系:一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作BA(或AB).(2)相等关系:一般地,若BA且AB,则事件A与事件B相等,记作A=B.内容解读表示并事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称该事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称该事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件(AB=),则称事件A与事件B
3、互斥AB=对立事件若AB为不可能事件,而AB为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件AB=且AB=U(U为全集)(3)几种运算的比较4.概率的基本性质(1)任何事件的概率都在01之间,即0P(A)1.必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.(2)当事件A与事件B互斥时,P(AB)=P(A)+P(B).(3)对立事件的概率之和为1,即若事件A与事件B对立,则P(A)+P(B)=1.1.补全或列出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.2.由频率估计概率.可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.3.由频率估计某部分的数值.可由频率估计概率,再由概率估算某部分的数值.随机事件的
4、频率与概率的常见类型及解题策略随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略方法1方法技巧例1(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.T(分钟)25303540频数(次)20304010解析(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1T25303540P
5、0.20.30.40.1从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T230)=0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91.解法二:P()=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=
6、40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09.故P(A)=1-P()=0.91.评析(1)用频率估计概率求解;(2)将问题转化为求“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”的概率,可直接求解也可间接来求.1.直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.2.间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法较简便.提醒:应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥.互斥事件、对立事件的概率问题的解题方法方法2例2(2017江苏南京高三综合复习)某银行柜台有从左到右编号依次为1,2,3,4,5,6的六个服务窗口,其中1,2,3,4,5号服务窗口办理A类业务,6号服务窗口办理B类业务.(1)每天12:00至14:00,由于需要办理A类业务的顾客较少,现从1,2,3,4,5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务,求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率;(2)经统计,在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下:排队人数012344人以上概率0.10.160.30.30.10.04求至少2人排队等候的概率.
