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1、经经经经 济济济济 数数数数 学学学学 线线线线 性性性性 代代代代 数数数数第3讲 行列式的展开教师：边文莉 下一步下一步例如例如一、余子式与代数余子式 下一步下一步在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如 下一步下一步 下一步下一步定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行（列）展开法则证证:
2、我们将分三步来证明此结论，先来证明它的我们将分三步来证明此结论，先来证明它的 特殊情况，即某行只有一个元素不为特殊情况，即某行只有一个元素不为0，而其，而其 余元素为余元素为0时定理成立。时定理成立。 下一步下一步（1）当第一行只有位于第一行第一列的元素当第一行只有位于第一行第一列的元素即有即有又又从而从而定理成立。定理成立。 下一步下一步（2 2） 再证再证 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如 下一步下一步得得 下一步下一步得得 下一步下一步
3、下一步下一步中的余子式中的余子式 下一步下一步故得故得于是有于是有 下一步下一步（3） 证明一般情况证明一般情况 把行列式的第把行列式的第 行的每个元素都写成行的每个元素都写成n个个 数的和的形式。然后利用行列式的性质，数的和的形式。然后利用行列式的性质， 把行列式拆成把行列式拆成n个行列式的和。个行列式的和。 下一步下一步 下一步下一步例例1 下一步下一步 下一步下一步 证证用用数学归纳法数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 下一步下一步 下一步下一步 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式 下一步下一步推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列
4、）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证 下一步下一步同理同理相同相同 下一步下一步关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 下一步下一步例例 计算行列式计算行列式解解按按第一行展开，得第一行展开，得 下一步下一步例例 计算行列式计算行列式解解 下一步下一步 下一步下一步 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结 下一步下一步克莱姆法则设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程
5、组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念 下一步下一步一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 下一步下一步其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 下一步下一步证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得 下一
6、步下一步由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解 下一步下一步由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组的也是方程组的 解解. 下一步下一步二、齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解. . 下一步下一步 定理定理 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解的充要有非零解的充要 条件是它的系数行列式为零条件是它的系数行列式为零. .有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式
7、下一步下一步例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解 下一步下一步 下一步下一步 下一步下一步例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解 下一步下一步齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解. 下一步下一步 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 小结 下一步下一步3. 3. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;( (2)2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .4. 4. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .
