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1、高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例 能能够运用正弦定理、余弦定理等运用正弦定理、余弦定理等知知识和方法解决一些与和方法解决一些与测量和几何量和几何计算有算有关的关的实际问题.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例1.仰角和俯角仰角和俯角 与目与目标视线同在一同在一铅垂平面内的水平垂平面内的水平视线和目和目标视线 的的夹角，目角，目标视线在水
2、平在水平视线上方上方时叫仰角，目叫仰角，目标视线 在水平在水平视线下方下方时叫俯角叫俯角(如如图所示所示).高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例2.方位角方位角 一般指北方向一般指北方向线顺时针到目到目标方向方向线的水平角，如方的水平角，如方位位 角角45，是指北偏，是指北偏东45，即，即东北方向北方向.3.坡角坡角 坡面与水平面的坡面与水平面的夹角角(如如图所示所示).高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例4.坡比坡比 坡面的坡面的铅直高度与水平直
3、高度与水平宽度之比，即度之比，即i tan(i为 坡比，坡比，为坡角坡角).高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例1.从从A处望望B处的仰角的仰角为，从，从B处望望A处的俯角的俯角为，则、 的关系的关系为 () A. B. C.90 D.180解析：根据仰角和俯角的定解析：根据仰角和俯角的定义可知可知.答案：答案：B高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例2.若若P在在Q的北偏的北偏东44，则Q在在P的的 () A.东偏北偏北46 B.东偏北偏北44 C
4、.南偏西南偏西44 D.西偏南西偏南44解析：由方位角的定解析：由方位角的定义可知，可知，Q应在在P的南偏西的南偏西44.答案：答案：C高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例3.已知两座灯塔已知两座灯塔A和和B与海洋与海洋观察站察站C的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔 A在在观察站察站C的北偏的北偏东40，灯塔，灯塔B在在观察站察站C的南偏的南偏东 60，则灯塔灯塔A在灯塔在灯塔B的的 () A.北偏北偏东10 B.北偏西北偏西10 C.南偏南偏东10 D.南偏西南偏西10高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8
5、节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解析：如解析：如图所示，由已知所示，由已知ACB180406080，又又ACBC，AABC50，605010.灯塔灯塔A位于灯塔位于灯塔B的北偏西的北偏西10.答案：答案：B高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例4.如如图，在，在ABC中，若中，若A120，AB5，BC7，则 SABC.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解析：在解析：在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得BC2AB2AC2
6、2ABACcos120，即即4925AC25AC，解之得解之得AC3.SABC ABACsinA 53答案：答案：高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例5.在在200 m高的山高的山顶上，上，测得山下一塔的塔得山下一塔的塔顶与塔底的俯与塔底的俯 角分角分别是是30、60，则塔高塔高为m.解析：如解析：如图所示，所示，设塔高塔高为h m.由由题意及意及图可知：可知：(200h)tan60解得：解得：h m.答案：答案：高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举
7、例高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解决解决该类问题的一般步的一般步骤：(1)分析：理解分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量，把已知量与求解量尽量 集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得 数学模型的解；数学模型的解；(4)检验：检验上
8、述所求的解是否具有上述所求的解是否具有实际意意义，从而得出，从而得出实 际问题的解的解.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例特特别警示警示(1)要要计算距离就必算距离就必须把把这个距离个距离归结到一个到一个三角形中，通三角形中，通过正弦定理或余弦定理正弦定理或余弦定理进行行计算，但无算，但无论是是正弦定理正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决即在解决问题时，必，必须把我把我们已已经知道知道长度的那个度的那个边长和和需要需要计算的那个算的那个边长纳入到同一个三角形中，或
9、是通入到同一个三角形中，或是通过间接的途径接的途径纳入到同一个三角形中，入到同一个三角形中，这是我是我们分析分析这类问题的一个基本出的一个基本出发点点.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例(2)测量不可直接到达的两点之量不可直接到达的两点之间的距离，只要在的距离，只要在这两个点所在的平面上两个点所在的平面上选取两个可以取两个可以测量距离的点，量距离的点，测量出量出这两点之两点之间的距离，及的距离，及这两个点两个点对所所测量的量的两个点的两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解角，就可以使用正弦定理、余弦定理解决决问题
10、.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例 (2009辽宁高考宁高考)如如图所示，所示，A、B、C、D都在同一个都在同一个与水平面垂直的平面内，与水平面垂直的平面内，B、D为两两岛上的两座灯塔的塔上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面量船于水面A处测得得B点和点和D点的仰角分点的仰角分别为75,30，于水，于水面面C处测得得B点和点和D点的仰角均点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究探究图中中B，D间距离与另外哪两点距离与另外哪两点间距离相等，然后求距离相等，然后求B、D的距的距离离(计算算结果精确到果精确到0.01 km，
11、1.414， 2.449).高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例思路点思路点拨高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例课堂笔堂笔记在在ACD中，中，DAC30，ADC60DAC30，所以所以CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底底边AD的中垂的中垂线，所以所以BDBA.在在ABC中，中，即即AB因此，因此，BD 0.33 km.故故B、D的距离的距离约为0.33 km.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正
12、弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例正、余弦定理在正、余弦定理在测高高问题中的中的应用用背景背景可可测元元素素图形形目目标及解法及解法底部可底部可到达到达a、求求AB，ABatan底部不底部不可到达可到达a、求求AB，在在ACD中用正中用正弦定理求弦定理求AD；ABADsin高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例特特别警示警示解决解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯，一定要准确理解仰角和俯角的概念角的概念. 某人在塔的正某人在塔的正东沿着南偏西沿着南偏西60的的方向前方向前进40米后，望米后，望见塔在塔
13、在东北方向，若沿途北方向，若沿途测得塔得塔顶的最大仰角的最大仰角为30，求塔高，求塔高.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例思路点思路点拨依依题意画意画图，某人在，某人在C处，AB为塔高，他沿塔高，他沿CD前前进，CD40米，此米，此时DBF45，从，从C到到D沿沿途途测塔的仰角，只有塔的仰角，只有B到到测试点的距点的距离最短离最短时，仰角才最大，仰角才最大，这是因是因为tanAEB ，AB为定定值，BE最小最小时，仰角最大，仰角最大.要求出要求出塔高塔高AB，必，必须先求先求BE，而要求，而要求BE，需先求，需先求BD
14、(或或BC).高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例课堂笔堂笔记在在BCD中，中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，由正弦定理得BD 20 .过B作作BECD于于E显然当人在然当人在E处时，测得塔的仰角最大，得塔的仰角最大，有有BEA30，高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例在在RtBED中，中，BDE1801353015.BEDBsin1520 10( 1).在在RtABE中，中，AEB30，ABBEtan30 (3 )(米米).故
15、所求的塔高故所求的塔高为 (3 )米米.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例1.测量角度，首先量角度，首先应明确方位角、方向角的含明确方位角、方向角的含义.2.根据根据题意正确画出示意意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形，确定所求的角在哪个三角形 中，中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正 弦定理或余弦定理解决弦定理或余弦定理解决.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例 如如图，为了解某海域海
16、底构造，在了解某海域海底构造，在海平面内一条直海平面内一条直线上的上的A，B，C三点三点进行行测量，已知量，已知AB50 m，BC120 m，于，于A处测得水深得水深AD80 m，于，于B处测得水深得水深BE200 m，于，于C处测得水深得水深CF110 m，求，求DEF的余弦的余弦值.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例思路点思路点拨高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例课堂笔堂笔记作作DMAC交交BE于于N，交，交CF于于M.DFDEEF高中数学
17、课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例在在DEF中，由余弦定理，中，由余弦定理，cosDEF 高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例 高考高考对正弦定理和余弦定理在正弦定理和余弦定理在实际中的中的应用的考用的考查，其常，其常规考法考法为：依据：依据实际问题背景，直接背景，直接给出出测量数据，通量数据，通过考生作考生作图分析，然后分析，然后选用恰当的用恰当的公式直接公式直接计算算.而而09年宁夏、海南高考打破常年宁夏、海南高考打破常规，并，并没有直接没有直接给出
18、出测量数据量数据让考生直接考生直接计算，算，而是要求而是要求高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例考生考生亲临实际问题的的环境里境里进行具体操作，找到行具体操作，找到解决解决问题的方案，并的方案，并设计出出计算步算步骤，可以，可以说是是一道真正意一道真正意义上的上的应用用题，是一个新的考，是一个新的考查方向方向.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例考考题印印证(2009宁夏、海南高考宁夏、海南高考)(12分分)为了了测量两山量两山顶M、N间的距的距离
19、，离，飞机沿水平方向在机沿水平方向在A、B两点两点进行行测量量.A、B、M、N在同一个在同一个铅垂平面内垂平面内(如示意如示意图).飞机能机能够测量的数据有俯角和量的数据有俯角和A、B间的距离的距离.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例设计一个方案，包括：一个方案，包括：指出需要指出需要测量的数据量的数据(用字母用字母表示，并在表示，并在图中中标出出)；用文字和公式写出用文字和公式写出计算算M、N间的距离的步的距离的步骤.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定
20、理应用举例【解解】方案一：方案一：需要需要测量的数据有：量的数据有：A点到点到M、N点点的俯角的俯角1、1；B点到点到M、N的俯角的俯角2、2；A、B间的距的距离离d(如如图所示所示).(6分分)高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例第一步：第一步：计算算AM.由正弦定理由正弦定理AM(8分分)第二步：第二步：计算算AN.由正弦定理由正弦定理AN ；(10分分)第三步：第三步：计算算MN.由余弦定理由余弦定理MN (12分分)高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦
21、定理应用举例方案二：方案二：需要需要测量的数据有：量的数据有：A点到点到M、N点的俯角点的俯角1、1；B点到点到M、N点的俯角点的俯角2、2；A、B的距离的距离d(如如图所示所示).(6分分)第一步：第一步：计算算BM.由正弦定理由正弦定理BM ；(8分分)第二步：第二步：计算算BN.由正弦定理由正弦定理BN ；(10分分)第三步，第三步，计算算MN.由余弦定理由余弦定理MN (12分分)高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例自主体自主体验2009年年11月月13日，中国日，中国第四批第四批护航航编队“马鞍山鞍山”舰、“温
22、州温州”舰顺利抵达利抵达亚丁湾海域丁湾海域执行行护航任航任务，在一次，在一次护航航过程位于程位于C处的的“马鞍山鞍山”舰接到位于其接到位于其东偏南偏南15方向，相方向，相距距2海里的海里的A处某商船求救信号，称在其某商船求救信号，称在其东偏北偏北45方向，相距方向，相距( 1)海里的海里的B处，一艘同行商船被海盗劫持，一艘同行商船被海盗劫持，高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例并向北偏并向北偏东30方向，以方向，以10海里每小海里每小时速度逃速度逃窜，“马鞍鞍山山”舰最快速度最快速度为10 海里海里/小小时，请你你设计一
23、套一套“马鞍鞍山山”舰追追击海盗船只的方案，使海盗船只的方案，使“马鞍山鞍山”舰能最快截能最快截获海盗船，包括：海盗船，包括：“马鞍山鞍山”舰航行的速度及方向；航行的速度及方向；追上海盗船所用追上海盗船所用时间.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解：如解：如图，设“马鞍山鞍山”舰以以10 海里海里/小小时速度追速度追击，t小小时后在后在D处截截获海盗船海盗船.则CD10 t海里，海里，BD10 t海里，在海里，在ABC中，由余弦定理中，由余弦定理得得BC2AB2AC22ABACcosA( 1)222( 1)2cos12
24、06，BC 海里海里.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例又又sinABCABC45，B点在点在C点的正点的正东方向上，方向上，CBD9030120.在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例sinBCDBCD30，“鞍山鞍山舰”沿北偏沿北偏东60的方向行的方向行驶.又在又在BCD中，中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即，即10t .t 小小时15分分钟.综上所述，上所述，“马鞍山鞍山”航沿北偏
25、航沿北偏东60方向，以方向，以10 海里海里/小小时的速度航行，的速度航行，15分分钟后能截后能截获海盗船海盗船.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例1.一船向正北航行，看一船向正北航行，看见正西方向有相距正西方向有相距10海里的两个灯海里的两个灯 塔恰好与它在一条直塔恰好与它在一条直线上，上，继续航行半小航行半小时后，看后，看见一一 灯塔在船的南偏西灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏
26、西75，则这 只船的速度是每小只船的速度是每小时 () A.5海里海里B.5 海里海里 C.10海里海里 D.10 海里海里高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解析：如解析：如图，依，依题意有意有BAC60，BAD75，所以所以CADCDA15，从而从而CDCA10，在直角三角形，在直角三角形ABC中，可得中，可得AB5，于是，于是这只船的速度是只船的速度是 10(海里海里/小小时).答案：答案：C高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例2.某人向正某
27、人向正东方向走方向走x km后，向右后，向右转150，然后朝新方向，然后朝新方向 走走3 km，结果他离出果他离出发点恰好是点恰好是 km，那么，那么x的的值为() A. B.2 C. 或或2 D.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解析：如解析：如图所示，所示，设此人从此人从A出出发，则ABx，BC3，AC ，ABC30，由正弦定理由正弦定理 ，得得CAB60或或120，当当CAB60时，ACB90，AB2 ；当当CAB120时，ACB30，AB .答案：答案：C高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正
28、弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例3.如如图所示，所示，为了了测量某障碍物两量某障碍物两侧A、B间的距离，的距离，给定定 下列四下列四组数据，不能确定数据，不能确定A、B间距离的是距离的是 () A.，a，bB.，a C.a，b， D.，b.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解析：解析：选项B中由正弦定理可求中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确，再由余弦定理可确定定AB.选项C中可由余弦定理确定中可由余弦定理确定AB.选项D同同B类似似.答案：答案：A高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举
29、例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例4.甲、乙两楼相距甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼米，从乙楼底望甲楼顶的仰角的仰角 为60，从甲楼，从甲楼顶望乙楼望乙楼顶的俯角的俯角为30，则甲、甲、 乙两楼的高分乙两楼的高分别是是 .高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解析：如解析：如图，依，依题意有意有甲楼的高度甲楼的高度AB20tan6020 米，又米，又CMDB20米，米，CAM60，所以，所以AMCM 米，故乙楼的高米，故乙楼的高度度为为CD20 米米.答案：答案：20 米，米， 米米高中数学
30、课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例6.如如图，港口，港口B在港口在港口O正正东120海海 里里处，小，小岛C在港口在港口O北偏北偏东60 方向，港口方向，港口B北偏西北偏西30方向上方向上. 一艘科学考察船从港口一艘科学考察船从港口O出出发， 沿北偏沿北偏东30的的OA方向以方向以20海里海里/小小 时的速度的速度驶离港口离港口O，一艘快艇从港口，一艘快艇从港口B出出发，以，以60海里海里/ 小小时的速度的速度驶向小向小岛C，在，在C岛装运装运补给物物资后后给考察船考察船 送去送去.现两船同两船同时出出发，补给物物资的装船的装
31、船时间为1小小时，问 快艇快艇驶离港口离港口B后，最少要后，最少要经过多少小多少小时才能和考察船相遇？才能和考察船相遇？高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例解：解：设快艇快艇驶离港口离港口B后，最后，最少要少要经过x小小时，在，在OA上的点上的点D处与考察船相遇与考察船相遇.如如图，连结CD.则快艇沿快艇沿线段段BC，CD航行航行.在在OBC中，中，BOC30，CBO60，BCO90.又又BO120，BC60，OC60 .故快艇从港口故快艇从港口B到小到小岛C需要需要1小小时.高中数学课件第三章第8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例8节正弦定理和余弦定理应用举例
