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1、1.3简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词(一一) 在在数数学学中中常常常常要要使使用用逻逻辑辑联联结结词词“或或”、“且且”、“非非”，它它们们与与日日常常生生活活中中这这些些词词语语所所表表达达的的含含义义和和用用法法是是不不尽尽相相同同的的，下下面面我我们们就就分分别别介介绍绍数数学学中中使使用用联联结结词词“或或”、“且且”、“非非”联结命题时的含义与用法。联结命题时的含义与用法。 为了叙述简便，今后常用小写字母为了叙述简便，今后常用小写字母p，q，r，s，表示命题。表示命题。一、由一、由“且且”构成的复合命题构成的复合命题思考：思考：下列三个命题间有什么关系？下列三个命题间有什么关系？（
2、1）12能被能被3整除；整除；（2）12能被能被4整除；整除；（3）12能被能被3整除且能被整除且能被4整除整除. 可以看到命题可以看到命题(3)是由命题是由命题(1)(2)使用使用联结词联结词“且且”联结得到的新命题联结得到的新命题.一、由一、由“且且”构成的复合命题构成的复合命题 定义：定义：一般地，用联结词一般地，用联结词“且且”把命把命题题p和命题和命题q联结起来，就得到一个新命题，联结起来，就得到一个新命题，记作记作 pq q，读作作“ “p p且且q q” ” 思考：思考：命题命题 pq q的的真假如何确定？假如何确定？一般地，我们规定一般地，我们规定: 当当p，q都都是是真真命命
3、题题时时，pq是是真真命命题题；当当p，q 两两个个命命题题中中有有一一个个命命题题是是假假命命题题时时，pq是是假命题假命题。全真为真全真为真, ,有假即假有假即假. .pq例例1：将下列命题用：将下列命题用“且且”联结成新联结成新命题，并判断它们的真假：命题，并判断它们的真假：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等：平行四边形的对角线相等解：解：（1）pq：平行平行四边形的对：平行平行四边形的对角线互相平分角线互相平分且且相等相等由于由于p是是真真命题，命题，q是是假假命题，命题，p q所以所以是是假假命题。命题。（2）p：菱形的对
4、角线互相垂直，：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分：菱形的对角线互相平分解：解：（2）pq：菱形的对角线互相垂：菱形的对角线互相垂直且平分直且平分由于由于p是是真真命题，命题，q是是真真命题，命题，p q所以所以是是真真命题。命题。（3）p：35是是15的倍数，的倍数， q： 35是是7的倍数的倍数解：解：（3）pq： 35是是15的倍数且是的倍数且是7的倍数的倍数由于由于p是是假假命题，命题，q是是真真命题，命题，p q所以所以是是假假命题。命题。练习练习1:将下列命题用将下列命题用“且且”联结成新命题，联结成新命题，并判断真假。并判断真假。（1 1）p: p: 是无理数，是无
5、理数，q: q: 大于大于1 1；（2 2）p:Np:N Z Z，q:0 Nq:0 N；（3 3）例例2：用逻辑联结词：用逻辑联结词“且且”改写下列改写下列命题，并判断它们的真假：命题，并判断它们的真假：（1）1既是奇数，又是素数；既是奇数，又是素数；（1）改写为：）改写为：1是奇数且是素数。是奇数且是素数。解：解：因为因为“1是素数是素数”是假命题，所以这个是假命题，所以这个命题是命题是假假命题。命题。（2）2和和3都是素数；都是素数；（2）改写为：）改写为：2是素数且是素数且3是素数。是素数。解：解：因为因为“2是素数是素数”与与“3是素数是素数”都是都是真真命题，所以这个命题是命题，所以
6、这个命题是真真命题。命题。练习练习2:用逻辑联结词用逻辑联结词“且且”改写下列命题，改写下列命题，并判断真假。并判断真假。（1 1）y=y=cosxcosx是周期函数是周期函数, ,又是偶函数；又是偶函数；（2 2）2424是是8 8的倍数的倍数, ,又是又是9 9的倍数的倍数. .二、由二、由“或或”构成的复合命题构成的复合命题思考：思考：下列三个命题间有什么关系？下列三个命题间有什么关系？（1）27是是7的倍数；的倍数；（2）27是是9的倍数；的倍数；（3）27是是7的倍数或是的倍数或是9的倍数的倍数. 可以看到命题可以看到命题(3)是由命题是由命题(1)(2)使用使用联结词联结词“或或”
7、联结得到的新命题。联结得到的新命题。二、由二、由“或或”构成的复合命题构成的复合命题 定义定义:一般地，用联结词一般地，用联结词“或或”把命题把命题p和命题和命题q联结起来，就得到一个新命题，记联结起来，就得到一个新命题，记作作p q q，读作作“ “p p或或q q” ” 思考：思考：命题命题 p q q的的真假如何确定？假如何确定？一般地，我们规定一般地，我们规定: 当当p，q两两个个命命题题中中有有一一个个命命题题是是真真命命题题时时，pq是是真真命命题题；当当p，q两两个个命命题题都都是是假命题假命题时，时，pq是假命题。是假命题。开关开关p,q的闭合的闭合对应命题的真假对应命题的真假
8、,则整个电路的接则整个电路的接通与断开分别对通与断开分别对应命题应命题 的真与假的真与假.pq有真即真有真即真, , 全假为假全假为假. .例例3 判断下列命题的真假判断下列命题的真假:(1)22 (2)集合集合A是是AB的子集或是的子集或是AB的子集的子集. (3)周长相等的两个三角形全等或周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等.练习练习3:用逻辑联结词用逻辑联结词“或或”改写下列命题，改写下列命题，并判断真假。并判断真假。（1 1）如果）如果xyxy0,0,则点则点( (x,yx,y) )的位置地在第的位置地在第二、三象限；二、三象限；（2 2）9 9是
9、质数或是是质数或是1212的约数的约数. . 思考思考: P16 如果如果pq为真命题为真命题,那么那么p q一定一定是真命题是真命题?反之反之,如果如果p q为真命题为真命题,那么那么p q一定是真命题一定是真命题?思考：思考：三、由三、由“非非”构成的复合命题构成的复合命题下列两个命题间有什么关系？下列两个命题间有什么关系？（1）35能被能被5整除；整除；（2）35不能被不能被5整除整除. 可以看到，命题可以看到，命题(2)是命题是命题(1)的的否否定定. 一般地，对一个命题一般地，对一个命题p全盘否定，就得全盘否定，就得到一个新命题，记作到一个新命题，记作 p p，读作作“ “非非p p
10、” ”或或“ “p p的否定的否定” ”。一般地，我们规定一般地，我们规定: 若若p是是真命题真命题，则，则p必是必是假命题假命题，若，若p是是假命题假命题，则，则p必是必是真命题真命题。这里的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词。例例4 写出下列命题的否定写出下列命题的否定,并判断它们的并判断它们的真假真假:(1)p:y=sinx是周期函数是周期函数(2)p:32,N=x|x3,那么那么“xM或或 xN”是是“x(MN)”的的( )A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 练习练习4(2006.天津天津) 设集合设集合M=x|0x3,N=x|02若方程若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根无实根则则 =16(m-2)=16(m-2)2 2-160,-160,即即1m3p或或q为真为真,则则p,q至少一个为真至少一个为真,又又p且且q为假为假,则则p,q至少一个为假至少一个为假p,q一真一假一真一假,p真真q假或者假或者p假假q真真
