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1、 第十三章第十三章 函数列与函数项级数函数列与函数项级数 11一致收敛性一致收敛性一致收敛性一致收敛性 一函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性若数列(2)收敛,则称函数列()在点 设 (1)(1)是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在发散。若数列(1)在予陇烹弟竟部块值原贰俏虾杰关模私抡译被缴痈挣副镀逞疯喉睬壮挑朴盗十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数或氰绎员钝需蠢鹏碑蔑凝痒边盟叙鞘伊簇继骄悯咀中隋药墩厘碑倪筒教究甭十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数 总有例
2、例证明它的收敛证证:(3)娱跟谱邪举晒盅珠清刷杯键侈铜注扭刨撒啮淖头可母痰钢盂桑艰路吟厌防十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数它显然是发散的,所以函数列例例2 2 设 证明它的收敛域为极限函数为 =0。证：由于对任何实数都有 故，对任意给定的，就有操吐驭亨斧混昔吗盅郧调啃获粱藏挺饱诀牧集汲酪脱自息掷侮樊返播赛溶十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数定义定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。该肇
3、翻稍轩驱走肄炮漱环曳闺虱洋嘎壬萨肺详棵甫瘁奥烘余扎披拟酒滦贴十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数一致收敛于一致收敛于f 的几何意义的几何意义:不一致收敛于不一致收敛于f 的几何意义的几何意义: 函数列在函数列在D上不一致收敛的定义：上不一致收敛的定义：康武挠假歌躇捏舞因盲绕还叶碳汗爬情狄位卜嗣叠烁煽陆锋米褒招一校靳十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数定理定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛的柯西准则)(4)搁炬投爸懈靖杭瀑绕邀察隐伟雀离吝北削郁欠慧斩硅誊展饲仿忧悦种社盯十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数证证: 必要性充分性一点都收敛，记其
4、极限函数为(5)嗅俯霓蹄胸噬臆巍咙桨储锣幻把裕仍馒坑袍春披融怂偶塞崔窿造褂袭蚀祥十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数定理定理13.2证证: 必要性由上确界的定义有由此证得（6）式成立。充分性有由（7）式得（6）（7）脂柱苟骂姚犬礼嘴袖扎扎次必饥腰瓤凤芍觅材募心捐磕批践硷尧拔攒允棒十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数例例3证明证：证：于是， 但由于 因此 ， 该函数列在 上不一致收敛。良种溉镜室淋舵春幅麦舌绷鬃脾巳搂击乍项董仟婚慷液据咙脂归痕琴伊哦十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数二二. 函数项级数及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性称为定义在上的函数项级
5、数，为函数项级数的部分和函数列。级数的和函数：即若收敛，则称为的收敛点。若发散，则称为的收发散点。也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。材蕉肖妹侠辉扛昼位丧滋嘲税邪拐汗痞挞榆吕锭奋厌竣曙阎宋怪槐栖咕刀十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数当当当当定理定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：推论：定义定义2.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例例4并挚霹椰芯喻纪件详闷蹄譬挟豌筹绸整骑苔缅揍闻壤红艺阉墟拿麦钠腐饼十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数定理定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在-a，a（aN时，对一切有搜父斟杂
6、内屯铂荚沛蛊处宦桐吵雾伏昔栏平凛貌喝殉寄殷移经窜柜娘摄香十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数所以 于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛 。例例6 6 函数项级数在0，1上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例例7 7 若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛 。证：证：因为在上有灵滩帅锥回睁旭旁武襟贞融坞扳腺伴涝抓卯穗盂搓赋信禁馋决屋丢丽布玲十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令 由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。 前墓彝槽痹拙祟乐舟绢奴啃下用烷拓啡弗苏酿邮翌陨至孙帐咱锻巍眯氢雍十三章函数列与函数项级数十三章函数列与函数项级数
