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1、推理与证明推理与证明推理推理证明证明直接证明直接证明间接证明间接证明演绎推理演绎推理合情推理合情推理推理合情推理合情推理归纳推理归纳推理演绎推理演绎推理推理：推理：根据一个或几个已知的判断来确定根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。一个新的判断的思维过程。1、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，则一切金属都具有怎样的特性？则一切金属都具有怎样的特性？导电导电该类事物的该类事物的部分部分对象对象部分部分对象具有对象具有的共同特征的共同特征该类事物该类事物的的整体整体全部全部对象都对象都具有的特征具有的特征1，2 ，2、根据我所给出的数列的前几项，
2、请你猜猜这、根据我所给出的数列的前几项，请你猜猜这个数列的通项公式可能是什么？个数列的通项公式可能是什么？4 , ,2n-1个别项个别项一般项一般项8 ,1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=521+3+5+(2n-1)=n2个别的个别的式子式子一般的一般的式子式子3、1、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，、铜、铁、铝、金、银等金属都能导电， 则一切金属都能则一切金属都能导电导电。3、2、1=121+3=4=221+3+5=9=321+3+5+(2n-1)=n21，2，4，8，由某类事物的部分对象具有某些特征，推出由某类事物的部分对象具
3、有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, ,或者由个别事实概括出一般结论的推理。或者由个别事实概括出一般结论的推理。归纳推理归纳推理部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结论2n-1 3 37 71010 3 3171720201313171730301010 3 37 72020 3 317173030 131317176 6 6 63+33+33+33+3，8 8 8 83+5,3+5,3+5,3+5,101010105+5, 5+5, 5+5, 5+5, 100010001000100029+97129+9712
4、9+97129+971， 1002=139+863, 1002=139+863, 1002=139+863, 1002=139+863, 猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于6 6的的的的偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和. .数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个规律：一个规律：一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数陈氏定理陈氏定理(Chens Theore
5、m) 任何充分大的偶数都任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积两个质数的乘积, 简称简称为为 “1 + 2 ” 。 哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程：具体的材料具体的材料观察分析观察分析猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论归纳推理的过程：归纳推理的过程：归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现新事实、发现新事实、获得新结论获得新结论由部分到整体、由部分到整体、个别到一般的推理个别到一般的推理注意注意归纳推理的结论不一定成立归纳推理的结论不一定成立1 2 3 4
6、 5例例1：填空：填空:观察下图观察下图,可以发现可以发现:前前n个连续的正奇数相加个连续的正奇数相加观察图象观察图象发现奥秘发现奥秘由上述具体事实能得出的结论是由上述具体事实能得出的结论是: .n的平方的平方发现部分规发现部分规律特征律特征实验、观察实验、观察猜测一般性结论猜测一般性结论成语成语“一叶知秋一叶知秋”统计初步中的用样本估计总体统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取通过从总体中抽取部分对象部分对象进进行观测或试验，进而对行观测或试验，进而对整体整体做出推断做出推断. 意思是从一片树叶的凋落，知道秋意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到天将要来到.比喻由比喻由细微的迹象细微
7、的迹象看出看出整体整体形势形势的变化，由的变化，由部分部分推知推知全体全体. 猜想猜想：猜想：猜想： 已知数列已知数列 的第一项的第一项 =1,且且 ( 1，2，3，)，请归纳出这个数列的通项公式为请归纳出这个数列的通项公式为_.例例2观察下列式子，归纳结论：观察下列式子，归纳结论： （以下（以下a、b均为正数）均为正数）类比推理春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子锯子.他的他的思路是这样
8、的：思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？可能有生命存在可能有生命存在有生命存在有生命存在温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存球上某些已
9、知生物的生存一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更一年中有四季的变更有大气层有大气层有大气层有大气层行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕行星、围绕太阳运行、绕轴自转轴自转轴自转轴自转火星火星火星火星地球地球地球地球火星火星与与地球地球类比的思维过程：类比的思维过程：火星火星地球地球存在类似特征存在类似特征存在类似特征存在类似特征地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在地球上有生命存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命
10、存在猜测火星上也可能有生命存在猜测火星上也可能有生命存在. . .圆的概念和性质圆的概念和性质圆的概念和性质圆的概念和性质球的类似概念和性质球的类似概念和性质球的类似概念和性质球的类似概念和性质圆心圆心圆心圆心与与与与弦弦弦弦( (非直径非直径非直径非直径) )中点连线垂直中点连线垂直中点连线垂直中点连线垂直于弦于弦于弦于弦. .与与与与圆心圆心圆心圆心距离相等的两距离相等的两距离相等的两距离相等的两弦弦弦弦相等相等相等相等; ;与与与与圆心圆心圆心圆心距离不等的两距离不等的两距离不等的两距离不等的两弦弦弦弦不等不等不等不等, ,距距距距圆圆圆圆心心心心较近的较近的较近的较近的弦弦弦弦较长较长
11、较长较长. .以点以点以点以点P(xP(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心为圆心为圆心,r ,r为半径的为半径的为半径的为半径的圆的方程为圆的方程为圆的方程为圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2(y-y(y-y0 0) )2 2=r=r2 2. .球心球心球心球心与与与与截面圆截面圆截面圆截面圆( (不经过球心的截面圆不经过球心的截面圆不经过球心的截面圆不经过球心的截面圆) )圆心连线垂直于截面圆圆心连线垂直于截面圆圆心连线垂直于截面圆圆心连线垂直于截面圆. .与与与与球心球心球心球心距离相等的两距离相等的两距离相等的两距离相等的两截面圆截面圆截面圆截面圆面面面面积相等积相等积相
12、等积相等; ;与与与与球心球心球心球心距离不等的两距离不等的两距离不等的两距离不等的两截面圆截面圆截面圆截面圆面积不等面积不等面积不等面积不等, ,距距距距球心球心球心球心较近较近较近较近的的的的截面圆截面圆截面圆截面圆面积较大面积较大面积较大面积较大. .以点以点以点以点P(xP(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心为球心为球心,r ,r为半为半为半为半径的球的方程为径的球的方程为径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2+(z-z+(z-z0 0) )2 2=r=r2 2. . 由由两类对象两类对象具有具有某些某些
13、类似特征类似特征和其中和其中一类对象的某些一类对象的某些已知特征已知特征, ,推出推出另一类对另一类对象也具有象也具有这些特征这些特征的推理称为的推理称为类比推理类比推理. . （简称（简称类比类比）简言之，）简言之，类比推理是由特类比推理是由特殊到特殊的推理殊到特殊的推理类比推理类比推理类比推理类比推理以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的结果，具有的结果，具有发现的功能发现的功能由由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意例题例题2：类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体的性质的猜想试给
14、出空间中四面体的性质的猜想 概括概括归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想 合情推理合情推理 归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理合情推理。 通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推的推理。理。
15、 合情推理的应用合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。推理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供为我们提供证明的思路和方向证明的思路和方向 传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的根针上的根针上的根针上的64646464个圆环个圆环个圆环个圆环. . . .古印度的天神指
16、示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, , , ,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡过渡过渡过渡”的作用的作用的作用的作用. . . . 1.1.1.1.每次只能移动每次只能移动每次只能移动每次只能移动1 1 1 1个圆环；个圆环；个圆环；个圆环； 2.2.2.2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较
17、小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面. . . . 如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这64646464个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了. . . . 请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把 个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1 1 1号针移到号针移到号针移到号针移到3 3 3 3号针号针号针号针, , , ,最少需要移最少需要移最少需要移最少需要移动多少次动多少次动多少次动多少次? ? ? ?1 12 23 3n=1时时,n=2时时,n=1时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,n=2时时,n=1时时,n=3时时,n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,归纳归纳:费马猜想：都是质数，都是质数，于是他归纳推理提出于是他归纳推理提出猜想猜想:归纳的风险归纳的风险但归纳推理可以发现但归纳推理可以发现新事实，获得新结论，新事实，获得新结论，可以为我们的研究提可以为我们的研究提供一种方向供一种方向!
