《高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广课件2 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广课件2 北师大版必修4（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2角的概念的推广【知识提炼知识提炼】1.1.角的概念角的概念平面内一条平面内一条_绕着绕着_从一个位置旋转到另一个位置所形成的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形图形. .射线射线端点端点终边终边始边始边顶点顶点2.2.角的分类角的分类(1)(1)任意角任意角逆时针逆时针顺时针顺时针不作任不作任何何(2)(2)象限角象限角前提条件前提条件: :()()角的顶点与角的顶点与_重合重合. .()()角的始边与角的始边与_的非负半轴重合的非负半轴重合. .分类分类: :()()象限角象限角: :角的终边角的终边( (除端点外除端点外) )在第几象限在第几象限, ,就是就是_._.()()终边落
2、在坐标轴上的角终边落在坐标轴上的角. .原点原点x x轴轴第几象限角第几象限角3.3.终边相同的角的表示终边相同的角的表示所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角, ,连同角连同角在内在内, ,可构成一个集合可构成一个集合S=S=|= =_,_,即任何一个与角即任何一个与角终边相同的角终边相同的角, ,都可以表示都可以表示成角成角与周角的与周角的_的和的和. .+k+k360360,kZ,kZ整数倍整数倍【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)角的概念推广后角的概念推广后, ,角的范围是什么角的范围是什么? ?提示提示: :根据角的定义可知根据角的定义可知, ,角的范围
3、推广到了任意角角的范围推广到了任意角, ,即即(-(-,+,+).).(2)(2)在坐标系中终边相同的角不一定相等在坐标系中终边相同的角不一定相等, ,相等的角终边一定相同吗相等的角终边一定相同吗? ?提示提示: :一定一定. .在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件: :角的角的顶点为坐标原点顶点为坐标原点, ,角的始边为角的始边为x x轴的非负半轴轴的非负半轴, ,因此因此, ,相等的角终边一定相等的角终边一定相同相同. .2.2.与角与角-80-80终边相同的角是终边相同的角是( () )A.180A.180B.100B.100C.240
4、C.240D.280D.280【解析解析】选选D.D.因为因为280280=-80=-80+360+360, ,故故280280与角与角-80-80终边相同终边相同. .3.3.在在0 0360360范围内范围内, ,与与20152015角终边相同的角为角终边相同的角为_._.【解析解析】因为因为215215=2015=2015-5-5360360, ,故在故在0 0360360范围内范围内, ,与与20152015角终边相同的角为角终边相同的角为215215. .答案答案: :2152154.-20004.-2000是第是第_象限的角象限的角. .【解析解析】因为因为160160=-2000
5、=-2000+6+6360360, ,因为因为160160是第二象限的角是第二象限的角, ,故故-2000-2000是第二象限的角是第二象限的角. .答案答案: :二二5.5.若角若角的终边和函数的终边和函数y=-|x|y=-|x|的图像重合的图像重合, ,则角则角的集合为的集合为_._.【解析解析】由于由于y=-|x|y=-|x|的图像是第三、四象限的平分线的图像是第三、四象限的平分线, ,故在故在0 0360360范围内所对应的两个角分别为范围内所对应的两个角分别为225225及及315315, ,从而角从而角的集合为的集合为S=S=| |=k=k360360+225+225或或=k=k3
6、60360+315+315,k,kZ.Z.答案答案: : | |=k=k360360+225+225或或=k=k360360+315+315,k,kZZ【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 角的概念的推广角的概念的推广观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:构成角的要素有哪几个构成角的要素有哪几个? ?问题问题2:2:用旋转观点定义角会出现哪几类角用旋转观点定义角会出现哪几类角? ?旋转时旋转时, ,要注意哪些要素要注意哪些要素? ?【总结提升总结提升】角的概念的四个关注点角的概念的四个关注点(1)(1)三个要素三个要素: :顶点、始边、终边顶点、始边、终边. .
7、(2)(2)运动观点下的定义运动观点下的定义: :抓住抓住“旋转旋转”两个字两个字, ,它有正负之分它有正负之分, ,与初中学与初中学习的静止观点下的角是有区别的习的静止观点下的角是有区别的. .(3)(3)角的大小角的大小: :不仅与旋转的大小有关不仅与旋转的大小有关, ,还与旋转的方向有关还与旋转的方向有关, ,正角大于正角大于负角负角. .(4)(4)角的加减法运算角的加减法运算: :角的范围推广到任意角后角的范围推广到任意角后, ,类似于实数的加减法类似于实数的加减法运算运算. .知识点知识点2 2 象限角与终边相同的角象限角与终边相同的角观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题
8、: :问题问题1:1:定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么? ?问题问题2:2:终边相同的角之间有什么关系终边相同的角之间有什么关系? ?问题问题3:3:如何用集合和符号表示各象限角如何用集合和符号表示各象限角? ?【总结提升总结提升】1.1.定义的前提条件定义的前提条件(1)(1)研究象限角、终边相同的角时研究象限角、终边相同的角时, ,必须注意前提条件必须注意前提条件: :角的顶点与坐角的顶点与坐标原点重合标原点重合, ,始边与始边与x x轴的非负半轴重合轴的非负半轴重合. .(2)(2)如果角的顶点不与坐标原点重合如果角的顶点不与坐标原点重合,
9、 ,或者角的始边不与或者角的始边不与x x轴的非负半轴的非负半轴重合轴重合, ,则没有象限角、终边相同的角的概念则没有象限角、终边相同的角的概念. .2.2.象限角的集合表示象限角的集合表示象限角象限角集合表示集合表示第一象限角第一象限角|k|k3603609090+k+k360360,kZ,kZ第二象限角第二象限角|90|90+k+k360360180180+k+k360360,kZ,kZ第三象限角第三象限角|180|180+k+k360360270270+k+k360360,kZ,kZ第四象限角第四象限角|270|270+k+k360360360360+k+k360360,kZ,kZ3.3
10、.对于终边相同的角的认识对于终边相同的角的认识所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角, ,连同角连同角在内可以用式子在内可以用式子k k360360+, +, kZkZ表示表示, ,在运用时需注意以下三点在运用时需注意以下三点: :(1)k(1)k是整数是整数, ,这个条件不能漏掉这个条件不能漏掉. .(2)(2)是任意角是任意角. .(3)k(3)k360360与与之间用之间用“+ +”连接连接, ,如如k k360360-30-30应看成应看成k k360360+ +(-30(-30),kZ.),kZ.【题型探究题型探究】类型一类型一 角的概念的推广角的概念的推广【典例典例】1.1.时钟
11、的时针走过了时钟的时针走过了1 1小时小时2020分钟分钟, ,则分针转过的角为则分针转过的角为_._.2.2.射射线线OAOA绕绕端端点点O O顺顺时时针针旋旋转转8080到到OBOB位位置置, ,接接着着逆逆时时针针旋旋转转250250到到OCOC位置位置, ,然后再顺时针旋转然后再顺时针旋转270270到到ODOD位置位置, ,则则AOD=_.AOD=_.【解题探究解题探究】1.1.分针转过的圈数是多少分针转过的圈数是多少? ?提示提示: :分针转过的圈数是分针转过的圈数是 圈圈. .2.2.题题2 2中逆时针旋转中逆时针旋转250250是是+250+250, ,还是还是-250-250
12、? ?顺时针旋转顺时针旋转270270是是+270+270, ,还是还是-270-270? ?提示提示: :逆时针旋转逆时针旋转250250是是+250+250, ,顺时针旋转顺时针旋转270270是是-270-270. .【解析解析】1.1.时针走过了时针走过了1 1小时小时2020分钟分钟, ,则分针转了则分针转了 圈圈, ,又因为按顺时针又因为按顺时针方向旋转的角为负角方向旋转的角为负角, ,所以分针转过的角为所以分针转过的角为- - 360360=-480=-480. .答案答案: :-480-4802.2.如图如图AOD=AOB+BOC+CODAOD=AOB+BOC+COD=(-80
13、=(-80)+250)+250+(-270+(-270)=-100)=-100. .答案答案: :-100-100【方法技巧方法技巧】1.1.角的表示角的表示(1)(1)通常用希腊字母通常用希腊字母,等表示等表示, ,如如“角角”或或“”, ,也可以简化也可以简化为为“”. .(2)(2)也可以用三个大写字母表示也可以用三个大写字母表示( (前面要加前面要加“”),),如如“AOBAOB”. .(3)(3)用图示表示角时用图示表示角时, ,箭头不可以丢掉箭头不可以丢掉, ,因为箭头代表因为箭头代表了旋转的方向了旋转的方向, ,也即箭头代表着角的正负也即箭头代表着角的正负. .2.2.理解角的概
14、念的三个理解角的概念的三个“明确明确”【变式训练变式训练】写出图写出图(1)(2)(1)(2)中的角中的角,的度数的度数. .【解析解析】图图(1)(1)中中, ,=360=360-30-30=330=330. .图图(2)(2)中中,=-360,=-360+60+60+150+150=-150=-150; ;=360=360+60+60+(-)=360+(-)=360+60+60+150+150=570=570. .类型二类型二 终边相同的角终边相同的角【典例典例】(2015(2015宿州高一检测宿州高一检测) )写出与角写出与角-2010-2010终边相同的角的集终边相同的角的集合合S,S
15、,求求S S中的最小正角中的最小正角. .【解题探究解题探究】与角与角终边相同的角如何表示终边相同的角如何表示? ?提示提示: :与角与角终边相同的角表示为终边相同的角表示为+k+k360360,k,kZ.Z.【解析解析】与角与角-2010-2010终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为S=S=|=-2010=-2010+k+k360360,kZ.,kZ.因为因为-2010-2010+6+6360360=150=150, ,故故-2010-2010与与150150的终边相同的终边相同, ,且且150150为其中的最小正角为其中的最小正角. .答案答案: :150150【延伸探究延伸探究】1.
16、(1.(改变问法改变问法) )求求S S中的最大负角中的最大负角. .【解析解析】因为因为-2010-2010+5+5360360=-210=-210, ,故故-2010-2010与与-210-210的终边相同的终边相同, ,且且-210-210为其中的最大负角为其中的最大负角. .答案答案: :-210-2102.(2.(变换条件变换条件) )求求S S中在中在-720-720720720范围内的角范围内的角. .【解析解析】令令=-2010=-2010+k+k360360,k,kZ,Z,当当k=4k=4时时,=-2010,=-2010+4+4360360=-570=-570, ,当当k=5
17、k=5时时,=-2010,=-2010+5+5360360=-210=-210, ,当当k=6k=6时时,=-2010,=-2010+6+6360360=150=150, ,当当k=7k=7时时,=-2010,=-2010+7+7360360=510=510. .故故S S中在中在-720-720720720范围内的角为范围内的角为-570-570,-210,-210,150,150,510,510. .【方法技巧方法技巧】1.1.在在0 0到到360360范围内找与给定角终边相同的角的方法范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)(1)一一般般地地, ,可可以以将将所所给给的的角角化化成成k
18、k360360+的的形形式式( (其其中中0 0 360360,kZ),kZ),其中的其中的就是所求的角就是所求的角. .(2)(2)如如果果所所给给的的角角的的绝绝对对值值不不是是很很大大, ,可可以以通通过过如如下下方方法法完完成成: :当当所所给给角角是是负负角角时时, ,采采用用连连续续加加360360的的方方式式; ;当当所所给给角角是是正正角角时时, ,采采用用连连续续减减360360的方式的方式, ,直到所得结果达到要求为止直到所得结果达到要求为止. .2.2.终边相同角常用的三个结论终边相同角常用的三个结论(1)(1)终边相同的角之间相差终边相同的角之间相差360360的整数倍
19、的整数倍. .(2)(2)终边在同一直线上的角之间相差终边在同一直线上的角之间相差180180的整数倍的整数倍. .(3)(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差终边在相互垂直的两直线上的角之间相差9090的整数倍的整数倍. .【补偿训练补偿训练】1.1.与与-457-457角的终边相同的角的集合是角的终边相同的角的集合是( () )A.|A.|=475=475+k+k360360,kZ,kZB.|B.|=97=97+k+k360360,kZ,kZC.|C.|=263=263+k+k360360,kZ,kZD.|D.|=-263=-263+k+k360360,kZ,kZ【解解析析】选选C.C
20、.因因为为263263=-457=-457+2+2360360, ,故故与与-457-457角角的的终终边边相相同同的角的集合可表示为的角的集合可表示为 | |=263=263+k+k360360,k,kZ.Z.2.2.已知已知,的终边相同的终边相同, ,那么那么-的终边在的终边在( () )A.xA.x轴的非负半轴上轴的非负半轴上B.yB.y轴的非负半轴上轴的非负半轴上C.xC.x轴的非正半轴上轴的非正半轴上D.yD.y轴的非正半轴上轴的非正半轴上【解析解析】选选A.A.因为因为, ,的终边相同的终边相同, ,所以所以=k=k360360+(kZ),+(kZ),所以所以-=k=k360360
21、(kZ),(kZ),所以所以-的终边在的终边在x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上. .类型三类型三 象限角象限角【典例典例】1.(20151.(2015渭南高一检测渭南高一检测) )给出下列四个命题给出下列四个命题, ,其中正确的其中正确的有有( () )-75-75是第四象限角是第四象限角225225是第三象限角是第三象限角475475是第二象限角是第二象限角-315-315是第一象限角是第一象限角A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个2.2.已知角已知角是锐角是锐角, ,则则22是是( () )A.A.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角C.C.小于
22、小于180180的正角的正角 D.D.第一或第二象限角第一或第二象限角3.3.已已知知角角的的顶顶点点在在原原点点, ,始始边边在在x x轴轴的的非非负负半半轴轴上上, ,作作出出下下列列各各角角, ,并并指指出它们是第几象限角出它们是第几象限角. .(1)-50(1)-50;(2)780;(2)780;(3)-680;(3)-680. .【解题探究解题探究】1.1.象限角有什么特点象限角有什么特点? ?提提示示: :角角的的始始边边在在x x轴轴的的非非负负半半轴轴上上, ,顶顶点点在在原原点点, ,角角的的终终边边旋旋转转, ,角角的的终边在哪个象限即哪个象限的角终边在哪个象限即哪个象限的
23、角. .2.2.题题2 2中角中角是锐角是锐角, ,则则的范围是什么的范围是什么? ?提示提示: :0 0 9090. .3.3.题题3 3中如何作负角中如何作负角? ?提示提示: :顺时针旋转即可得到负角顺时针旋转即可得到负角. .【解解析析】1.1.选选D.D.显显然然正正确确; ;因因为为115115=475=475-360-360, ,故故475475是是第第二二象象限限的的角角, ,正正确确; ;因因为为4545=-315=-315+360+360, ,故故-315-315是是第第一一象象限限的的角角, ,正确正确. .2.2.选选C.C.因为因为是锐角是锐角, ,所以所以0 090
24、90, ,所以所以0 021802180. .3.3.作出各角作出各角, ,其对应的终边如图所示其对应的终边如图所示. .(1)-50(1)-50是第四象限角是第四象限角. .(2)780(2)780是第一象限角是第一象限角. .(3)-680(3)-680是第一象限角是第一象限角. .【方法技巧方法技巧】1.1.象限角的判定方法象限角的判定方法(1)(1)根根据据图图像像判判定定. .利利用用图图像像实实际际操操作作时时, ,依依据据是是终终边边相相同同的的角角的的概概念念, ,因为因为0 0360360之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系
25、. .(2)(2)将将角角转转化化到到0 0360360范范围围内内. .在在直直角角坐坐标标平平面面内内,0,0360360范范围内没有两个角终边是相同的围内没有两个角终边是相同的. .2.,2, 2.,2, 等角的终边位置的确定方法等角的终边位置的确定方法不等式法不等式法利用象限角的概念或已知条件利用象限角的概念或已知条件, ,写出角写出角的范围的范围. .利用不等式的性质利用不等式的性质, ,求出求出2, 2, 等角的范围等角的范围. .利用利用“旋转旋转”的观点的观点, ,确定角终边的位置确定角终边的位置. .例如例如, ,如果得到如果得到k k120120 k k120120+30+
26、30,kZ,kZ,可画出可画出0 0 3030所表示的区域所表示的区域, ,再将此区域依次逆时针或顺时针转动再将此区域依次逆时针或顺时针转动120120( (如图如图所示所示).).【变变式式训训练练】(2015(2015大大庆庆高高二二检检测测) )若若是是第第三三象象限限角角, ,则则180180-一定是一定是( () ).第一象限角第一象限角B.B.第二象限角第二象限角C.C.第三象限角第三象限角D.D.第四象限角第四象限角【解题指南解题指南】利用角的对称、旋转确定角的范围利用角的对称、旋转确定角的范围. .【解解析析】选选D.D.因因为为是是第第三三象象限限角角, ,故故- -是是第第
27、二二象象限限角角, ,逆逆时时针针旋旋转转180180为第四象限的角为第四象限的角, ,故故180180- -是第四象限的角是第四象限的角. .【补补偿偿训训练练】若若角角满满足足=-30=-30+k+k180180,kZ,kZ,则则角角的的终终边边落落在在( () )A.A.第一或第三象限第一或第三象限 B.B.第一或第二象限第一或第二象限C.C.第二或第四象限第二或第四象限 D.D.第三或第四象限第三或第四象限【解解析析】选选C.C.当当k=2nk=2n时时, ,=-30=-30+n+n360360是是第第四四象象限限角角, ,当当k=2n+1k=2n+1时时, ,=150=150+n+n
28、360360是第二象限角是第二象限角. .易错案例易错案例 象限角的判断象限角的判断【典例典例】已知已知是第一象限角是第一象限角, ,那么角那么角22的终边位于的终边位于_._.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析上面的解析过程分析上面的解析过程, ,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗? ?提提示示: :出出错错的的根根本本原原因因是是只只注注意意到到了了象象限限角角, ,忽忽视视了了终终边边在在坐坐标标轴轴上上的的角也在角也在2 2的范围内的范围内. .【自我矫正自我矫正】因为因为是第一象限角是第一象限角, ,所以所以k k3603609090+k+k360360,kZ,kZ,所以所以
29、k k72072021802180+k+k720720,kZ,kZ,则角则角22的终边位于第一、二象限的终边位于第一、二象限, ,及及y y轴的正半轴轴的正半轴. .答案答案: :第一、二象限及第一、二象限及y y轴的正半轴轴的正半轴【防范措施防范措施】角的终边范围的确定角的终边范围的确定(1)(1)确确定定角角的的终终边边的的位位置置时时一一般般要要先先求求出出角角的的范范围围( (含含k),k),再再给给k k赋赋值值, ,根根据据赋赋值值后后的的角角的的范范围围确确定定角角终终边边的的位位置置, ,有有时时需需要要对对k k分分奇奇偶偶分分别别赋赋值值. .(2)(2)确确定定角角终终边边的的位位置置时时, ,不不能能只只关关注注角角的的终终边边所所在在的的象象限限, ,还还要要考考察察角的终边是否在坐标轴上角的终边是否在坐标轴上. .
