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1、【例【例 1 1】求下列数列的前 n 项和 Sn：1111(1)1，2，3，(n n)，；248212121212(2)2，34，56，2n12n，；33333333111111(3)1，1，1，1n1，2242421111解解 (1)Sn=1 2 3 (n n)24821111= (123n)( n)248211(1n)n(n+1)22=1212n(n1)1=1n22121212(2)Sn=234 2n12n333333111222= (+3+ +2n-1) +(2+4+ +2n)3333331121(12n)(122n)3333=1112123351(12n)83(3)先对通项求和an=1
2、1111 n1 2 n12422111 Sn= (222)(1+ +n-1)242111+ +n-1)2421= 2n2n12= 2n(1【例【例 2 2】求和：1111+ 122334n(n 1)1111(2) 153759(2n 1)(2n 3)1111(3) 2558811(3n 1)(3n 2)(1)111解解 (1)n(n+1)nn 111111111Sn ( ) () () ()122334nn 1 11n 1nn 11111(2)()(2n 1)(2n +3)4 2n 12n 31111111 Sn=1 4537592n 31112n 12n 12n 31111=1432n 12
3、n 3n(4n 5)3(2n 1)(2n 3)(3)1111()(3n 1)(3n +2)3 3n13n 2111111111 Sn=( ) ( ) () ()325588113n13n 21 11=()3 23n 2n6n 4【例【例 3 3】求下面数列的前 n 项和：11111，4，27，n1(3n2)，aaa1分析分析 将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等a比数列，另一个数组成以3n2 为通项的等差数列，分别求和后再合并解解设数列的通项为 an，前 n 项和为 Sn则an=1an1(3n 2) S1a11n= (1a2 an1)147(3n2)当a =1时，Sn1 (3n
4、2)n3n2 nn=2211当a1时，San(1n= 3n 2)nan1(3n 1)n12an an112a说明说明等比数列的求和问题，分q=1 与 q1 两种情况讨论【例4】【例4】 设ak=1222k2(kN*)，则数列3a，5，7，1a2a3的前 n 项之和是A6nn6(n 1)6(n 1)n 1B3n 1CnDn 2解解 设数列357a，a，的通项为bn12a3则b2n 1n=an又 an=1222n2=16n(n1)(2n1) b611n=n(n +1)= 6(nn +1)数列bn的前 n 项和 Sn=b1b2bn= 6(11213 1n) (111123 nn 1)= 6(11n1
5、)=6nn +1选(A)【例【例 5 5】求在区间a，b(ba，a，bN)上分母是 3 的不可约分数之和3a3a 13a 2解法一解法一 区间a，b上分母为3的所有分数是，3333a 43a 53b 23b 13ba1，a2，b1，它是以333333a1为首项，以为公差的等差数列33项数为3b3a1，其和S =1(3b3a1)(ab)2其中，可约分数是 a，a1，a2，b1其和S =(ba1)(ab)2故不可约分数之和为SS =b2a2解法二解法二1(ab)(3b3a1)(ba1)2 S =3a +13a +23a +43a +53b 23b 1+ +333333124521 S=(a)(a)
6、(a)(a)(b)(b)33333312452而又有S=(b)(b)(b)(b)(a)333331(a)3两式相加：2S=(ab)(ab)(ab)其个数为以 3 为分母的分数个数减去可约分数个数即 3(ba)1(ba1)=2(ba)2S=2(ba)(ab)S=b2a2【例【例 6 6】求下列数列的前 n 项和 Sn：(1)a，2a2，3a3，nan，(a0、1)；(2)1，4，9，n2，；(3)1，3x，5x2，(2n1)xn-1，(x1)123n(4)，n，2482解解(1)Sn=a2a23a3nana0aSn=a22a33a4(n1)annan+1SnaSn=aa2a3annan+1a1a
7、(1 an)(1 a)Sn nan11 aa(1 an)nan1Sn1 a(1 a)2(2)Sn=149n2(a1)3a3=3a23a12313=3123113323=3223214333=332331n3(n1)3=3(n1)23(n1)1(n1)3n3=3n23n1把上列几个等式的左右两边分别相加，得(n1)313=3(1222n2)3(12n)n= 3(122232n2)122232n23n(n 1)n213n(n 1)=(n1)31n32133n(n 1)=n 3n23nn321n(2n23n1)61=n(n1)(2n1)6=(3)Sn=13x5x27x3(2n1)xn-1xSn=x3
8、x25x3(2n3)xn-1(2n1)xn两式相减，得(1x)Sn=12x(1xx2xn-2)(2n1)xn2x(xn11)=1(2n1)x x 1(2n 1)xn+1 (2n 1)xn (1 x)=1 x(2n 1)xn+1 (2n 1)xn (1 x) Sn=(1 x)2n(4) Sn=123n23 n22221123nS n12n2223242两式相减，得11111nS nn12n222232211(1n)n2212n1121n2n2n11n Sn= 2n1n22 1说明说明求形如anbn的数列的前 n 项和，若其中an成等差数列，bn成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错
9、位相减法，此方法体现了化归思想【例7】【例7】 设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn= (nN*，若 bn=(1)nSn，求数列bn的前 n 项和 Tnan12) ，2分析分析求bn的前 n 项和， 应从通项 bn入手， 关键在于求an的前 n 项和 Sn，而由已知只需求an的通项 an即可解法一 an是等差数列，Sn= (a 1当n =1时，a1= (1)2解得a1=12当n = 2时，a1a2= (an12)2a212) 解得a2= 3或a2= 12a312当n = 3时，a1a2a3= () ，由a2= 3，解得a3= 5或a3=23，由 a2=1，解得 a3=1又Sn= (an12)
10、 0， a2= 1，a3= 3，a3=1(舍)2即 a1=1，a2=3，a3=5，d=2an=12(n1)=2n1Sn=135(2n1)=n2bn=(1)nSn=(1)nn2Tn=12223242(1)nn2当 n 为偶数时，即 n=2k，kN*Tn=(1222)(3242)(2k1)2(2k)2=37(4k1)3+(4k 1)k2= (2k1)kn(n 1)=2=当 n 为奇数时，即 n=2k1，kN*Tn=12223242(2k1)2=12223242(2k1)2(2k)2(2k)2=(2k1)k(2k)2=k(2k1)= n(n 1)2n(n 1)2nN*(a1+an)n，求an2 Tn= (1)n也可利用等差数列的前n项和公式Sn=a112解法二解法二 取n =1，则a1= () a1=12n(a1+an)(1 an)nan12又Sn=可得： ()222an1an=2n1以下同解法一说明说明本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列an的通项 an，在求数列bn的前 n 项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题由于(1)n的作用，在变形中对 n 须分两种情况讨论
