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1、二节洛必达法则Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 如果函数 ,其分子、分母都趋于零或都趋于无穷大. 那么,极限 可能存在,也可能不存在.通常称这种极限为未定型. 并分别简记为 .这节将介绍一种计算未定型极限的有效方法洛必达 法则.一、一、定理3.4 如果f(x)和g(x)满足下列条件:那么(2)在点a的某去心邻域内, 与 存在,且由于 可知x=a或者是f(x),g(x)的连续点,或者是f(x),g(x)的可去间断点.证如果x=a为f(x),g(x)的连续点,则可知必有f
2、(a)=0,g(a)=0.从而由定理的条件可知,在点a的某邻域内以a及x为端点的区间上,f(x),g(x)满足柯西中值定理条件.因此如果x=a为f(x)和g(x)的可去间断点,可以构造新函数F(x),G(x).仿上述推证可得 定理3.5 如果f(x)和g(x)满足下列条件:证明时,只要令 就可利用定理4.4的结论得出定理4.5.那么存在(或为无穷大).例1为 型,由洛必达法则有解例2 求为 型,由洛必达法则可解,设 ,则解例3 求为 型,由洛必达法则有解例4为 型,由洛必达法则有解二、二、定理3.6 如果函数f(x),g(x)满足下列条件:那么定理3.7 如果函数f(x),g(x)满足下列条件:那么例5为 型,由洛必达法则有解例6为 型,由洛必达法则有解三、三、可化为 型或 型极限 1.如果 , 则称对于 型,先将函数变型化为 型或 .再由洛必达法则求之.如或2.如果例7解例8解应该单独求极限,不要参与洛必达法则运算,可以简化运算.例9为 型,可以由洛必达法则求之.如果注意到解说明 如果 型或 型极限中含有非零因子,如果引入等价无穷小代换,则例10解所给极限为 型,可以由洛必达法则求之.注意极限过程为但是注意到所求极限的函数中含有因子 ,且 ,因此极限不为零的因子 不必参加洛必达法则运算.例11又当 时, ,故所给极限为 型,可以考虑使用洛必达法则.解