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1、使用教材：使用教材：数学物理方法，梁昆淼编数学物理方法，梁昆淼编参考教材：参考教材：（1 1）、数学物理方法，姚端正等编）、数学物理方法，姚端正等编（2 2）、数学物理方法教程，潘忠程编）、数学物理方法教程，潘忠程编第一章第一章 复变函数复变函数1.2 1.2 复变函数复变函数1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1.4 1.4 解析函数解析函数1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算第一篇第一篇 复变函数论复变函数论1.5 1.5 多值函数多值函数式中式中x、y为实数，称为为实数，称为复数的实部与虚部复数的实部与虚部（一）（一） 复数复数几何表示：几何表示：1.1 1.1 复数与复
2、数运算复数与复数运算复数：复数：复平面复平面为复数的模为复数的模为复数的辐角为复数的辐角1、 复数表示复数表示由于辐角的周期性，由于辐角的周期性，辐角有无穷多辐角有无穷多为辐角的主值，为主为辐角的主值，为主辐角，记为辐角，记为例：求例：求的的Argz与与argz解：解：z位于第二象限位于第二象限复数的三角表示：复数的三角表示：复数的指数表示：复数的指数表示：应用：应用：（二）（二） 无限远点无限远点共轭复数：共轭复数：NSzARiemann球面球面复复球面球面零点零点无限远点无限远点（三）复数的运算（三）复数的运算1、复数的加减法、复数的加减法有三角有三角关系：关系：2、复数的乘法、复数的乘法
3、3、复数的除法、复数的除法或指数式：或指数式：4、复数的乘方与方根、复数的乘方与方根乘方乘方故：故：方根方根故故k取不同值，取不同值， 取不同值取不同值例：求例：求 之值之值注意：注意：1）、）、2）、）、3）、）、例：讨论式子例：讨论式子 在复平面上的意义在复平面上的意义解：解：为为圆上各点圆上各点例：计算例：计算解：解：令令例：计算例：计算解：解：令令1.2 1.2 复变函数复变函数（一）、复变函数的定义（一）、复变函数的定义对于复变集合对于复变集合E E中的每一复数中的每一复数有一个或多有一个或多个复数值个复数值w称为的称为的z复变函数复变函数z称为称为w的的宗量宗量（二）、区域概念（二
4、）、区域概念由由确定的平面点集，称为定点确定的平面点集，称为定点z0的的 邻域邻域（1 1）、邻域）、邻域（2 2）、内点）、内点定点定点z0的的 邻域全含于点集邻域全含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的内点的内点（3 3）、外点）、外点定点定点z0及其及其 邻域不含于点集邻域不含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的外点的外点（4 4）、镜界点）、镜界点定点定点z0的的 邻域既有含邻域既有含于于E内，又有不含于内，又有不含于E内内的点，称的点，称z0为点集为点集E的的镜镜界点。界点。内点内点镜界点镜界点外点外点内点内点镜界点镜界点外点外点（5 5）、区域）、区域A）全由内点组成）全由
5、内点组成B）具连通性：点集中任）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于连接，且折线上的点属于该点集该点集。（6 6）、闭区域）、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如区域连同它的边界称为闭区域，如表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1 1的闭区域的闭区域（7 7）、单连通与复连通区域）、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域曲线，其内点都属于该区域（三）、复变函数例（三）、复变函数例可大于可大于1 1例：求方程例：求方程 sinz=2解：解：设设或或（四）、极限与连续性（四）、极限与连续性设
6、设w=f(z)在在z0点的某邻域有定义点的某邻域有定义对于对于 00，存在，存在 0,0,使使有有称称z - z0时时w0为为极限极限，计为，计为注意：注意：z在全平面，在全平面，z - z0须以任意方式须以任意方式若有若有称称f(z)在在z0点连续点连续1.3 1.3 导数导数w=f(z)是是在在z点点及其邻域定义及其邻域定义的单值函数的单值函数在在z点存在，并与点存在，并与 z - 0的方式无关，则的方式无关，则例：例：证明证明f(z)=zn在在复平面上每点均可导复平面上每点均可导证：证：例：例：证明证明f(z)=z*在在复平面上均不可导复平面上均不可导证：证：求导法则求导法则下面讨论复变
7、函数可下面讨论复变函数可导的必要条件导的必要条件比较两式有比较两式有称为科西称为科西-黎曼条黎曼条件（件（C.R.C.R.条件）条件）C.R.C.R.条件不是条件不是可导可导的充分条件的充分条件例：例：证明证明 在在z=0处满足处满足C.R.条件，但在条件，但在沯沯z=0处不可导处不可导 证：证：满足满足C.R.条件条件在在z=0处处但在但在z=0处，若处，若 一定，一定，随随 而变，故而变，故在在z=0处不可导处不可导下面讨论下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导的充分条件点可导的充分条件证明：证明：1）u,v在在z处满足处满足C.R.条件条件 2）u,v在在z处有连续
8、的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商因为因为u,v在在z处有连续的一阶偏微商，所以处有连续的一阶偏微商，所以u,v 的微的微分存在分存在由由C.R.条件条件 此式此式 z无论以什么无论以什么趋于零都存在，趋于零都存在，C.R.方程的极坐标表示：方程的极坐标表示：故故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导点可导当考虑当考虑 z沿沿径向和沿径向和沿恒向趋于零时，有恒向趋于零时，有例：试推导极坐标下的例：试推导极坐标下的C.R.方程：方程：方法一：方法一：当分别考虑当分别考虑 z沿沿径向径向和沿恒向趋于零时，和沿恒向趋于零时，沿沿径向趋于零径向趋于零沿沿恒向趋于零恒向趋于零方法二：方法二：
9、 从直角坐标关系出发从直角坐标关系出发同理同理例：证明例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析在复平面上解析 ，且且f(z)=f(z)。1.4 1.4 解析函数解析函数若若w=f(z)是是在在z0点及其邻域上处处可导，称点及其邻域上处处可导，称f(z)在在z0解析解析若若w=f(z)是是在在区域区域 B上任意点可导，称上任意点可导，称f(z)在在区域区域 B 解析解析证：证：满足满足C.R.条件条件且一阶偏导连续且一阶偏导连续 后面可证在某区域上的解析函数后面可证在某区域上的解析函数 ，在该区域上有任意阶在该区域上有任意阶导数。导数。由由C.R.条件条件前一式对前一式对x
10、求导，后式对求导，后式对y 求导，相加求导，相加同理同理u(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程方程又特别称为又特别称为共轭调和函数共轭调和函数性质性质1、f(z)在在区域区域 B 解析，解析，u(x,y)和和v(x,y)为为共轭调和函数共轭调和函数令：令：称为梯度称为梯度(gradient)矢量矢量二维二维表示表示三维表示三维表示由由C.R.条件条件两式相乘两式相乘即即或或表示表示Laplace 方程方程表示为：表示为：性质性质 2、u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数曲线正交常数曲线正交而而 u 和和 v 分别是分别是u(x,y)=常数常数 v(x,
11、y)=常数常数的法向向量的法向向量若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一条件，求另一共轭调和函数，方法如下：共轭调和函数，方法如下：C.R.条件条件上式为全微上式为全微分，因为分，因为方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）设已知设已知 u(x,y)， 求求v(x,y)方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不
12、定积分法例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解：解：故故u为调和函数为调和函数u(x,y)=x2-y2方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法u(x,y)=x2-y2方法三、不定积分法方法三、不定积分法x视为参数有：视为参数有：例：已知解析函数例：已知解析函数f(z)实部实部 求求 v(x,y)解：解：化为极坐标求解化为极坐标求解第二章第二章 复变函数积分复变函数积分2.2 2.2 柯西定理柯西定理2.3 2.3 不定积分不定积分2.4 2.4 柯西公式柯西公式2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分作作
13、和和记：记：2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分AB例：计算积分例：计算积分分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解(1)由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关(2)例：计算积分例：计算积分分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解(1)例：计算积分例：计算积分分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解(2)由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关（一）、单连通区域（一）、单连通区域证明：证明：2.2 2.2 柯西定理柯西定
14、理ABC.R.C.R.条件条件得：得：推论：单连通区域中解析函数推论：单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关的积分值与路经无关l2l1证明：证明：（二）、复连通区域（二）、复连通区域证明：证明：函数在区域上不可导，存在奇点。将这些点挖掉所形函数在区域上不可导，存在奇点。将这些点挖掉所形成的带空区域成的带空区域l2l1lABABCDCDl 为区域外境界线，为区域外境界线， li为区域内境界线，积分沿境界线正为区域内境界线，积分沿境界线正向进行向进行l2l1lABABCDCD内、外境界线逆时针积分相等内、外境界线逆时针积分相等2.3 2.3 不定积分不定积分单连通区域中解析函数单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关，的积分值与路经无关，令令z0固定，终点固定，终点z 为变点，有单值函数为变点，有单值函数ABl2l1且：且：F(z) 是是f(z) 的原函数的原函数还有还有证略证略例：计算积分例：计算积分l CR（n 为整数）为整数）解：解：n 0 被积函数解析被积函数解析n 1
