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1、高等数学高等数学5-2待改待改第二节第二节 微积分学基本定理微积分学基本定理高等数学 第四章 第二节 10-02一、一、积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数高等数学 第四章 第二节 10-03二、二、微积分学基本定理微积分学基本定理定理定理5.2（微积分基本定理微积分基本定理） 设函数设函数 f(x) 在在 a,b 上连续，上连续，F(x)是是 f(x) 在在 a,b 上的一个原函数，上的一个原函数，即即F (x)=f(x)，那么，那么 上式又称为上式又称为牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式。高等数学 第四章 第二节 10-04 证证:令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令微积分基本
2、公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例1 计算定积分计算定积分高等数学 第四章 第二节 10-06解：解：例例2 计算计算高等数学 第四章 第二节 10-08例例3 计算由计算由 ，x=1，x=2，x 轴轴所围成的平面图形的面积。所围成的平面图形的面积。高等数学 第四章 第二节 10-09解：解：故平面图形的面积为故平面图形的面积为例例5 5 设设 , 求求 . 解解第三节第三节 换元积分法换元积分法高等数学 第五章 第三节 10-10第四节第四节 分部积分法分部积分法一、定积分的换元积分法一、定积分的换元积分法二、定积分的
3、分部积分法二、定积分的分部积分法高等数学 第四章 第三节 10-11例例1 计算计算高等数学 第四章 第三节 10-12解：解：例例2 计算计算定理定理（定积分的换元法定积分的换元法） 设函数设函数 f(x) 在区间在区间 a,b 上连续，上连续，函数函数 x= (t) 在区间在区间 , (或或 , )上有连续导数上有连续导数 ；且；且 ( )=a， ( )=b，则有则有 证：证：例例2 2 计算计算解解令令例例3 计算计算解解:令令 oo例例 设设f(x)在在-a,a上连续，试证：上连续，试证：（1）若）若f(x)为偶函数时，为偶函数时，（2）若）若 f(x)为奇函数时，为奇函数时，高等数学
4、 第四章 第三节 10-19证证:高等数学 第四章 第三节 10-21奇函数奇函数例例 计算计算解：解：原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积证证设设定理定理5.5 设函数设函数 u(x) 和和 v(x) 在区间在区间 a,b上具有连续的导数上具有连续的导数 u (x) 和和 v (x)，则则 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法对于可导函数对于可导函数 u(x) 及及 v(x)，根据函，根据函数乘积的微分公式有数乘积的微分公式有移项得移项得两边积分，得两边积分，得例例 计算计算高等数学 第四章 第三节 10-22例例 计算计算高等数学 第四章 第三节 10-23例例 计算计算例
5、例5 5 证明定积分公式证明定积分公式为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止于是于是小结小结： 微积分基本定理微积分基本定理 （牛顿莱布尼茨公式）（牛顿莱布尼茨公式） 定积分的换元法定积分的换元法 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 高等数学 第四章 第四节 10-47作业作业： P122 习题五习题五 7(4)(6)(8)(11) (26) 选做题选做题9(2)预习预习：定积分的应用：定积分的应用高等数学 第四章 第四节 10-48 牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，牛顿从物理学出发，
6、运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入如，引入dx表示表示x的微分，的微分，表示积分，表示积分，dnx表示表示n阶阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。积分的。 下次课再见！下次课再见！高等数学 第四章 第四节 10-49练习题练习题：求定积分：求定积分高等数学 第四章 第三节 10-26（1）（2）（3）
