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1、第第1节函数及其表示节函数及其表示.了了解解构构成成函函数数的的要要素素，会会求求一一些些简简单单函函数数的的定定义义域域和和值值域域，了了解解映映射射的的概概念念.在在实实际际情情境境中中，会会根根据据不不同同的的需需要要选选择择恰恰当当的的方方法法(如如图图象象法法、列列表表法法、解解析析法法)表表示示函函数数.了了解解简简单单的的分分段段函函数数，并并能能简简单单地地应应用用(函函数数分分段段不不超超过过三三段段)整合主干知识1函数的基本概念函数的基本概念(1)函数的定义函数的定义设设A，B是是非非空空的的_，如如果果按按照照某某种种确确定定的的对对应应关关系系f，使使对对于于集集合合A
2、中中的的_一一个个数数x，在在集集合合B中中都都有有_的的数数f(x)和和它它对对应应，那那么么就就称称f：AB为为从从集集合合A到到集集合合B的的一一个个函数，记作函数，记作_.数集数集任意任意唯一确定唯一确定yf(x)，xA(2)函数的定义域、值域函数的定义域、值域在在函函数数yf(x)，xA中中，x叫叫做做自自变变量量，x的的取取值值范范围围A叫叫做做函函数数的的_；与与x的的值值相相对对应应的的y值值叫叫做做函函数数值值，函函数数值值的的集集合合f(x)|xA叫叫做做函函数数的的_显显然然，值值域域是是集集合合B的的子集子集(3)函数的三要素：函数的三要素：_、_和和_(4)函数的表示
3、法函数的表示法表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有_、_和和_ 定义域定义域值域值域定义域定义域对应关系对应关系值域值域解析法解析法图象法图象法列表法列表法质质疑疑探探究究：函函数数的的值值域域是是由由函函数数的的定定义义域域、对对应应关关系系唯唯一一确定的吗？确定的吗？提提示示：是是函函数数的的定定义义域域和和对对应应关关系系确确定定后后函函数数的的值值域域就就确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键2映射的概念映射的概念设设A，B是是两两个个非非空空的的集集合合，如如果果按按某某一一个个确确定定的的对对应应关关系系f，使使对对于于
4、集集合合A中中的的任任意意一一个个元元素素x，在在集集合合B中中都都有有_的的元元素素y与与之之对对应应，那那么么就就称称对对应应f：AB为为从从集合集合A到集合到集合B的一个的一个_3函数解析式的求法函数解析式的求法求求函函数数解解析析式式常常用用方方法法有有_、_、配凑法、消去法配凑法、消去法唯一确定唯一确定映射映射待定系数法待定系数法换元法换元法4常见函数定义域的求法常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母分式函数中分母_(2)偶次根式函数被开方式偶次根式函数被开方式_.(3)一次函数、二次函数的定义域为一次函数、二次函数的定义域为R.(4)yax(a0且且a1)，ysin x，ycos
5、 x，定义域均为，定义域均为R.(5)ytan x的定义域为的定义域为(6)函数函数f(x)xa(a0)的定义域为的定义域为x|xR且且x0不等于零不等于零大于或等于大于或等于0答案：答案：D答案：答案：B4函函数数yf(x)的的图图象象如如图图所所示示，那那么么，f(x)的的定定义义域域是是_；值值域域是是_；其其中中只只与与x的的一一个个值值对对应应的的y值的范围是值的范围是_答答 案案 ： 3,02,3 1,51,2) (4,55已已知知f(x)x2pxq满满足足f(1)f(2)0，则则f(1)_.答案：答案：6聚集热点题型函数的概念函数的概念 思思路路点点拨拨可可从从函函数数的的定定义
6、义、定定义义域域和和值值域域等等方方面面对对所所给结论进行逐一分析判断给结论进行逐一分析判断名师讲坛名师讲坛函数的三要素函数的三要素定义域、值域、对应法则这三要素不定义域、值域、对应法则这三要素不是是独独立立的的，值值域域可可由由定定义义域域和和对对应应法法则则唯唯一一确确定定；因因此此当当且且仅仅当当定定义义域域和和对对应应法法则则都都相相同同的的函函数数才才是是同同一一函函数数特特别别值值得得说说明明的的是是，对对应应法法则则是是就就效效果果而而言言的的(判判断断两两个个函函数数的的对对应应法法则则是是否否相相同同，只只要要看看对对于于函函数数定定义义域域中中的的任任意意一一个个相相同同的
7、的自自变变量量的的值值，按按照照这这两两个个对对应应法法则则算算出出的的函函数数值值是是否否相相同同)不不是是指指形形式式上上的的即即对对应应法法则则是是否否相相同同，不不能能只只看看外外形形，要要看看本本质质；若若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断 g(x)(x210)，g(x)的定义域为的定义域为x|x1或或x1两函数的定义域不同故选两函数的定义域不同故选A.答案：答案：A求函数的解析式求函数的解析式 思思路路点点拨拨求求函函数数的的解解析析式式，要要在在理理解解函函数数概概念念的的基基础础上，寻求变量之间的关系上，寻求变量之间的关
8、系名师讲坛名师讲坛函数解析式的求法函数解析式的求法(1)配配凑凑法法：由由已已知知条条件件f(g(x)F(x)，可可将将F(x)改改写写成成关关于于g(x)的表达式，然后以的表达式，然后以x替代替代g(x)，便得，便得f(x)的解析式；的解析式；(2)待待定定系系数数法法：若若已已知知函函数数的的类类型型(如如一一次次函函数数、二二次次函函数数)，可用待定系数法；，可用待定系数法；(3)换换元元法法：已已知知复复合合函函数数f(g(x)的的解解析析式式，可可用用换换元元法法，此时要注意新元的取值范围；此时要注意新元的取值范围；答案：答案：(1)x21(x1)(2)f(x)x2x3函数的定义域函
9、数的定义域 (2)(2015北北京京模模拟拟)已已知知函函数数yf(x)的的定定义义域域为为0,4，则则函数函数y1f(2x)ln(x1)的定义域为的定义域为()A1,2 B(1,2C1,8 D(1,8 思思路路点点拨拨(1)根根据据解解析析式式，构构建建使使其其有有意意义义的的不不等等式式组组求解求解(2)根根据据f(2x)中中2x的的含含义义及及使使ln(x1)有有意意义义构构建建不不等等式式组组求解求解答案答案(1)C(2)B思思考考若若本本例例(2)中中条条件件变变为为：“函函数数yf(2x)的的定定义义域域为为0,4”，则结果如何？，则结果如何？答案：答案：D名名师师讲讲坛坛求求函函
10、数数定定义义域域的的三三种种常常考考类类型型及及求解策略求解策略(1)已已知知函函数数的的解解析析式式：构构建建使使解解析析式式有有意意义义的的不等式不等式(组组)求解求解(2)抽象函数：抽象函数：若若已已知知函函数数f(x)的的定定义义域域为为a，b，则则复复合合函函数数f(g(x)的的定义域由定义域由ag(x)b求出求出若若已已知知函函数数f(g(x)的的定定义义域域为为a，b，则则f(x)的的定定义义域域为为g(x)在在xa，b时的值域时的值域(3)实实际际问问题题：既既要要使使构构建建的的函函数数解解析析式式有有意意义义，又又要要考考虑虑实际问题的要求实际问题的要求 提提醒醒(1)如如
11、果果所所给给解解析析式式较较复复杂杂，切切记记不不要要化化简简后后再再求求定义域定义域(2)所求定义域须用集合或区间表示所求定义域须用集合或区间表示答案：答案：，4分段函数分段函数 思路点拨思路点拨(1)应对应对a分分a0和和a0进行讨论，确定进行讨论，确定f(a)(2)可以根据给定函数可以根据给定函数f(x)和和M确定确定fM(x)，再求，再求fM(0)解解析析(1)由由题题意意知知f(1)212.f(a)f(1)0，f(a)20.当当a0时，时，f(a)2a,2a20无解；无解；当当a0时，时，f(a)a1，a120，a3.(2)由题设由题设f(x)2x21，得，得当当x1或或x1时，时，
12、fM(x)2x2；当当1x1时，时，fM(x)1.fM(0)1.答案答案(1)A(2)B名师讲坛名师讲坛分段函数应用的常见题型与求解策略分段函数应用的常见题型与求解策略题型题型求解策略求解策略求函数求函数值问题值问题根据所给自变量值的大小选择相应的对应关系根据所给自变量值的大小选择相应的对应关系求值，有时每段交替使用求值求值，有时每段交替使用求值解方程或解解方程或解不等式问题不等式问题分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围取值范围求最值或求最值或值域问题值域问题先求
13、出每一个子区间上的最值或值域，然后进先求出每一个子区间上的最值或值域，然后进行比较得出最大值、最小值，合并得出值域行比较得出最大值、最小值，合并得出值域图象及图象及其应用其应用根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实图象端点的虚实.提提醒醒解解决决分分段段函函数数问问题题的的总总策策略略是是分分段段击击破破，即即对对不不同同的区间进行分类求解，然后整合的区间进行分类求解，然后整合答案：答案：(1)C(2)B备课札记_提升学科素养分段函数意义理解不清致误分段函数意
14、义理解不清致误 易错分析易错分析本题易出现的错误主要有两个方面：本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为误以为1a1，没有对，没有对a进行讨论直接代入求解进行讨论直接代入求解(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误温温馨馨提提醒醒(1)分分类类讨讨论论思思想想在在求求函函数数值值中中的的应应用用：对对于于分分段段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意检验所求自变量的值或范围是否符合题意求求解解过过程程中中，求求出出的的参参数数的的
15、值值或或范范围围并并不不一一定定符符合合题题意意，因因此要检验结果是否符合要求此要检验结果是否符合要求 解析：解析：f(1)3，f(x)3，当，当x0时，时，x24x60时，时，x63，解解得得x(3，)，故故不不等等式式的的解解集集为为(3，1)(3，)，故选，故选A.答案：答案：A1四个准则四个准则函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则函函数数表表达达式式有有意意义义的的准准则则一一般般有有：(1)分分式式中中的的分分母母不不为为0；(2)偶偶次次根根式式的的被被开开方方数数非非负负；(3)yx0要要求求x0；(4)对对数数式式中的真数大于中的真数大于0，底数大于，底数大于0且不等于
16、且不等于1.2四种方法四种方法函数解析式的求法函数解析式的求法求求函函数数解解析析式式常常用用的的方方法法有有：(1)配配凑凑法法；(2)待待定定系系数数法法；(3)换元法；换元法；(4)解方程组法具体内容见例解方程组法具体内容见例2方法规律方法规律 3四个注意点四个注意点求函数定义域应注意的问题求函数定义域应注意的问题(1)如如果果没没有有特特别别说说明明，函函数数的的定定义义域域就就是是能能使使解解析析式式有有意意义的所有实数义的所有实数x的集合的集合(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化(3)当当一一个个函函数数由由两两个个或或两两个个以以上上代代数数式式的的和和、差差、积积、商商 的的形形式式构构成成时时，定定义义域域是是使使得得各各式式子子都都有有意意义义的的公公共共部部分分的的集集合合(4)定定义义域域是是一一个个集集合合，要要用用集集合合或或区区间间表表示示，若若用用区区间间表表示数集，不能用示数集，不能用“或或”连接，而应该用并集符号连接，而应该用并集符号“”连接连接
