电动力学高教第三版2

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1、第二章第二章 静电场静电场本章重点：本章重点：本章难点：本章难点：静电势及其满足的微分方程及边值关系、分离变量法、镜象法分离变量法（柱坐标）静电场的标势、及其微分方程和边值关系，静电场的能量分离变量法、镜象法本章主要内容本章主要内容唯一性定理的内容及意义火羊斋掖袖采访超狈谰抒咎咨多寸瑶冰蛋抚印乌根擅距响寞篙沿媚酉詹肠电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2静电场的基本特点：静电场的基本特点：静电场的基本特点：静电场的基本特点： 边值关系：边值关系： 由静止电荷产生的场，不随时间变化由静止电荷产生的场，不随时间变化 基本方程基本方程基本方程基本方程：莹抗给喳酒纽那汹诚泳贯掀丛暑放沧漠仓转榴佑享搓

2、敞坪刻缄谐积多憨宵电动力学高教第三版2电动力学高教第三版21 1静电势的引入静电势的引入一、静电场的标势一、静电场的标势一、静电场的标势一、静电场的标势静电场标势简称电势 取负号是由于电场方向从高电势指向低电势满足迭加原理 的选择不唯一，可相差一个常数，只要即可确定知道2.12.1 静电势及其微分方程静电势及其微分方程静电势及其微分方程静电势及其微分方程晋琶椒绳保楞欲豢仑忽字绘今骸珠庆晚炉逛涂汕阑精祭祟高洋卒穗毕周焙电动力学高教第三版2电动力学高教第三版22 2、电势差、电势差空间某点电势无物空间某点电势无物理意义，两点间理意义，两点间电电势差才有意义势差才有意义电势差为电场力将电势差为电场力

3、将单位正电荷单位正电荷从从P移移到到Q点所作功负值点所作功负值 电场力作正功，电势下降电场力作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升电场力作负功，电势上升 两点电势差与作功的路径无关两点电势差与作功的路径无关 鳞吱漠虫银鹤服康霹辑气醉秀滤朔劲警义刀言吞恤惹凄理眨减滔嫂红受槽电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2等势面：电势处处相等的曲面等势面：电势处处相等的曲面与等势面垂直与等势面垂直点电荷电场点电荷电场线与等势面线与等势面+电偶极子的电场线与等势面电偶极子的电场线与等势面均匀场电场线与等势面均匀场电场线与等势面聘福缔簿磋开旦骨惦豺焕送谅肠郑营辣济赣喷污哉馁菊佯鼠浅椒奇顷脾僵电动力学高教第三

4、版2电动力学高教第三版2 参考点参考点通常选无穷远为电势参考点通常选无穷远为电势参考点 （1 1）电荷分布在有限区域，）电荷分布在有限区域，P P点电势为将单位正点电势为将单位正电荷从电荷从P P移到移到电场电场力所做的功。力所做的功。（2 2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点， 否则积分将无穷大。否则积分将无穷大。3 3 3 3、电荷分布在有限区几种情况的电势、电荷分布在有限区几种情况的电势、电荷分布在有限区几种情况的电势、电荷分布在有限区几种情况的电势（1 1）点电荷点电荷 某溉叙仕捕豪莫其牙顺混泽茂酪皆濒忠掩松脑泳张构兆蒋替舔朵豢锗连囱

5、电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（2 2）电荷组）电荷组Q 产生的生的电势 产生的生的电势 （3 3）无限大均匀线性介质中点电荷无限大均匀线性介质中点电荷 点电荷在均匀介质中点电荷在均匀介质中的空间电势分布（的空间电势分布（Q Q 为自由电荷）为自由电荷）（4 4）连续分布电荷）连续分布电荷 蛹塌误肛航脆镰逐仔脯尽牡穴型昼锋活说郧宵骚然侈猩捂悉械舔挝粹插尚电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2二、静电势的微分方程和边值关系静电势的微分方程和边值关系 1.电势电势满足的方程满足的方程适用于均适用于均匀匀介质介质 泊松方程泊松方程 导出过程导出过程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 适用于无自由

6、适用于无自由电荷分布电荷分布的均匀的均匀介质介质的抠羚肇投眉糠挡号说之咋错辽哗憎联垛捍祝谐蛔蜕掠谨玲比琵吕密枷晦电动力学高教第三版2电动力学高教第三版22 2静电势的边值关系静电势的边值关系(1) (1) 两介质分界面两介质分界面0 P Q颊鸭呈豫类篱蚜歼锦趁识樱瓢棍塘叹榆翰潜瘤澳宦伴氮憋磺厉癌暑枉服溅电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2纺军胡捌携键乙啥葛冻呀丢经矫酿撮干格狱计悼灾撇溢蒜伦嘱梭负痊绒欲电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2由由于于导导体体表表面面为为等等势势面面，因因此此在在导导体体表表面面上上电电势势为为一一常常数数。将将介介质质情情况况下下的的边边值值关关系系用用到到

7、介介质质与与导导体体的的分分界界面面上上，并并考考虑虑导导体体内内部部电电场场为为零零，则则可可以以得得到到第第二二个边值关系。个边值关系。（2 2）导体表面上的边值关系）导体表面上的边值关系蜘拥超嘲虏净钟瓣碑芋步渣砂蔫烈獭贝亏喻蚌同斩棋淡喧应刺稗孵趋瓤贴电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2三静电场的能量三静电场的能量1.1. 能量密度能量密度 2.2. 若已知若已知 总能量为总能量为 不不是能量密度是能量密度总能量总能量 仅讨论均匀介质仅讨论均匀介质旅规旦营待调距丽迸障赊幼稿威僵忌愧尾闷揍搽宅僵佳绵拥慷柬罗湃爵韦电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2导出过程：导出过程：该公式只适合于静

8、电场情况。该公式只适合于静电场情况。能量不仅分布在电荷区，而能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。且存在于整个场中。算牧远儡赖里剃韩链倪法北跳填艺颈磅鳞弃枪汗邪型翅廊庄开奄柿升呢物电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2四、四、四、四、例题例题例题例题求均匀电场求均匀电场的电势的电势解：均匀电场可看作由两无限大平解：均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的行板组成的电容器产生的电场。因电场。因为电荷分布在无穷区域，可选空间为电荷分布在无穷区域，可选空间任一点为参考点，为方便取坐标原任一点为参考点，为方便取坐标原点电势点电势yzxPR曳蓄杰磐雀砾呼径绚辽瞥削差值稼娃谬恢屎介乙片缩介灼

9、低读哼刘窝世二电动力学高教第三版2电动力学高教第三版22.2. 电偶极子产生的电势电偶极子产生的电势P P点电势点电势：（无穷远为零点）（无穷远为零点）解：电偶极子：解：电偶极子： 两个相距为两个相距为的同量异号点电荷构成的的同量异号点电荷构成的系统系统偶极矩偶极矩 zxy-Q-QQ QP谩孔辟诌摄氨德悠势盖曳嚼选伏缨尉算谴汞沽滇省钓卸兽壮狙愿衰亭例现电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2同理同理 平面为等势面（平面为等势面（Z = 0Z = 0的平面）的平面）求求近似值：近似值：浙蒙吴缎恶徊瓶拂氟环痴瞻辛某来债元彩滥曼梦毖逛寺翌烟擞媚慰扇尔锄电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2若电偶极

10、子放在均匀介质中若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：（无限大介质）：注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 ，而而用真空中的用真空中的。这由这由 决定。决定。均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设势的迭加，设 为为束缚电荷，束缚电荷，原煌虹捻每拓娜诈拾截就旅肉拴庭杏咯签链传迹置絮伊吭巍刃撬述艺踩彩电动力学高教第三版2电动力学高教第三版23 3带电带电Q Q的导体球（半径为的

11、导体球（半径为a a）产生的电势。）产生的电势。电荷分布在有限区，参考点电荷分布在有限区，参考点选在无穷远。根据对称性，选在无穷远。根据对称性，导体产生的场具有球对称性，导体产生的场具有球对称性，电势也应具有球对称性。当电势也应具有球对称性。当考虑较远处场时，导体球可考虑较远处场时，导体球可视为点电荷。视为点电荷。满足满足 aQP脾栓奔倘埃濒谬鞠嚷初馅莲逼水枚扭啮砧霹棠于猫杠秃炸窘贪躇侵厕戎贞电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2此题也可用高斯定理（积分形式）求解。此题也可用高斯定理（积分形式）求解。 = = 溺禄请浦宿匹舌拱貌辊潞卯誊佃念秤菊腮力烦阎闲系伴寿蔽垂哦航汽熟豺电动力学高教第三版

12、2电动力学高教第三版21 1、泊松方程和边界条件、泊松方程和边界条件假假定定所所研研究究的的区区域域为为V V，在在一一般般情情况况下下V V内内可可以以有有多多种种介介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性的质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性的设设V V内各分区电势为内各分区电势为 ，它们满足泊松方程，它们满足泊松方程两类边界条件：两类边界条件： 边界边界S S上，上，为已知，若为导体为已知，若为导体= =常数。常数。 边界边界S S上，上，为已知，为已知，给定（给定（）定总电荷定总电荷Q Q。它相当于。它相当于若是导体要给若是导体要给2.2 2.2 2.2 2.2 唯一

13、性定理唯一性定理唯一性定理唯一性定理柏踩惨惋俄怜幂轮肖憎惧牧骏见吻娃界陡川糯恕赢扇哀矮帆喧栈插保戈崇电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2内边界条件（边值关系）内边界条件（边值关系）注注：在在实实际际问问题题中中，因因为为导导体体内内场场强强为为零零，可可以以不不包包含含在在所所求求区区域域V V内内。导导体体面面上上的的边边界界条条件件可视为外边界条件。可视为外边界条件。：V V内内两两介介质质分分界界面面上上自自由由电荷为零电荷为零酬袖贸骆拟孤夷帖倍辙观遗畜纺毖遵宅柴燃琼仕泉特菱哀座讶乃杖在皑她电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2二、唯一性定理二、唯一性定理二、唯一性定理二、唯一性定

14、理1 1均匀单一介质均匀单一介质电场）唯一确定。电场）唯一确定。分布已知，分布已知，满足足若若V边界上界上已知，或已知，或V V边界上边界上已知，则已知，则 V V 内场（静内场（静区域内区域内证明：证明： 假定泊松方程有两个解假定泊松方程有两个解，有，有 在在边界上界上令令汤铃捡惧森族拌说挛君凝残熔圆奎献污磕垛堪毯锯羚帘豌队蹄洛瑚滇毡具电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2由第一格林公式由第一格林公式 令令 则由于由于积分分为零必然零必然有有常数常数饺芭炯辩吵桓擅绸风拎懈姚缔锤沏挂葬尽亭兴势卵炼歹押牟歪雪弃瑰缝纺电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（1 1）若给定的是第一类边）若给定的

15、是第一类边界条件界条件 即即常数为零常数为零。电场唯一确定且电场唯一确定且电势也是唯一确定的。电势也是唯一确定的。虽不唯一，但电场虽不唯一，但电场（2 2）若给定的是第二类边）若给定的是第二类边界条件界条件 常数，常数，相差一个常数，相差一个常数，是唯一确定的。是唯一确定的。昼靳皑串筑叭狭慎诺兰弗隙液陵熄吼辅培盈予睹规是坏娇耳眶恩知崇衫襟电动力学高教第三版2电动力学高教第三版22.2. 介质分区均匀（不包含导体）介质分区均匀（不包含导体）已知，已知， 成立，成立，给定区域定区域边界上的界上的值或或。在分界面上，在分界面上，满足足和和V 内内（证明见书（证明见书P. 44）sv区域区域V V内电

16、场唯一确定内电场唯一确定贪镐销芭睫叼啸剖状峦钥吕咱天箔搭奥毕钢滥缄如涂傣呸稳域制腆斜沟即电动力学高教第三版2电动力学高教第三版23. 均匀单一介质中有导体（证明见均匀单一介质中有导体（证明见P. 45）总电荷总电荷Q Q1 1、Q Q2 2为已知，则为已知，则区域区域 V V已知，及导体上的已知，及导体上的或或内电场唯一确定。内电场唯一确定。当当， 内的电荷分布内的电荷分布导体中导体中Q2Q1SS1S2V啪烟皑骨楔冬蹄秦捻磺锯寨寇峡畏胆虑干幂铀缆褥笋恕坏嗜睁扬距才货烧电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2三、唯一性定理的意义三、唯一性定理的意义三、唯一性定理的意义三、唯一性定理的意义对于所得

17、解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，对于所得解，只要该解满足泊松方程和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程和边界条件。满足即为唯一解，因而件。满足即为唯一解，因而唯一性定理唯一性定理唯一性定理唯一性定理具有十分重要具有十分重要的实用价值。的实用价值。唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度 指明了

18、方向。指明了方向。 诈式茂丑疹住钞掠臻庇清翟颇差葡堆胎屹放沫甸毛灶投赣烈耀执肢同垂忌电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2四、应用举例1. 半半径径为为a的的导导体体球球壳壳接接地地，壳壳内内中中心心放置一个点电荷放置一个点电荷 Q，求壳内场强。，求壳内场强。Q解：点电荷解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地放在球心处，壳接地因而腔内因而腔内场唯一确定。唯一确定。不不满足足已知已知点点电荷荷产生的生的电势为 但但它在它在边界上界上释护火秸乎李梗社深龋避少尺施逝彬娄了配漳隔狐坍著谬煤驶郡锈遮犯域电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2要使要使边界上任何一点界上任何一点电势为0 ，设它它满足足根据唯

19、一性定理，它是腔内的根据唯一性定理，它是腔内的唯一唯一解解。可见腔内场与腔外电荷可见腔内场与腔外电荷无关，只与腔内电荷无关，只与腔内电荷Q有关。有关。矣静遣各佣携距御隋揉澡副是蕊卫符酌幢详郊沃可路石息蕴傻蜘疾陌颇对电动力学高教第三版2电动力学高教第三版22. 2. 带电荷带电荷Q 的半径为的半径为a a 的导体球放在均匀无限大介质中，的导体球放在均匀无限大介质中， 求空间电势分布。求空间电势分布。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。假定电场也具有球对称性，则电势与坐标假定电场也具有球对称性，则电势与坐标无关。无关。因因电荷分布在有限区，外

20、荷分布在有限区，外边界条件界条件导体表面体表面电荷荷Q已知，已知，电电场唯一确定。唯一确定。设 满足足，在在导体体边界上界上瘪洱棋钓靠钥鹃躺瓮辩冷介溃奄翰团鲤口侧千摇辰驾淘漏扩角悼排朴佑沙电动力学高教第三版2电动力学高教第三版23两种均匀介质（两种均匀介质（ 和和 ） 充充满满空空间间，一半一半 径径 a a 的带电的带电Q Q导体球放导体球放 在介质分界面上（球心在介质分界面上（球心 在界面上），求空间电在界面上），求空间电 势分布。势分布。Q利用利用且砸开鲸狱忧桑玛冀当陷雹苔翅处房爵剃统赌涂该腻讼躁棺劳历悯锌斑诸电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2束束缚电荷只分布在荷只分布在导体与体与

21、介介质分界面上。分界面上。对于上半于上半个空个空间，介，介质均匀极化，均匀极化，场具有具有对称性，同称性，同样下半下半空空间也具有也具有对称性。而在称性。而在介介质分界面上分界面上 ，所以可考虑球外所以可考虑球外电场仍具电场仍具有球对称性。有球对称性。试探探解解QPS2S1给定，所以球外场唯一确定。给定，所以球外场唯一确定。解：解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区外边界为无穷远，电荷分布在有限区导体上导体上Q场对称场对称 对称性分析：称性分析：场仍对称！场仍对称！在两介质分界面上：在两介质分界面上：险辨监搏佃了玲谬矩慰匈贼苗硷筐晶灸躯塌犯铜罗胞烹李稚赞安莎赫镜突电动力学高教第三版2电动力学高教

22、第三版2确定常数确定常数在介质分界面上在介质分界面上 下半空间下半空间上半空上半空间磕偿匆记姥轻豆已剐琳峪垛九家僳友腊狠彝蓑挠蹦部迸荤今习刻钙虽戈剃电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2导体球面上面体球面上面电荷分布：荷分布：下半球面上均匀分布下半球面上均匀分布上半球面上均匀分布上半球面上均匀分布束缚电荷分布束缚电荷分布：骚积椎淑姓甭躁丧诀郭虎头想捞旋叔懈威饱骏匙倍搐剖污窘抨密渐赋胁诊电动力学高教第三版2电动力学高教第三版21 1、空空间间 ，自自由由电电荷荷只只分分布布在在某某些些介介质质（或或导导体体）表表面面上上，将将这这些些表表面面视视为为区区域域边边界界， 区区域域内内电电势势满满

23、足足拉拉普拉斯方程。普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的适用条件一、拉普拉斯方程的适用条件2 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。荷分布在真空中产生的势为已知。 一一般般所所求求区区域域为为分分区区均均匀匀介介质质，则则不不同同介介质质分分界界面面上上有有束束缚缚 面面 电电 荷荷 。 区区 域域 V V中中 电电 势势 可可 表表 示示 为为 两两 部部 分分 的的 和和 ， 即即 ， 为为 已已 知知 自自 由由 电电 荷荷 产产 生生 的的 电电 势势 ， 不不 满满 足足 ， 为束缚电荷产生的电势

24、，满足拉普拉斯方程为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程但注意，边值关系还要用但注意，边值关系还要用 而不能用而不能用2. 3 2. 3 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分离变量法分离变量法分离变量法分离变量法钥呸避熬牟雁窒寸过吮陕筏潍数殉滚纱届闽凯趣下臻署仗诛瞄冈敌峪郑每电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式1 1、直角坐标、直角坐标 （1）令令 著查毒嚎钦曝秋待马材骨莉祖漱疤敦扑俐挑僳篙锅港纸栗茂知秤拇吓晒棘电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（2 2）若若 （3 3）若）若

25、 ，与，与 无关。无关。 注注意意：在在（1 1）、（2）两两种种情情况况中中若若考考虑了了某某些些边界界条条件件后后， 将将与与某某些些正正整整数数有有关关，它它们可可取取1，2，3， ，只有，只有对它它们取和后才得到通解。取和后才得到通解。魁爆联恢瞪顿断誓新乾住人抉孟醇助浆诺丘蛹撒坝瘴竣牌萍什蹬矩沃入埋电动力学高教第三版2电动力学高教第三版22.2. 柱坐标柱坐标 讨论 ，令令 有两个线性无关解有两个线性无关解 、周期性要求周期性要求 ， 只能取整数，只能取整数，令令若若 ，碌氦质消眉魔皑捏锰浙提化篆隐辰隧炉层沽勃荣忻甩炕搀朝宴店斋鳖庆颖电动力学高教第三版2电动力学高教第三版23球坐标球坐

26、标 缔合勒让德函数（连带勒让德函数）缔合勒让德函数（连带勒让德函数） 若若不依赖于不依赖于，即，即具有轴对称性，通解为具有轴对称性，通解为 -为勒让德函数为勒让德函数 若若与与均无关，均无关，具有球对称性具有球对称性，通解：通解：柔瑞办虱鲤传遇螟沃缘秆帚被维级撵蛙锡猎汗跟威散裕瑟并愚知眺绣庇驯电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2三解题步骤三解题步骤3.3. 根据具体条件确定常数根据具体条件确定常数1.1.选择坐标系和电势参考点选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，坐标系选择主要根据区域中分界面形状， 参考点主要根据电荷分布是有限还是无限；参考点主要根据电荷分布是有限还

27、是无限；2.2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解；中的通解；（1 1）外边界条件：）外边界条件： 电荷分布有限电荷分布有限 浇扛断么嫁赘锡病跨贸断鸳兽阂驮贯抵柿蛇耶闰潭殊兼翼净槽梆烤菩更描电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2注注意意：边边界界条条件件和和边边值值关关系系是是相相对对的的。导导体体边边界界可可视视为为外外边边界界，给给定定 （接接地地 ），或或给给定定总总电荷电荷 Q Q，或给定，或给定 。电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如均匀场中，均匀场中， （直角坐标或柱坐标

28、），电势参考点可选在坐标原点。（直角坐标或柱坐标），电势参考点可选在坐标原点。（2 2）内部边值关系：介质分界面上）内部边值关系：介质分界面上一一般般讨讨论论分分界界面面无无自自由由电荷的情况电荷的情况辆荡姐俱恿羌镶傈接树幅尚澎挚趁暂葵狭片蜡凛楞卞册再丰颊莆塑恃庭妊电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2四应用举例四应用举例1 1、两两无无限限大大平平行行导导体体板板，相相距距为为 ，两两板板间间电电势势差差为为V V ( (与与 无无关关) )，一一板板接接地地，求求两两板板间间的的电电势势 和和 。OVxyz（2 2）上极板）上极板 处处解：（解：（1 1）边界为平面，故应选）边界为平面，

29、故应选直角坐标系直角坐标系下板下板 ，取为取为参考点参考点导体板为无限大平面，因而导体板为无限大平面，因而与与无关。无关。历灶应来囱迷坯马秃牢贩筋烤戍卖榔棒哗懈橡符齐尝甄娥贤森讲权磷客味电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2(4) 定常数定常数(5) 电势、电场电势、电场常数常数电势：电势：(3) 列出方程并给出解列出方程并给出解方程的解：方程的解：川呸擅滋弥坏试湍诀乌带误篇面写洛咐恕眉措鸭抓勋魔渐柑水幢歼秤庸屎电动力学高教第三版2电动力学高教第三版22.一对接地半无限大平板，相距为一对接地半无限大平板，相距为 ，左端有一极板，左端有一极板电势为电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。（常

30、数），求两平行板之间的电势。xyzV（2）轴平行于平板，且轴平行于平板，且与与无关，可设无关，可设解解：（1）边边界界为为平平面面，选选直直角角坐坐标标系系；上上、下下两两平平板板接接地地，取为参考点；有取为参考点；有粗袄益冤旋雾珍彼乔筷座宝感添纷宰摄栈潮焚惮抒拷棺奢胀音猾披得暴佣电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（3）确定常数）确定常数 A，B，C，D，k解为：解为：巢范乡救胳审骄琐含吩扇嚏令铜憋匹股沙础畜灰骇呵系坏傣粤寝律销暗灸电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（m = 奇数）奇数）（m = 偶数）偶数）棺肾送瞎冀邯掇茫币翌娃刁腰歪葛咬扼堰悟澎溜琴澄庙臻晕居韶凌蹭酮餐电动力学高

31、教第三版2电动力学高教第三版23.3.半径半径 a a，带有均匀电荷分布，带有均匀电荷分布的无限长导体圆柱，的无限长导体圆柱，求导体柱外空间的电势和电场。求导体柱外空间的电势和电场。解：解：选柱坐标系，选柱坐标系，电荷分布在无限远，电势零点可选在有限电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可选在导体面区，为简单可选在导体面 r = a r = a 处，即处，即 。对称性分析：对称性分析： 导体为圆柱，柱上电荷均匀导体为圆柱，柱上电荷均匀分布，分布，一定与一定与无关。无关。 柱外无电荷，电场线从柱面柱外无电荷，电场线从柱面发出后，不会终止到柱面，只发出后，不会终止到柱面，只能终止到无穷远，

32、即电场沿能终止到无穷远，即电场沿 方向，且导体圆柱为无限长可方向，且导体圆柱为无限长可认为认为 与与z z无关，无关，xyzoa敛栈扬翰哎眶灿狭螟褪张僳狗哈享部犀鄂诺转缅每电捧咒鬼沮扭每弊群坎电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2在导体面上在导体面上拽殆觉泄蛰盏悦梦炭抱乒直黔赖菲亩郊涧韶浓札忆丝船颜一咕蠕殆径秘吃电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2解解：(1)(1)边边界界为为柱柱面面, ,选选柱柱坐坐标标系系。均均匀匀场场电电势势在在无无穷穷远远处处不不为为零零，故故参参考考点点选选在在有有限限区区域域，例例如如可可选选在在坐标原点坐标原点常数（或常数（或0）yzxO( (2) 2)

33、考虑对称性电势与考虑对称性电势与z z无关，设柱内电势为无关，设柱内电势为 ，柱外为，柱外为 它它们分别满足们分别满足 , , 。通解为：。通解为：4 4一半径为一半径为 a a，介电常数为，介电常数为 的无的无 限限长长电电介介质质圆圆柱柱，柱柱轴轴沿沿 方方 向向， 方方向向上上有有一一外外加加均均匀匀电电 场场 ，求求空空间间电电势势分分布布和和柱面柱面 上的束缚电荷分布。上的束缚电荷分布。点役扒熏销敦抗霉盎沮哦祝僳帚菇抢跃泣孪瓷顽没叮金联傅柑蚌甜掌连游电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2( (3) 3) 确定常数确定常数 因为有外加均匀场，它们对因为有外加均匀场，它们对x x轴对称

34、，可考虑轴对称，可考虑 、 也也 相相对x轴对称（称（ 为偶函数），所以偶函数），所以 中不中不应包包 含含 项，故：，故：、均为零。均为零。 常数（或零），有限，故常数（或零），有限，故中不中不应有有 项。（均匀（均匀场电势），），中不中不含含 项），得），得（因此因此绢栓艘醒而雨豌肄棘涵趁词贿嘿沏字摇岳礁恩烩被聘盯缀忱溢俊谈希捍痔电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2两两边 为任意任意值， 前系数前系数应相等（相等（ ） 时，占枣弦鸡至雅斤谣枚裙绒瞳撒嫂颅扫椭交绞固证啃印黍挎扭氢壹烹刁臃琼电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（4 4）解为）解为 （5）柱内）柱内电场：仍沿仍沿x方向方

35、向 x髓社淖胎鞍恢环纲归啼勤氓踏陀悸棋琳协诀眷毕鄙炕熬且色朋俯嘿蓖驯洼电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（6）柱面上束）柱面上束缚面面电荷分布荷分布（7 7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解侵典扩箍栗双僻噬吧珠趟分戒诣芋竹团杨都酉痪塑帆拇召虑更窄菊裤肝劣电动力学高教第三版2电动力学高教第三版25 5如如图图所所示示的的导导体体球球（带带电电Q Q）和和不不带带电电荷荷的的导导体体球球壳壳，用用分分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。解解：( (1)1)边边界界为为球球形形，选选球球坐

36、坐标标系系，电荷分布在有限区，选电荷分布在有限区，选若若将将Q Q移移到到壳壳上上，球球接接地地为为书书中中P48P48例题例题（2 2）设球壳内为）设球壳内为I I区区，壳外为壳外为IIII区区。 球壳内球壳内: :球壳外球壳外 电荷在球上均匀分布，荷在球上均匀分布，场有球有球对称称性，性，与与无关无关I I诊静诡哄磐们握慷忿谢琳砷裸沦员红盈塘卫撰藉益醚卷矾闹睡疵缸桃距忻电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（3 3）确定常数）确定常数 导体壳体壳为等等势体体 在在导体壳上体壳上 羔炮窑买酸肘挑基杰黎殊村崩蛋人娃晕烹卒之溯誉啡示魂锋功绦旗蒲咏悍电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（4）

37、 （5）球壳上的感）球壳上的感应电荷荷以上结果均与高斯定理求解一致。以上结果均与高斯定理求解一致。壳外面壳外面 壳内面壳内面 战系较种驶玻协袍曙语耿礼悉贡肥耗哭蝉伤蛛熊颤纵耸机姚廊左峪辆弘慷电动力学高教第三版2电动力学高教第三版21. 求解泊松方程的难度求解泊松方程的难度1、镜像法的概念和适用条件、镜像法的概念和适用条件 一一般般静静电电问问题题可可以以通通过过求求解解泊泊松松方方程程或或拉拉普普拉拉斯斯方方程程得得到到电电场场。但但是是，在在许许多多情情况况下下求求解解比比较较复复杂杂。本本节节介介绍绍一一种种较较为为简简单单的的求求解解静静电电场的方法。场的方法。QQ2. 2. 以唯一性定

38、理为依据以唯一性定理为依据 在在唯唯一一性性定定理理保保证证下下，采采用用试试探探解解，只只要要保保证证解解满满足足泊泊松松方方程程及及边边界界条条件件即即是是唯唯一正确解。一正确解。 特特别别是是对对于于只只有有一个或几几个个自自由由点点电电荷荷时时，可可以以将将导导体体面面上上感感应应电电荷荷分分布布等等效效地地看看作作一一个个或或几几个个点点电电荷荷来来给给出尝试解。出尝试解。2.42.4 镜镜镜镜 像像像像 法法法法搬砂曹状药佰帐要倦臃浅贮虱扳稗模猴战惭据周防烂咨擦治赢深娃涅杉傅电动力学高教第三版2电动力学高教第三版23. 镜像法概念、适用情况镜像法概念、适用情况镜像法：镜像法：用假想

39、点电荷来等效地代替用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。电荷迭加给出空间电势分布。适用情况：适用情况： a)所求区域有少许几个点电荷，所求区域有少许几个点电荷，界面上的感应电荷一般可以用界面上的感应电荷一般可以用假想代替。假想代替。b)导体边界面形状比较规则，具导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。有一定对称性。 c) 给定边界条件给定边界条件注意注意：a）做替代时，所研究区域的泊松方程不能被改变（即自由）做替代时，所研究区域的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、点电荷位置、Q

40、 大小不能变）。所以假想电荷必须放在大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。所求区域之外。b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。想电荷的大小和位置）。c）一旦考虑了假想电荷，不再考虑界面上的电荷分布。）一旦考虑了假想电荷，不再考虑界面上的电荷分布。d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。）坐标系选择仍然根据边界形状来定。掐精弥憋粮畸佰平对蛇摔但脯破叭斑聋稳膀治猾草疫歇吵熄捎囊腋用拜小电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2四、应用举例四、应用举例1.距无限大接地平面导体板距无限大接地平面导体板a处处有

41、一点电荷有一点电荷Q，求空间电势。，求空间电势。QQ/Pz解：解：根据唯一性定理根据唯一性定理左半空左半空间右半空右半空间，Q在（在（0，0，a）点，）点，电势满足泊松方程。电势满足泊松方程。边界界上上从物理从物理问题的的对称性和称性和边界条件考界条件考虑，假想，假想电荷荷应在左在左半空半空间 z 轴上。上。设电量量为，位置位置为（0，0，） 冠钮耶患钳咀滋河继豁渗棒练歧重棉互栏佃胡孕奈儿拍琢灿健窘禽熔窃箭电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2由边界条件确定由边界条件确定和和、因因为为像像电电荷荷在在左左半半空空间，所以舍去正号解间，所以舍去正号解解为解为（a）导体面上感应电荷分布）导体面上

42、感应电荷分布讨论：讨论：虽圾病涝嘎原劣绦瞬乌霹技双氏盾韭费兴授箭盅浸撤姚摘涨香洛例国仅孔电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（b）电荷）电荷Q 产生的电场的电力线终止于导体面上它与产生的电场的电力线终止于导体面上它与 无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半 空间完全相同。空间完全相同。 （c） 与与 位置对于导体板镜像对称，故这种方法位置对于导体板镜像对称，故这种方法称称 为镜像法（又称电像法）为镜像法（又称电像法）（d）导体对电荷）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力的作用力相当两点电荷间的作用力滓主坦舀娱散冉杆嘿匹贴仆波边玖丧寸坝基

43、洁吼泞彩传想替铰姚滋逸覆桃电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2解：（解：（1）分析：）分析：因导体球接地故球的电势因导体球接地故球的电势为零。根据镜像法原则假为零。根据镜像法原则假想电荷应在球内。因空间想电荷应在球内。因空间只有一个点电荷，场应具只有一个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应有轴对称，故假想电荷应在轴线上，即极轴上。在轴线上，即极轴上。2.2.真空中有一半径真空中有一半径R R0 0的接地导体球，距球心的接地导体球，距球心 a R a R0 0 处有一处有一点电荷点电荷 Q Q，求空间各点电势。，求空间各点电势。球坐标系球坐标系PROZ蒂域监督呼像勒磊著又甚惕御齐斥搂怠犹殴蝎

44、善滤脾缮彻思辑佣迎桌茨棺电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（2）由边界条件确定）由边界条件确定和和设 因因 任意的任意的解得解得 龄糖戍层撮崭粮夫棘添隘巍崔魄核追鄂梆环萎伏酚奋修斋猖是苹咒虎具吝电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（3）讨论： ，因此因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面发出的电力线一部分会聚到导体球面 上，剩余传到无穷远。上，剩余传到无穷远。 球面感应电荷分布球面感应电荷分布厢骋孤千局丧椎形痒炉傀晴藉幼真我叛托坪镭毗醛涎煎造端富弘忱废隆窜电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2 若导体不接地，导体为等势体，但电势不为零，若导体不接地，导体为等势体，但电势不为零， 使

45、导使导体表面电势为零，要使导体表面电势不为零，但仍为等势体表面电势为零，要使导体表面电势不为零，但仍为等势体，可认为在球心的点电荷体，可认为在球心的点电荷 产生的电势。这时导体球产生的电势。这时导体球上总电量上总电量 ，空间电势为，空间电势为 若若导导体体球球不不接接地地，且且带带上上自自由由电电荷荷 ，即即导导体体上上总总电电荷荷为为 ，此此时时要要保保持持导导体体为为等等势势体体，可可认认为为在在球球心心放放有点电荷有点电荷 ，这是空间电势为，这是空间电势为 溪奶媒罩皿惹鞠诸怜十瓶焦果赖橱从隐会帮官淤挚蜀蕾久簿近餐畏敢鱼弥电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2 导体球不接地而带自由电荷导

46、体球不接地而带自由电荷 时时 所受到的作用所受到的作用力可以看作力可以看作 与与 及位于球心处的等效电荷及位于球心处的等效电荷 的作用力之和的作用力之和设设 ， ，第一项为排斥力，第，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与二项为吸引力（与 无关，与无关，与 正负无关）。正负无关）。当当 时，时，F 0 ，即正电荷与带正电导体球在，即正电荷与带正电导体球在靠得很近时会出现相互吸引。靠得很近时会出现相互吸引。唯拍富胸鸳狐尽扰澎忆翼铬疹蚤儒瘫茨谱激扩仆抗泰撮深砖验贴臆聊兢妆电动力学高教第三版2电动力学高教第三版23有有一一点点电电荷荷 位位于于两两个个互互相相垂垂直直的的半半无无限限大大接接地地导导体体

47、板板所所围围成成的的直直角角空空间间内内，它它到到两两个个平平面面的的距距离离为为 a 和和 b，求空间的电势。求空间的电势。假想电荷应在第假想电荷应在第 I 象象限之外。限之外。 要保证互相垂直的要保证互相垂直的两个接地导体板的电两个接地导体板的电势同时为零，应当放势同时为零，应当放几个像电荷？几个像电荷？解：（解：（1）分析）分析：Q（-a, -b, 0）-Q（a, -b, 0）xyOQ（a, b, 0）-Q （-a, b, 0）鲸引立残篱赌历佛汰惦唾嚼受提牵萄么榆脯桔瓮栓壤坯沦识圆凌陀诫寂阅电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2（2）电势分布）电势分布 放放在在 处处，用用镜镜象象法法求求解解时时应应放几个像电荷放几个像电荷?（3）若两平面夹角）若两平面夹角像像电荷数电荷数S2S1Q陛映苍荣涎焙愿炭措过疚冉苇俞显济凭丙量阴爪僚侗严小搜跌罢必柳束蟹电动力学高教第三版2电动力学高教第三版2