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1、专题五 立体几何第 1讲 空间几何体主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.以以三三视视图图为为载载体体，考考查查空空间间几几何何体体面面积积、体体积积的计算的计算.2.考考查查空空间间几几何何体体的的侧侧面面展展开开图图及及简简单单的的组组合合体体问题问题.考情解读主干知识梳理1.四四棱棱柱柱、直直四四棱棱柱柱、正正四四棱棱柱柱、正正方方体体、平平行行六六面面体体、直平行六面体、长方体之间的关系直平行六面体、长方体之间的关系2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图(1)三三视视图图的的正正(主主)视视图图、侧侧(左左)视视图图、俯俯视视图图分分别别是是从从物物体体的
2、的正正前前方方、正正左左方方、正正上上方方看看到到的的物物体体轮轮廓廓线线的的正正投投影影形成的平面图形形成的平面图形.(2)三三视视图图排排列列规规则则：俯俯视视图图放放在在正正视视图图的的下下面面，长长度度与与正正视视图图一一样样；侧侧视视图图放放在在正正视视图图的的右右面面，高高度度和和正正视视图图一一样样，宽度与俯视图一样宽度与俯视图一样.(3)画画三三视视图图的的基基本本要要求求：正正俯俯一一样样长长，俯俯侧侧一一样样宽宽，正正侧侧一样高一样高.看不到的线画虚线看不到的线画虚线.3.直观图的斜二测画法直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：空间几何体的直观图常
3、用斜二测画法来画，其规则：(1)原原图图形形中中x轴轴、y轴轴、z轴轴两两两两垂垂直直，直直观观图图中中，x轴轴、y轴的夹角为轴的夹角为45(或或135)，z轴与轴与x轴和轴和y轴所在平面垂直轴所在平面垂直.(2)原原图图形形中中平平行行于于坐坐标标轴轴的的线线段段，直直观观图图中中仍仍分分别别平平行行于于坐坐标标轴轴.平平行行于于x轴轴和和z轴轴的的线线段段在在直直观观图图中中保保持持原原长长度度不不变变，平行于平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.4.空间几何体的两组常用公式空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：柱体、锥体、
4、台体的侧面积公式：S柱侧柱侧ch(c为底面周长，为底面周长，h为高为高)；S锥侧锥侧 ch(c为底面周长，为底面周长，h为斜高为斜高)；S台台侧侧 (cc)h(c，c分分别别为为上上，下下底底面面的的周周长长，h为斜高为斜高)；S球表球表4R2(R为球的半径为球的半径).热点一 三视图与直观图热点二 几何体的表面积与体积热点三 多面体与球热点分类突破例1某某空空间间几几何何体体的的三三视视图图如如图图所所示示，则则该该几几何何体体的的体积为体积为()热点一 三视图与直观图思维启迪 根根据据三三视视图图确确定定几几何何体体的的直观图；直观图；解析由由三三视视图图可可知知该该几几何何体体是是底底面
5、面为为等等腰腰直直角角三三角形的直三棱柱，如图：角形的直三棱柱，如图：则该几何体的体积则该几何体的体积V 2248.答案B(2)(2013四四川川)一一个个几几何何体体的的三三视视图图如如图图所所示示，则则该该几几何体的直观图可以是何体的直观图可以是()思维启迪 分析分析几何体的特征，从俯视图突破几何体的特征，从俯视图突破.解析由俯视图易知答案为由俯视图易知答案为D.D空空间间几几何何体体的的三三视视图图是是从从空空间间几几何何体体的的正正面面、左左面面、上上面面用用平平行行投投影影的的方方法法得得到到的的三三个个平平面面投投影影图图，因因此此在在分分析析空空间间几几何何体体的的三三视视图图问
6、问题题时时，先先根根据据俯俯视视图图确确定定几几何何体体的的底底面面，然然后后根根据据正正视视图图或或侧侧视视图图确确定定几几何何体体的的侧侧棱棱与与侧侧面面的的特特征征，调调整整实实线线和和虚虚线线所所对对应应的的棱棱、面面的的位位置置，再再确确定定几几何何体的形状，即可得到结果体的形状，即可得到结果.思维升华变式训练1(1)(2013课课标标全全国国)一一个个四四面面体体的的顶顶点点在在空空间间直直角角坐坐标标系系Oxyz中中的的坐坐标标分分别别是是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画画该该四四面面体体三三视视图图中中的的正正视视图图时时，以以zOx平平面面为
7、为投投影影面面，则则得得到到的的正正视视图图可可以以为为()解析根根据据已已知知条条件件作作出出图图形形：四四面面体体C1A1DB，标出各个点的坐标如图，标出各个点的坐标如图(1)所示，所示，可以看出正视图为正方形，如图可以看出正视图为正方形，如图(2)所示所示.故选故选A.答案A(2)将将长长方方体体截截去去一一个个四四棱棱锥锥，得得到到的的几几何何体体如如图图所所示示，则该几何体的侧视图为则该几何体的侧视图为()解析如图所示，点如图所示，点D1的的投影投影为为C1，点，点D的的投影为投影为C，点，点A的的投影投影为为B，故选，故选D.D例2(1)某某几几何何体体的的三三视视图图如如图图所所
8、示示，则则该该几几何何体体的的体体积为积为()热点二 几何体的表面积与体积思维启迪 由由三三视视图图确确定定几几何体形状；何体形状；解析由由三三视视图图知知，原原几几何何体体是是两两个个相相同同的的圆圆锥锥的的组合，组合，答案D(2)如图，在棱长为如图，在棱长为6的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别在分别在C1D1与与C1B1上上，且，且C1E4，C1F3，连接，连接EF，FB，DE，则几何体，则几何体EFC1DBC的的体体积积为为()A.66 B.68C.70 D.72思维启迪 对对几几何何体体进进行行分割分割.解析如图，连接如图，连接DF，DC1，那么几何体那么几何体
9、EFC1DBC被分割成三棱被分割成三棱锥锥DEFC1及四棱锥及四棱锥DCBFC1，故所求几何体故所求几何体EFC1DBC的体积为的体积为66.答案A(1)利利用用三三视视图图求求解解几几何何体体的的表表面面积积、体体积积，关关键键是是确确定定几几何何体体的的相相关关数数据据，掌掌握握应应用用三三视图的视图的“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”；(2)求求不不规规则则几几何何体体的的体体积积，常常用用“割割补补”的的思想思想.思维升华变式训练2 多多面面体体MNABCD的的底底面面ABCD为为矩矩形形，其其正正视视图图和和侧侧视视图图如如图图，其其中中正正视视图图为为等等腰腰梯梯形形
10、，侧侧视视图图为为等等腰腰三角形，则该多面体的体积是三角形，则该多面体的体积是()解析过过M，N分分别别作作两两个个垂垂直直于于底底面面的的截截面面，将将多多面面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为为S1 222，高为，高为2，所以体积为，所以体积为V14，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为为V12 212 ，答案D例3如如图图所所示示，平平面面四四边边形形ABCD中中，ABADCD1，BD ，BDCD，将将其其沿沿对对角角线线BD折折成成四四面
11、面体体ABCD，使使平平面面ABD平平面面BCD，若若四四面面体体ABCD的的顶顶点在同一个球面上，则该球的体积为点在同一个球面上，则该球的体积为()热点三 多面体与球思维启迪 要要求求出出球球的的体体积积就就要要求求出出球球的的半半径径，需需要要根根据据已已知知数数据据和和空空间间位位置置关关系系确确定定球球心心的的位位置置，由由于于BCD是是直直角角三三角角形形，根根据据直直角角三三角角形形的的性性质质：斜斜边边的的中中点点到到三三角角形形各各个个顶顶点点的的距距离离相相等等,只只要要再再证证明明这这个个点点到到点点A的的距距离离等等于于这这个个点点到到B，C，D的的距距离离即即可确定球心
12、，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可.解析如图，取如图，取BD的中点的中点E，BC的的中点中点O，连接，连接AE，OD，EO，AO.由题意，知由题意，知ABAD，所以，所以AEBD.由于平面由于平面ABD平面平面BCD，AEBD，所以所以AE平面平面BCD.答案A多面体与球接、切问题求解策略多面体与球接、切问题求解策略(1)涉涉及及球球与与棱棱柱柱、棱棱锥锥的的切切、接接问问题题时时，一一般般过过球球心心及及多多面面体体中中的的特特殊殊点点(一一般般为为接接、切切点点)或或线线作作截截面面，把把空空间间问问题题转转化化为为平平面面问问题题，
13、再再利利用用平平面面几几何何知知识识寻寻找找几几何何体体中中元元素素间间的的关关系系，或或只只画画内内切切、外外接接的的几几何何体体的的直直观观图图，确确定定球球心心的的位位置置，弄弄清清球球的的半半径径(直直径径)与与该该几几何何体体已已知知量的关系，列方程量的关系，列方程(组组)求解求解.思维升华(2)若若球球面面上上四四点点P，A，B，C构构成成的的三三条条线线段段PA，PB，PC两两两两互互相相垂垂直直，且且PAa，PBb，PCc，一一般般把把有有关关元元素素“补补形形”成成为为一一个个球球内接长方体，则内接长方体，则4R2a2b2c2求解求解.思维升华变式训练3(1)(2014湖南湖
14、南)一块石材表示的一块石材表示的几何几何体体的三视图如图所示的三视图如图所示.将该石材将该石材切削、切削、打磨打磨，加工成球，则能得到的，加工成球，则能得到的最大最大球球的半径等于的半径等于()A.1 B.2C.3 D.4解析由三视图可知该几何体是一个由三视图可知该几何体是一个直直三三棱柱，如图所示棱柱，如图所示.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与与三三棱棱柱柱底底面面直直角角三三角角形形的的内内切切圆圆相相同同时时，该该球球的的半半径最大径最大，故其半径故其半径r (6810)2.因此选因此选B.答案B(2)一个几何体的三视图如图所示，一个几何体的三视图如图所
15、示，其其中中正视图和侧视图是腰长为正视图和侧视图是腰长为1的两个的两个全全等等的等腰直角三角形，则该的等腰直角三角形，则该几何体的体几何体的体积积是是_；若该几何体的所有；若该几何体的所有顶点顶点在在同一球面上，则球的表面积是同一球面上，则球的表面积是_.解析由三视图可知，该几何体是四由三视图可知，该几何体是四棱锥棱锥PABCD(如图如图)，其中底面其中底面ABCD是边长为是边长为1的正方形的正方形，PA底面底面ABCD，且，且PA1，则球的表面积为则球的表面积为S4R23.1.空空间间几几何何体体的的面面积积有有侧侧面面积积和和表表面面积积之之分分，表表面面积积就就是是全全面面积积，是是一一
16、个个空空间间几几何何体体中中“暴暴露露”在在外外的的所所有有面面的的面面积积，在在计计算算时时要要注注意意区区分分是是“侧侧面面积积还还是是表表面面积积”.”.多多面面体体的的表表面面积积就就是是其其所所有有面面的的面面积积之之和和，旋旋转转体体的的表表面面积积除除了了球球之之外外，都都是是其其侧侧面面积和底面面积之和积和底面面积之和.本讲规律总结2.在在体体积积计计算算中中都都离离不不开开空空间间几几何何体体的的“高高”这这个个几几何何量量(球球除除外外)，因因此此体体积积计计算算中中的的关关键键一一环环就就是是求求出出这这个个量量.在在计计算算这这个个几几何何量量时时要要注注意意多多面面体
17、体中中的的“特特征图征图”和旋转体中的轴截面和旋转体中的轴截面.3.一一些些不不规规则则的的几几何何体体，求求其其体体积积多多采采用用分分割割或或补补形形的的方方法法，从从而而转转化化为为规规则则的的几几何何体体，而而补补形形又又分分为为对对称称补补形形(即即某某些些不不规规则则的的几几何何体体，若若存存在在对对称称性性，则则可可考考虑虑用用对对称称的的方方法法进进行行补补形形)、还还原原补补形形(即即还还台台为为锥锥)和和联联系系补补形形(某某些些空空间间几几何何体体虽虽然然也也是是规规则则几几何何体体，不不过过几几何何量量不不易易求求解解，可可根根据据其其所所具具有有的的特特征征，联联系系
18、其其他他常常见见几几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解何体，作为这个规则几何体的一部分来求解).真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟1.(2014北北京京)在在空空间间直直角角坐坐标标系系Oxyz中中，已已知知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1， ).若若S1，S2，S3分分别别是是三三棱棱锥锥DABC在在xOy，yOz，zOx坐坐标标平面上的正投影图形的面积，则平面上的正投影图形的面积，则()A.S1S2S3 B.S2S1且且S2S3C.S3S1且且S3S2 D.S3S2且且S3S112真题感悟解析如图所示，如图所示，ABC为三棱锥在坐为三棱锥在坐标标平面
19、平面xOy上的正投影，上的正投影，所以所以S1 222.三三棱棱锥锥在在坐坐标标平平面面yOz上上的的正正投投影影与与DEF(E，F分分别别为为OA，BC的中点的中点)全等全等，12真题感悟三三棱棱锥锥在在坐坐标标平平面面xOz上上的的正正投投影影与与DGH(G，H分分别别为为AB，OC的中点的中点)全等，全等，所以所以S2S3且且S1S3.故选故选D.答案D真题感悟21真题感悟21由圆柱的侧面积相等，得由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，押题精练121.把把边边长长为为 的的正正方方形形ABCD沿沿对对角角线线BD折折起起，连连接接AC，得得到到三三棱棱锥锥CABD，其其正正视视图图、俯俯视视图图均均为为全全等等的的等腰直角三角形等腰直角三角形(如图所示如图所示)，则其侧视图的面积为，则其侧视图的面积为()押题精练12解析在三棱锥在三棱锥CABD中，中，C在在平面平面ABD上的投影为上的投影为BD的中点的中点O，正方形边长正方形边长为为 ，AOOC1，答案B押题精练12押题精练12解析如图，以如图，以AB，AC，AD为棱把该为棱把该三棱三棱锥锥扩充成长方体，扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.押题精练12答案A
