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1、第第8 8章章 泊松过程泊松过程1、泊松分布的定义泊松分布的定义2、泊松分布的性质泊松分布的性质3、非齐次、非齐次泊松过程泊松过程4、复合、复合泊松分布泊松分布泊松分布泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程泊松过程及维纳过程是两个典型的随机过程,它们在随机过程的理论和应用中都有重要的地位,它们都属于所谓的独立增量过程.一、 独立增量过程(independent increment process)X(t)-X(s),0st 为随机过程在 (s , t 的增量.如果对n个增量X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1), ,X(tn)-X(tn-1)相互 给定二阶矩过程 X(t),t0 我们称
2、随机变量任意选定的正整数n和任意选定的0t0t1t2tn,独立,则称 X(t),t0为独立增量过程.直观地说,它具有“在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立的”这一特征.泊松分布的分布所确定的分布所确定. .于时间差t-s(0st),而不依赖于 t 和 s 本身(事实上,令h= - s即知).当增量具有平稳性时,称相应的独立增量过程是齐次的或时齐的.X(s+h)与X(t)-X(s)具有相同的分布,则称增量具有特别,若对任意的实数h和0 s+ht+h,X(t+h) -对于独立增量过程,可以证明:在X(0)=0的条件下,它的有限维分布函数可以由增量 X(t) X(s) (0st) 平稳性.这时,
3、增量X(t)-X(s)的分布函数实际上只依赖在X(0)=0和方差函数为已知的条件下,独立增量过程协方差函数可用方差函数表示为:泊松分布1 1、 泊松过程举例泊松过程举例 （PoissonprocessPoissonprocess ）现实世界许多偶然现象可用泊松分布来描述,大量自然界中的物理过程可以用泊松过程来刻画.泊松过程是随机建模的重要基石,也是学习随机过程理论的重要直观背景.著名的例子包括盖格计数器上的粒子流,二次大战时伦敦空袭的弹着点,电话总机所接到的呼唤次数,交通流中的事故数,某地区地震发生的次数,细胞中染色体的交换等等.这类变化过程可粗略地假定为有相同的变化类型.我们所关心的是随机事
4、件的数目,而每一变化可用时间或空间上的一个点来表示.这类过程有如下两个特性:一是时间和空间上的均匀性,二是未来的变化与过去的变化没有关系.我们将基于这些性质来建立泊松过程的模型.泊松分布1.计数过程计数过程:设设为一随机过程,如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足st时,N(s) N(t),则称为计数过程(counting process).若用N(t)表示电话交换台在时间0,t中接到电话呼叫的累计次数,则N(t) ,t0就是一计数过程.对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数计数对象不仅仅是来到的电话呼叫,也可以是到某商店的顾客数,到某机场降落的飞机数,某放射性物质在放射性蜕变中
5、发射的粒子数,一次足球赛的进球数,某医院出生的婴儿数等等,总之,对某种过程名称的由来.对 0st,N(t)-N(s)就表示在(s,t中发生的电话呼叫次数.泊松分布定义1 称随机过程 N(t),t 0 为计数过程,若N(t)N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件A”的总数,且N(t)满足下列条件:(1) N(t) 0(2)N(t)取正整数;(3)若st,则N(s)N(t);(4)当st,N(t)-N(s)等于区间(s,t中发生的“事件A”的次数.若t1t2 t30),事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关,而与t无关,则计数过程N(t)是平稳独立增量过程.泊松分布随机事件的来到数
6、都可以得到一个计数过程随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程.计数过程的一个典型的样本函数如图泊松分布S2S3S4S5第一个信号到达S1S6第二个信号到达第三个信号到达 N(t)t0电话呼叫模型泊松分布将增量将增量它表示时间间隔(t0,t内出现的质点数.“在 (t0,t内出现k个质点”,即N(t0,t)=k是一随机事件,其概率记为 Pk(t0,t)=PN(t0,t)=k,k=0,1,2, .2.泊松计数过程过程 : N(t) ,t0 称为强度为 的泊松过程,如果满足条件:(2) N(0)=0;(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(3
7、) 对于充分小的其中常数 0 ,称为过程N(t)的强度. (亦即在充分小的时间间隔中事件出现一次的概率与时间间隔的长度成正比)泊松分布(4) 对于充分小的对于充分小的在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强度为的泊松流.泊松分布定义定义2 2 如果取非负整数值的计数过程如果取非负整数值的计数过程N(t),tN(t),t 00满足：满足：1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具有独立增量；具有独立增量；3.3.对任意对任意0 0 st,N(t)-N(s)st,N(t)-N(s)服从参数为服从参数为 (t-s)(t-s)泊松分布，泊松分布，则称则称N(t),tN(t),t 00为参数
8、为参数( (或平均率、强度或平均率、强度) )为为 的的( (齐次齐次) )泊松过程。泊松过程。 泊松过程的第二种定义方式泊松过程的第二种定义方式 注:由条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且EX(t)= t.t.由于, , =EX(t)/t=EX(t)/t表示单位时间内事件A A发生的平均个数, ,故称 为此过程的速率或强度泊松分布定义定义3 3 如果取非负整数值得计数过程如果取非负整数值得计数过程N(t),tN(t),t 00满足下列条满足下列条件：件： 泊松过程的第一种定义方式泊松过程的第一种定义方式 1.N(0)1.N(0)0 0；2.2.具有独立增量；具有独立增量；3.PN(h)=1
9、3.PN(h)=1 h+0(h)h+0(h)；4.PN(h)4.PN(h) 220(h)0(h)则称则称N(t),tN(t),t 00为参数为参数( (或平均率、强度或平均率、强度) )为为 的的( (齐次齐次) )泊泊松过程。松过程。例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表示电话交换台在(0,t内收到的呼唤次数,则X(t),t 0满足定义3的条件, 故X(t), t 0是一个泊松过程.例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间0,t内到达售票窗口的旅客数,则X(t),t 0为一泊松过程泊松分布定理定理泊松过程的定义泊松过程的定义2与定义与定义3是等价的。
10、是等价的。证明2 23 3：条件a)a)与1)1)相同。条件b)b)可由2)2)和3)3)直接得到。PN(h)=1PN(h)=1PN(h)-N(0)=1PN(h)-N(0)=1 h1-h1- h+o(h)h+o(h) h+o(h)h+o(h)即c)c)。即d)d)。泊松分布3 32 2：条件：条件1)1)与与a)a)相同。条件相同。条件2)2)由由b)b)直接得到。直接得到。只要证明：只要证明：N(t)(tN(t)(t 0 0) )服从参数为服从参数为 t t泊松分布。泊松分布。设设p pk k(t)(t)PN(t)=kPN(t)=k，利用归纳法证明：，利用归纳法证明：(1)(1)k=0k=0
11、，p p0 0(t+h)(t+h)PN(t+h)=0PN(t+h)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0,N(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0PN(t)=0PN(t+h)-N(t)=0p p0 0(t)1-(t)1- h+o(h)h+o(h)因为解得：p p0 0(t)(t)e e- - t t。泊松分布(2)(2)k k 1 1p pk k(t+h)(t+h)PN(t+h)=kPN(t+h)=kp pk k(t)1-(t)1- h+o(h)+ph+o(h)+pk-1k-1(t)(t) h+o(h)+o(h)h+o(h)+o(h)，泊松分布
12、k=1k=1时时, ,解得：p p1 1(t)(t) tete- - t t，所以k=1k=1时结论成立。解得结论成立。由归纳法知，对一切k=0,1,2,k=0,1,2,，结论成立。得证再由平稳独立增量性质，对一切0 0 st,s0,N(t) ( t),PN(t)=k泊松分布2 泊松分布的一维特征函数泊松分布3 协方差函数和相关函数协方差函数和相关函数协方差函数协方差函数B(s,t) min(s,t)，相关函数相关函数R(s,t) min(s,t) 2st。证明证明R(s,t)EX(s) X(t)EX(s)X(t)- X(s)+ X(s) st发生当且仅当泊松过程在区间0,t内没有事件发生,T
13、1表示第一个到达因而 PT1t=PX(t)=0=e- t,即 所以T1是服从参数为 的指数分布. .利用泊松过程的独立, ,平稳增量性质, ,有 PTPT2 2t|Tt|T1 1=s=s=P=P在(s,s+t(s,s+t内没有事件发生|T1=s|T1=s=P=P在(s,s+t(s,s+t内没有事件发生 =PX(t+s)-X(s)=0=PX(t+s)-X(s)=0=PX(t)-X(0)=0= =PX(t)-X(0)=0= e- t所以T2也是服从参数为 的指数分布. .泊松分布对于任意n0和t,s1,s2,sn-1 0,有PTnt|T1=s1,Tn-1=sn-1 =PX(t+s1+ sn-1)-
14、X(s1+s2+ sn-1)=0 =PX(t)-X(0)=0= e- t所以对任一Tn(n0),其分布是参数为 的指数分布.泊松分布定理定理3 设设N(t),t 0是是参数为参数为 的泊松过程，的泊松过程，设设N(t),t 0是是参数为参数为 的泊松过程，的泊松过程，Wn,n=1,2,为等待时间序列，则为等待时间序列，则Wn (n, )，即概率密度为：，即概率密度为：下面用下面用Wn表示第表示第n个顾客的到达时间，则个顾客的到达时间，则 Wn = X1 + X2 + + Xn , n 1称称 Wn 为直到第为直到第 n 个顾客出现的等待时间。个顾客出现的等待时间。泊松分布证明: 因事件Wn t
15、等价于事件N(t) n,在0,t)内事件至少出现n次,所以Wn的分布函数为于是Wn的概率密度当ta。由定理由定理2知知X2服从参数服从参数为 的指数分布，故的指数分布，故等待等待时间泊松分布4 到达时间的条件分布假设在时间0,t内事件A已经发生一次，我们需要确定这一事件到达时间W1的分布。由于泊松过程是一个平稳独立增量过程，因此我们认为W1落在0,t区域的小时间段是服从均匀分布的。事实上,对st有PW1 s|N(t)=1泊松分布即分布函数为分布密度函数为泊松分布一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开,例例4: 设从早上
16、设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务开始有无穷多的人排队等候服务,设只有设只有解解: 由所由所设条件可知条件可知,离去的人数离去的人数N(t)是是强度度=3的的泊松过泊松过程程(这里以小时为单位这里以小时为单位)。设。设8:00为零时刻，则为零时刻，则其均其均值为即到即到12：00为止，离去的人平均是止，离去的人平均是12名。名。已有9个人接受服务的概率是多少?而有而有9个人接受个人接受过服服务的概率是的概率是泊松分布3 3非齐次泊松过程非齐次泊松过程定义定义4 如果计数过程如果计数过程N(t),t 0满足下列条件：满足下列条件：1.N(0)0；2.N(t),t 0是独立增量过程；是独
17、立增量过程；3.PN(t+ t)-N(t)=1 (t) t+0( t)；4.PN(t+ t)-N(t) 20( t)则称则称N(t),t 0为参数为参数(或平均率、强度或平均率、强度)为为 (t)的非的非齐次泊松过程。特别，当齐次泊松过程。特别，当 (t)= 时，即为齐次泊松时，即为齐次泊松过程。过程。泊松分布注1：定义中增量仅具有相互独立性，不具有增量平稳性质，所以称为非平稳，或非齐次。此处的强度 与时间t有关，意味着这个计数过程一定与时间起点有关系，或者说在等长的时间间隔里，由于时间的起点不同，计数过程的概率特性也有所不同，因此这种计数过程不再具有增量平稳性。注2 2：在定义中令 ，且增加
18、计数过程的增量平稳性，则可以退化为标准泊松过程 平稳泊松过程 。 泊松分布定理5 5若过程N(t),tN(t),t 00是非齐次泊松过程，则在时间间距tt0 0,t,t0 0+ +t) )内事件A A出现k k次的概率为：式中m(t)称为非平稳泊松过程的强度，N(t)表示0, t内到达的数量，则m(t)表示0, t内平均到达数量。取t=0得到：泊松分布例例某镇有一小商店，每日某镇有一小商店，每日8:008:00开始营业。从开始营业。从8:008:00到到11:0011:00平平均顾客到达率线性增加，在均顾客到达率线性增加，在8:008:00顾客平均到达顾客平均到达5 5人人/ /小时；小时；1
19、1:0011:00到达率达最高峰到达率达最高峰2020人人/ /小时。从小时。从11:0011:00到到13:0013:00平均顾客平均顾客到达率为到达率为2020人人/ /小时。从小时。从13:0013:00到到17:0017:00平均顾客到达率线性平均顾客到达率线性下降，下降，17:0017:00顾客到达率为顾客到达率为1212人人/ /小时。假设在不相交的时间小时。假设在不相交的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，试问在8:308:30到到9:309:30时间内无顾客到达商店的概率为多少？在这段时间机内到达时间内无顾客到达商店的概率为多少？在
20、这段时间机内到达商店的顾客的均值为多少？商店的顾客的均值为多少？泊松分布解解:设设8:008:00为为t=0t=0，11:0011:00为为t=3t=3，13:0013:00为为t=5t=5，17:0017:00为为t=9t=9。于是，顾客到达率是周期为于是，顾客到达率是周期为9 9的函数：的函数： (t)(t) (t-9)(t-9)根据题意，在0,t)0,t)内到达的顾客数N(t),tN(t),t 00是一个非齐次泊松过程。在8:308:30到9:309:30无顾客到达商店的概率为在8:308:30到9:309:30到达商店的顾客均值概率为泊松分布3非平稳泊松过程的均值和方差设N(t) 是强
21、度为m(t)的非平稳泊松过程，由于泊松分布的均值和方差相等，满足：例设N(t)是一个非齐次泊松过程，其强度为求1 增量 的概率分布2与泊松分布解：由定理3.1知：增量 的概率分布是其中所以2 2 因为N N( (t t) )服从参数为的泊松分布，因此满足：泊松分布4复合泊松过程复合泊松过程设N(t),t 0是参数为 的泊松过程，Yn，n=1,2,是相互独立同分布的随机变量序列，且N(t)与Yn相互独立，令称X(t),X(t),t t 00为复合泊松过程。泊松分布复合泊松过程性质定理：设是复合的泊松过程则有 (1)是独立增量过程(2)的特征函数 ，其中 是随机变量 的特征函数字。(3)若 ，则泊松分布习题泊松分布
