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1、2.2 离散型随机变量离散型随机变量一、离散型随机变量一、离散型随机变量二、常见的离散型随机变量二、常见的离散型随机变量一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律 1 1、离散型随机变量定义、离散型随机变量定义定义定义2.1 若随机变量若随机变量X的可能取值仅有有限的可能取值仅有有限或可列多个或可列多个, 则称此随机变量为则称此随机变量为离散型随机离散型随机变量变量。即：即：X的可能取值为的可能取值为xk, 则离散型随机变量可则离散型随机变量可记为记为 X=xk k=1,2,3,2 2、离散型随机变量的分布律、离散型随机变量的分布律定义定义2.2 设离散型随机变量设离散型随机变量X的
2、所有可能取的所有可能取值为值为xk，且，且X取值为取值为xk的概率，即事件的概率，即事件X=xk 的概率为的概率为则称则称(2.1)式为式为X的的概率分布概率分布(或或分布律分布律)。注注：概率分布有三种表示方式：概率分布有三种表示方式pkXx1x2x3xn(3)图形表示法图形表示法由随机变量由随机变量X的概率分布可以得到其分布函数，的概率分布可以得到其分布函数，以以X有有n个可能取值为例：个可能取值为例：(2) 离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)的图形的图形为一阶梯形曲线；为一阶梯形曲线；注注(1)离散型随机变量离散型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)在在X=xk
3、处处有跳跃，其跳跃值为有跳跃，其跳跃值为pk=PX=xk，k=1,2,；练习练习 设设X为一离散型随机变量，其分布律如为一离散型随机变量，其分布律如下：下：3 3、离散型随机变量的分布律的求法、离散型随机变量的分布律的求法(1)利用古典概率、条件概率、独立性等计利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件算方法及其运算法则求出事件X=xk的概率的概率pk=PX=xk, k=1, 2,求法步骤求法步骤为：为：第一步第一步：先确定：先确定X的全部可能取值的全部可能取值xk，k=1, 2,;第二步第二步：具体求出事件：具体求出事件X=xk的概率，即的概率，即pk。例例2.1 设有甲、
4、乙两势均力敌的排球设有甲、乙两势均力敌的排球队，在每一局比赛中各队取胜的概率队，在每一局比赛中各队取胜的概率都是都是1/2，求两个队在一场排球比赛，求两个队在一场排球比赛中所打局数的概率分布及分布函数。中所打局数的概率分布及分布函数。解解: 设一场排球比赛中所打局数为随机变量设一场排球比赛中所打局数为随机变量X, 则按现则按现行规则行规则, X的取值只可能是的取值只可能是3, 4或或5. 而第而第k局比赛甲局比赛甲, 乙队取胜的事件分别记为乙队取胜的事件分别记为Ak, Bk,则则 P(Ak)=P(Bk)=1/2, k=1,2,3,4,5且每个且每个Ak与与Bk间是相互独立的。间是相互独立的。X
5、 3 4 5Pk 1/4 3/8 3/8PX=51PX=3PX=43/8X的分布函数为：的分布函数为：即所求概率分布如下表：即所求概率分布如下表：(2)利用分布函数利用分布函数F(x)求概率分布求概率分布求法步骤求法步骤为：为：第一步第一步：F(x)的各间断点的各间断点xk的取值为的取值为X的可能取值；的可能取值；第二步第二步：由：由pk=PX=xk=F(xk)F(xk0)求出事件求出事件X=xk的概率。的概率。例例2.2 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为试求试求X的概率分布。的概率分布。解解: (1) F(x)的间断点为的间断点为1,1,3, 即为即为X的可能取值的可能取值(2
6、) p1=P(X= 1)=F(1)F(10)=0.40=0.4p2=P(X=1)=F(1)F(10)=0.80.4=0.4p3=P(X=3)=F(3)F(30)=10.8=0.2(3) 利用分布律的基本性质求分布律利用分布律的基本性质求分布律例例2.3 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。的概率分布。解解: 设抽取产品的检
7、验等级数为设抽取产品的检验等级数为X, 则则X =1,2,3, 依题意知依题意知二、常见的离散型随机变量二、常见的离散型随机变量设随机变量设随机变量X的可能取值仅为的可能取值仅为0或或1，其概率分，其概率分布为布为 PX=k=pk(1p)1k k=0,1 (0p1)或或则称则称X服从参数为服从参数为p的（的（01）分布）分布。X011pppk 其分布函数为：其分布函数为：1、（、（01）分布（两点分布）分布（两点分布）例例：(1)对新生婴儿进行性别登记，记女婴出现的事件为对新生婴儿进行性别登记，记女婴出现的事件为A(2)检查一件产品是否合格，记合格品的事件为检查一件产品是否合格，记合格品的事件
8、为A(3)检查某车间电力消耗量是否超负荷，记超过负荷事检查某车间电力消耗量是否超负荷，记超过负荷事件为件为A(4)抛掷硬币一次，记正面出现的事件为抛掷硬币一次，记正面出现的事件为A。例例2.4 设设100件产品，其中有件产品，其中有95件合格品，件合格品，5件件次品。现从中任取一件，设随机变量次品。现从中任取一件，设随机变量试求试求X的概率分布及分布函数。的概率分布及分布函数。2 2、等可能分布、等可能分布( (离散型均匀分布离散型均匀分布) ) 如果随机变量如果随机变量X可以取可以取n个不同的值个不同的值x1, x2, xn, 且取每个且取每个xk值的概率相等值的概率相等, 即即 PX=xk
9、=1/n k=1,2,n则称则称X服从等可能分布服从等可能分布或或离散型均匀分布离散型均匀分布, 其分其分布参数为布参数为n, 可记为可记为XU(n)。其分布函数为其分布函数为注注: 等可能概型中等可能概型中, 试验试验E的可能结果只可能是有限个的可能结果只可能是有限个3 3、二项分布、二项分布 若随机变量若随机变量X取值为取值为0,1,2,n的概率为的概率为则称则称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布，记为，记为XB(n,p)。其分布函数为其分布函数为应用模型应用模型： n重贝努利概型中事件重贝努利概型中事件A发生的次数发生的次数X即服从即服从B(n,p)。定义定义2.3独立地重
10、复进行独立地重复进行n次，则称这一串重复的独立试验次，则称这一串重复的独立试验为为n重贝努利试验重贝努利试验，或称，或称贝努利概型贝努利概型。例如例如：(1)n次投掷一枚硬币，其中正面出现次数次投掷一枚硬币，其中正面出现次数X的的分布；分布；(2)检查检查n只产品只产品(次品率一定次品率一定)，其中次品个数，其中次品个数X的分布；的分布；(3)n台同型号机床，在一小时内，每台机床出台同型号机床，在一小时内，每台机床出故障的概率相同，则故障的概率相同，则n台机床在同一小时内出台机床在同一小时内出故障的台数的分布；故障的台数的分布；(4)n个新生婴儿中男婴的个数的分布；个新生婴儿中男婴的个数的分布
11、；(5)某射手向同一目标射击某射手向同一目标射击n次，次，n次射击中击次射击中击中靶心的次数的分布。中靶心的次数的分布。注注3 当二项分布当二项分布B(n,p)中的参数中的参数n=1时时, 化为两化为两点分布点分布B(1,p), 即两点分布是二项分布的特例即两点分布是二项分布的特例注注1 注注2 二项分布二项分布B(n,p)的分布律的分布律PX=k在在例例2.5 设某种疾病在鸭子中传染的概率为设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。 (1)求在正常情况下求在正常情况下(未注射防疫血清时未注射防疫血清时)，50只鸭只鸭子和子和39只鸭子中，受到感染的最大可能只数；只鸭子中，受到感染的最大可能只数
12、； (2)设对设对17只鸭子注射甲种血清后，仍有一只受到只鸭子注射甲种血清后，仍有一只受到感染；对感染；对23只鸭子注射乙种血清后，仍有两只受到只鸭子注射乙种血清后，仍有两只受到感染。感染。试问这两种血清是否有效？试问这两种血清是否有效？注注4 一般地一般地, 当当n不大于不大于10时时, F(x)的值可由的值可由二项二项分布表分布表查出查出, 若若n较大时较大时, 通常采用泊松分布函数通常采用泊松分布函数或正态分布函数作近似计算。或正态分布函数作近似计算。解解: 设设n只鸭子中受感染的只数为只鸭子中受感染的只数为X, 则则XB(n,0.25)由于假定血清无效由于假定血清无效, 而得出相应事件
13、出现的概而得出相应事件出现的概率很小率很小, 所以所以, 可以初步判断两种血清都是有可以初步判断两种血清都是有效的。且由于效的。且由于F23(2)0为常数为常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松的泊松分布分布, 记作记作X ( ); 其分布函数为其分布函数为注注1 泊松分布中的参数泊松分布中的参数 表征平均特性表征平均特性, 如如X表示表示单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数, 即即 表表示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。应用模型应用模型： 作为描述大量独立试验中稀有事件作为描述大量独立试验中稀有事件A出现次
14、数出现次数的分布模型。的分布模型。例如例如：(1)电话交换台在一段时间内接到的呼唤次数电话交换台在一段时间内接到的呼唤次数;(2)一大批产品中的废品数一大批产品中的废品数;(3)某路段某路段, 某时段内交通事故出现的次数某时段内交通事故出现的次数;(4)某商店一天内销售的某种特殊商品数某商店一天内销售的某种特殊商品数;(5)一本书中某一页上印刷错误个数。一本书中某一页上印刷错误个数。注注2 泊松分布常用于近似计算二项分布的概率。泊松分布常用于近似计算二项分布的概率。 当贝努利试验的次数当贝努利试验的次数n很大，而在一次试验中某很大，而在一次试验中某事件发生的概率事件发生的概率p很小，且很小，且
15、 =np适中时，可用泊松分适中时，可用泊松分布作二项分布概率的近似计算，即布作二项分布概率的近似计算，即从下表可看出近似程度。（见下页）从下表可看出近似程度。（见下页）注注3 泊松分布泊松分布 ( )的分布律的分布律PX=k在在 kn=10 n=20 n=40 n=100p=0.1 p=0.05 p=0.025 p=0.01 =np=100.349 0.358 0.369 0.3660.36810.385 0.377 0.372 0.370 0.36820.194 0.189 0.186 0.1850.18430.057 0.060 0.060 0.0610.06140.011 0.013 0
16、.014 0.0150.015大于大于4 0.004 0.003 0.005 0.0030.004例例2.6 某电话交换台在一般情况下某电话交换台在一般情况下, 一小时内平均一小时内平均接到电话接到电话60次次, 已知电话呼唤次数已知电话呼唤次数X服从泊松分布服从泊松分布, 试求在一般情况下试求在一般情况下, 30秒内接到电话次数不超过一秒内接到电话次数不超过一次的概率。次的概率。例例2.7 设有设有80台同类型设备台同类型设备, 各台工作是各台工作是相互独立的相互独立的, 发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理。考且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两
17、种配备维修工人的方法虑两种配备维修工人的方法, 其一是由其一是由4人维护人维护, 每人负责每人负责20台台; 其二是由其二是由3人共人共同维护同维护80台台, 试比较两种方法在设备发生试比较两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。故障时不能及时维修的概率的大小。解解: (1)按第一种方法按第一种方法, 设设X为为“第一人维护的第一人维护的20台同时发生故障的台数台同时发生故障的台数”, Ai (i=1,2,3,4)为为“第第i人维护的人维护的20台中发生故障不能及时维台中发生故障不能及时维修修”则则80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为P(A1 A2 A
18、3 A4)依题意依题意XB(20,0.01), 此处此处 =np=0.2, 故故 P(A1)=P(X 2)故故 P(A1 A2 A3 A4) 0.0175231(2)按第二种方法按第二种方法, 设设Y为为“80台中同时发生故台中同时发生故障的台数障的台数”, 此时此时YB(80,0.01), 此处此处 =np=0.8, 则则80台中发生故障不能及时维修的概率为台中发生故障不能及时维修的概率为查泊松分布表得查泊松分布表得 P(Y 4)0.00908所以，第二种方法更好。所以，第二种方法更好。例例2.8 一台总机共有一台总机共有300台分机台分机, 总机拥有总机拥有13条外线条外线, 假设每台分机
19、向总机要外线的概率为假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分试求每台分机向总机要外线时能及时得到满足的概率和同时向总机向总机要外线时能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数。机要外线的分机的最可能台数。解解: 设设300台分机向总机要外线的台数台分机向总机要外线的台数为为X, 则则XB(300,0.03)由注由注3知知, 向总机要外线的分机的最可能台数向总机要外线的分机的最可能台数为为8或或9台台(因因 =9为整数为整数)例例2.9(寿命保险问题寿命保险问题) 设在保险公司里有设在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保个同一年龄和同社会阶层的人参加
20、了人寿保险险, 在一年里每个人死亡的概率为在一年里每个人死亡的概率为0.002, 每个每个参加保险的人在每年一月一日付参加保险的人在每年一月一日付12元保险费元保险费, 而死亡时家属可到保险公司领取赔付费而死亡时家属可到保险公司领取赔付费2000元。元。试问：试问：(1)“一年内保险公司亏本一年内保险公司亏本”(记为记为A)的概率的概率是多少？是多少？(2)“一年内保险公司获利不少于一年内保险公司获利不少于10000, 20000元元”(分别记为分别记为B1,B2)的概率是多少？的概率是多少？解：解：每年保险公司收入为每年保险公司收入为250012=30000元元, 设设X为为2500人在一年中死亡的人数人在一年中死亡的人数, 则保险则保险公司应赔付公司应赔付2000X元元, 若若A发生发生, 则有则有 2000X30000得得 X15（人）人）即若一年中死亡人数超过即若一年中死亡人数超过15人人, 则公司亏本则公司亏本(此处不计此处不计3万元所得利息万元所得利息)。依题意依题意XB(2500,0.002), 故故即一年内保险公司获利不少于即一年内保险公司获利不少于10000元的概率元的概率在在98%以上。以上。同理同理即一年内保险公司获利不少于即一年内保险公司获利不少于20000元的概率元的概率约为约为0.62
