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1、水质模型水质模型1-3章章ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型课程内容课程内容: : 以环境（水环境）系统为研究对象以环境（水环境）系统为研究对象, ,通过分综通过分综合合, ,建立数学模型建立数学模型, ,以寻求系统的最优或较满意的规划方案以寻求系统的最优或较满意的规划方案. 环境系统规划：环境系统规划：运用现代科技的最新技术运用现代科技的最新技术系统工程和系统工程和计算机方法来解决环境系统的规划方法。计算机方法来解决环境系统的规划方法。 环境系统特点环境系统特点：v是一个涉及到社会、经济、环境、资源等方面的问题是一个涉及到社会、经济、环境、资源等方面的问题v是
2、一个多变量、多目标、多层次的复杂系统问题是一个多变量、多目标、多层次的复杂系统问题 水环境系统数学模型类型：水环境系统数学模型类型：v各类水体的水质模型、生态模型、污水处理和输送过各类水体的水质模型、生态模型、污水处理和输送过程的模型程的模型v各类工程实施的经济模型、效益费用分析模型各类工程实施的经济模型、效益费用分析模型v水质评价模型、规划模型水质评价模型、规划模型 ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型课程内容课程内容Chapter1Chapter1系统与系统工程系统与系统工程系统与系统工程系统与系统工程Chapter2Chapter2系统分析系统分析系统分析系
3、统分析Chapter3Chapter3最优化技术最优化技术最优化技术最优化技术(网络技术网络技术网络技术网络技术) )Chapter4Chapter4环境系统数学模型环境系统数学模型环境系统数学模型环境系统数学模型( (邢老师讲授邢老师讲授邢老师讲授邢老师讲授) )Chapter5Chapter5系统预测系统预测系统预测系统预测(决策分析决策分析决策分析决策分析) )Chapter6Chapter6城市污水排海工程城市污水排海工程城市污水排海工程城市污水排海工程Chapter7Chapter7环境污染控制系统规划环境污染控制系统规划环境污染控制系统规划环境污染控制系统规划ShandongJia
4、nzhuUniversity水质模型水质模型本课程主要参考书籍本课程主要参考书籍1.环境环境系统工程系统工程. . 韦鹤平韦鹤平. . 同济大学出版社同济大学出版社2.2.水污染控制系统规划水污染控制系统规划. .傅国伟傅国伟, ,程声通程声通. . 清华大学出版社清华大学出版社3 3. .河流水质数学模型及其模拟计算河流水质数学模型及其模拟计算. .傅国伟傅国伟. . 中国环境科中国环境科学出版社学出版社4.4.系统工程系统工程, ,汪应洛汪应洛. . 机械工业出版社机械工业出版社5 5. .系统分析系统分析. .顾培亮顾培亮 . .机械工业出版社机械工业出版社6.6.中国水环境预测与对策概
5、论中国水环境预测与对策概论. . 刘鸿亮刘鸿亮, ,韩国钢韩国钢. . 中国环中国环境科学出版社，境科学出版社，198819887.7.最优化技术应用最优化技术应用. . 韦鹤平韦鹤平. .同济大学出版社同济大学出版社. .8.8.优化与决策优化与决策. . 徐裕生徐裕生. .陕西科学技术出版社陕西科学技术出版社.2004.2004ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型Chapter1系统与系统工程系统与系统工程 1.1 1.1 1.1 1.1 系统系统系统系统( ( ( (System)System)System)System) 集合性：集合性：2个要素构成集合体
6、个要素构成集合体相关性：内在要素的相互作用相互联系相关性：内在要素的相互作用相互联系目的性：有规定目的、功能目的性：有规定目的、功能(不可控自然系统除外不可控自然系统除外)环境适应性：适应系统外部环境的变化环境适应性：适应系统外部环境的变化v基本特征基本特征 ：“极其复杂的研究对象，即由相互作用和相互依赖的若极其复杂的研究对象，即由相互作用和相互依赖的若干干组成部分组合成具有特定功能的有机整体，它又从组成部分组合成具有特定功能的有机整体，它又从属于一个更大系统的组成部分属于一个更大系统的组成部分”(钱学森钱学森)。v定义定义：ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型（
7、1 1）按组成的属性分为）按组成的属性分为v自然系统自然系统：海洋、大气、生态系统等：海洋、大气、生态系统等v人造系统人造系统：工业、给排水、污染监测控制等：工业、给排水、污染监测控制等v复复合合系系统统：利利用用自自然然系系统统为为人人类类服服务务建建造造的的系系统统，气气象象预报等预报等（2 2）按形态分）按形态分v实体系统实体系统：物体实体，如管道构件、机械：物体实体，如管道构件、机械v概概念念系系统统：由由概概念念、原原理理、法法规规等等组组成成，如如法法律律系系统统、教育系统教育系统v分类分类：ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型（3 3）按所处的状态分
8、）按所处的状态分v静态系统静态系统：不随时间变化的系统：不随时间变化的系统v动态系统动态系统：随时间变化的系统：随时间变化的系统（4 4）按照规模分）按照规模分v小型系统小型系统v中型系统中型系统v大型系统大型系统v分类分类：ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型 1.2 1.2 1.2 1.2 系统工程系统工程系统工程系统工程( ( ( (System Engineering)System Engineering)System Engineering)System Engineering)系统工程是一门新兴的高度综合的科学，是一种组织管系统工程是一门新兴的高度综合
9、的科学，是一种组织管系统工程是一门新兴的高度综合的科学，是一种组织管系统工程是一门新兴的高度综合的科学，是一种组织管理的科学方法。把研究的对象看成一个系统，解决如何对系理的科学方法。把研究的对象看成一个系统，解决如何对系理的科学方法。把研究的对象看成一个系统，解决如何对系理的科学方法。把研究的对象看成一个系统，解决如何对系统进行规划、治理、组织和管理，使之获得最佳效益。统进行规划、治理、组织和管理，使之获得最佳效益。统进行规划、治理、组织和管理，使之获得最佳效益。统进行规划、治理、组织和管理，使之获得最佳效益。vv系统工程的产生发展：系统工程的产生发展：系统工程的产生发展：系统工程的产生发展：
10、4040年代正式形成年代正式形成年代正式形成年代正式形成50605060年代逐步形成较为完整的体系年代逐步形成较为完整的体系年代逐步形成较为完整的体系年代逐步形成较为完整的体系7070年代得到广泛应用，进入初步成熟阶段年代得到广泛应用，进入初步成熟阶段年代得到广泛应用，进入初步成熟阶段年代得到广泛应用，进入初步成熟阶段ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型 环境系统工程的产生：环境系统工程的产生：人类社会的发展，环境问题越来越严重，尤其是二人类社会的发展，环境问题越来越严重，尤其是二人类社会的发展，环境问题越来越严重，尤其是二人类社会的发展，环境问题越来越严重，尤其
11、是二战之后生产的工业化程度的提高，战之后生产的工业化程度的提高，战之后生产的工业化程度的提高，战之后生产的工业化程度的提高，八大公害事件的八大公害事件的八大公害事件的八大公害事件的发生发生发生发生。与污染环境作斗争的三个经历：与污染环境作斗争的三个经历：与污染环境作斗争的三个经历：与污染环境作斗争的三个经历：u净水系统（净水系统（净水系统（净水系统（6060年代中期之前）年代中期之前）年代中期之前）年代中期之前）u污水处理系统（污水处理系统（污水处理系统（污水处理系统（6060年代末、年代末、年代末、年代末、7070年代初）年代初）年代初）年代初）u水环境系统水环境系统水环境系统水环境系统、生
12、态环境系统等生态环境系统等生态环境系统等生态环境系统等（7070年代以后）年代以后）年代以后）年代以后） 研究水污染控制系统，使水环境恢复，符合研究水污染控制系统，使水环境恢复，符合研究水污染控制系统，使水环境恢复，符合研究水污染控制系统，使水环境恢复，符合“ “可持可持可持可持续发展续发展续发展续发展” ”原则原则原则原则ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型vv系统工程的原则：系统工程的原则：1.整体性原则：全面、整体整体性原则：全面、整体2.综合性原则：目标多样性，方法、方案多综合性原则：目标多样性，方法、方案多样性样性3.优化性原则：实现最佳目标体系优化性原
13、则：实现最佳目标体系4.模型化原则：模拟与仿真模型化原则：模拟与仿真5.交互性原则：决策者与系统的信息交换交互性原则：决策者与系统的信息交换ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型vv研究步骤：研究步骤：1.明确和提出问题明确和提出问题2.建立数学模型建立数学模型3.求解数学模型求解数学模型4.模型验证模型验证5.结果实施结果实施ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型1.31.3模型化模型化模型化模型化 1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 分类分类分类分类 物理模
14、型 图形模型 数学模型 宏观模型 微观模型按基本分类按基本分类按基本分类按基本分类: : : : 按问题出发点按问题出发点按问题出发点按问题出发点ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型 水质模型 大气模型 生态模型 经济模型 预测模型 决策模型 最优化模型 按对象可分为按对象可分为按对象可分为按对象可分为按用途可分为按用途可分为按用途可分为按用途可分为ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型1.3.21.3.2数学模型分类数学模型分类数学模型分类数学模型分类过程过程1.明确建模目的明确建模目的2.提出要解决的具体问题提出要解决的具体问题3.
15、构思构思(构造构造)模型系统模型系统4.收集相关资料收集相关资料5.设置变量和参数设置变量和参数6.建模建模7.模型检验模型检验8.模型标准化模型标准化(归一化、通用性归一化、通用性)9.模型运行模型运行1.3.31.3.3模型化程序模型化程序模型化程序模型化程序静态静态数值数值解析解析数值数值解析解析动态动态确定确定随机随机数值数值解析解析数值数值解析解析确定确定随机随机数学模型数学模型ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型1.41.4系统工程的应用系统工程的应用系统工程的应用系统工程的应用1.4.11.4.1应用领域应用领域应用领域应用领域涉及人类活动的各个领域
16、涉及人类活动的各个领域 ( (p10 p10 表表1.1)1.1) 自然环境保护(生态保护)古迹保护土壤保护水生保护野生保护草原保护森林保护环境管理固体废物管理城市规划管理土地利用管理工企环境管理水资源管理环境监测食品监测生物监测土壤监测水质监测大气监测污染控制废能控制固体废弃物控系统水体污控系统大气污控系统微波辐射热噪声振动环境保护系统1.4.21.4.2环境系统工程环境系统工程环境系统工程环境系统工程环境系统的构成ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型（一）大环境系统（一）大环境系统（一）大环境系统（一）大环境系统n n 水域：排污量，污径比（水域：排污量，污径
17、比（水域：排污量，污径比（水域：排污量，污径比（p13p13表表表表1.2)1.2)n n 大气：排污大气：排污大气：排污大气：排污n n 生态系统：人类活动涉及的各个方面生态系统：人类活动涉及的各个方面生态系统：人类活动涉及的各个方面生态系统：人类活动涉及的各个方面（二）城市生态系统（二）城市生态系统（二）城市生态系统（二）城市生态系统：城市建设、生活生产环境与质量提高：城市建设、生活生产环境与质量提高：城市建设、生活生产环境与质量提高：城市建设、生活生产环境与质量提高（三）污染控制（三）污染控制（三）污染控制（三）污染控制n n典型系统：典型系统：典型系统：典型系统：1.1.流域系统流域系
18、统流域系统流域系统 ( (如河流如河流如河流如河流 ) )2.2.城镇给排水系统城镇给排水系统城镇给排水系统城镇给排水系统 ( (取水、处理、排放等取水、处理、排放等取水、处理、排放等取水、处理、排放等) )3.3.污水处理污水处理污水处理污水处理系统系统系统系统 ( (城市污水二级处理城市污水二级处理城市污水二级处理城市污水二级处理) )n n举例：黄浦江上游水源保护、综合治理。举例：黄浦江上游水源保护、综合治理。举例：黄浦江上游水源保护、综合治理。举例：黄浦江上游水源保护、综合治理。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型ShandongJianzhuUniver
19、sity水质模型水质模型ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型举例：举例：城市污水再生回用系统城市污水再生回用系统n n污水回用系统影响因素污水回用系统影响因素n n系统构成系统构成n n子系统划分子系统划分n n二级子系统划分二级子系统划分n n系统包含的元素分析系统包含的元素分析n n系统的特点系统的特点n n系统分析的方法系统分析的方法ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型1.污水再生回用系统影响因素分析污水再生回用系统影响因素分析城市的GDP、人均收入、污染治理投资
20、状况污水治理、污水回用的政策、水价政策、投资政策、城市发展规划节水技术、污水处理技术、再生水处理技术水资源丰度、开发利用程度、水污染状况生态环境建设、生态农业、生态环境需水经济因素工业经济城市经济水平工业产值、工业结构、工业布局社会因素人 口政 策民众行为观念科技发展水平人口数量、人口素质对再生水的接受程度污水再生回用系统影响因素生态环境环境因素水 环 境地理环境地理位置、区域特点ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型2.污水再生回用系统构成污水再生回用系统构成二级处理子系统再生水供水子系统再生处理子系统再生水需水子系统城市市政生活用水子系统工业用水子系统城市生态用
21、水子系统城市供需水子系统城市需水子系统城市供水子系统污水再生回用系统ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型再生水供水子系统 二级处理子系统二级处理规模二级处理建设投资二级处理率二级处理工艺 再生处理子系统再生处理规模再生处理建设投资污水回用率再生处理工艺（1 1）再生水供水子系统）再生水供水子系统）再生水供水子系统）再生水供水子系统 （二级子系统）（二级子系统）（二级子系统）（二级子系统）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型（2）再生水需水子系统）再生水需水子系统（二级子系统）（二级子系统）住宅冲厕用水冷却补水洗涤用水再生水需水子系统城
22、市生态用水子系统生态建设用水生态景观用水生态农业用水城市市政及杂用水子系统园林绿化用水浇洒道路用水公共建筑用水消防用水洗车用水建筑施工用水锅炉用水空调用水其他用水工业再生水替代子系统ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型（3）城市供需水子系统）城市供需水子系统（二级子系统）（二级子系统）城市供需水子系统城市生活需水工业需水城市需水子系统城市供水子系统自备水源供水自来水供水再生水供水ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型自备水源供自备水源供水量水量污水回用量污水回用量供供水水量量自来水供给自来水供给量量需需水水量量缺缺水水量量生态用生态用水
23、水生活用水生活用水工业用水工业用水城市供需水平衡反馈机制图城市供需水平衡反馈机制图ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型市政生活用水量城市生态用水量再生水需水量工业再生水替代量用户接受程度再生水需水子系统再生水需水子系统城市需水量人 口缺 水 量城市供水量生活用水量工 业 产 值工业用水量自备井供水量自来水供水量水资源开发程度给水工程建设投资水环境污染程度量城市供需水子系统城市供需水子系统污 水 量GDP污水回用量二级处理率再生水供水子系统再生水供水子系统二级处理量污水处理工程建设投资再生水供需差污染物排放量城市污水再生回用城市污水再生回用SD模型子系统相互关系图模
24、型子系统相互关系图ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型3.城市污水再生回用系统特征城市污水再生回用系统特征n n 污水再生回用系统影响因素众多且相互联污水再生回用系统影响因素众多且相互联污水再生回用系统影响因素众多且相互联污水再生回用系统影响因素众多且相互联系、相互作用，并组成一个有机整体系、相互作用，并组成一个有机整体系、相互作用，并组成一个有机整体系、相互作用，并组成一个有机整体n n 系统具有多层次和相互嵌套性系统具有多层次和相互嵌套性系统具有多层次和相互嵌套性系统具有多层次和相互嵌套性 n n 是一个含有反馈结构的系统是一个含有反馈结构的系统是一个含有反馈
25、结构的系统是一个含有反馈结构的系统n n 一个随时间变化的动态系统一个随时间变化的动态系统一个随时间变化的动态系统一个随时间变化的动态系统 采用采用采用采用系统动力学（系统动力学（系统动力学（系统动力学（System DynamicsSystem DynamicsSystem DynamicsSystem Dynamics）方法方法方法方法ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型八大公害事件八大公害事件uu比利时马斯河谷比利时马斯河谷比利时马斯河谷比利时马斯河谷烟雾烟雾烟雾烟雾事件：（事件：（事件：（事件：（1930193019301930年）年）年）年）uu美国洛杉
26、矶美国洛杉矶美国洛杉矶美国洛杉矶烟雾烟雾烟雾烟雾事件：事件：事件：事件： （1943194319431943年）年）年）年）uu美国多诺拉美国多诺拉美国多诺拉美国多诺拉烟雾烟雾烟雾烟雾事件：（事件：（事件：（事件：（1948194819481948年）年）年）年）uu英国伦敦英国伦敦英国伦敦英国伦敦烟雾烟雾烟雾烟雾事件：事件：事件：事件：(1952(1952(1952(1952年年年年) ) ) )uu日本熊本日本熊本日本熊本日本熊本水俣病水俣病水俣病水俣病事件：（事件：（事件：（事件：（1953195319531953年）年）年）年）uu日本四日市日本四日市日本四日市日本四日市哮喘病哮喘病哮
27、喘病哮喘病事件：（事件：（事件：（事件：（1955195519551955年）年）年）年）uu日本富山日本富山日本富山日本富山痛痛病痛痛病痛痛病痛痛病事件：事件：事件：事件： （ 1955 1955 1955 1955年年年年1977197719771977年）年）年）年）uu日本爱知日本爱知日本爱知日本爱知米糠油米糠油米糠油米糠油事件：（事件：（事件：（事件：（1966196619661966年）年）年）年） ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型可持续发展概念可持续发展概念 可持续发展的英文翻译可持续发展的英文翻译：sustainabledevelopment
28、可持续发展的来源可持续发展的来源：最初是从环境保护角度提出来的，：最初是从环境保护角度提出来的， 在在19721972年的斯德哥尔摩人类环境会议上首次提出了年的斯德哥尔摩人类环境会议上首次提出了“可持续发展可持续发展”。定义有很多，经济学家、环境学家及生态学家都给过学科。定义有很多，经济学家、环境学家及生态学家都给过学科性的定义，但是都有一定的局限性。到性的定义，但是都有一定的局限性。到19871987年，在世界环境委年，在世界环境委员会出版的员会出版的我们共同的未来我们共同的未来( (ourconmenfuture) )一书中给一书中给出了一个明确的大家公认的定义。出了一个明确的大家公认的定
29、义。可持续发展的定义：可持续发展的定义：既满足当代人的需求又不对后代人满足既满足当代人的需求又不对后代人满足其需求能力构成危害的发展。其需求能力构成危害的发展。 水资源可持续发展的含义：水资源可持续发展的含义：水资源的可持续利用水资源的可持续利用ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型整体性原则整体性原则假设系统的属性度量为假设系统的属性度量为假设系统的属性度量为假设系统的属性度量为a a，系统中第，系统中第，系统中第，系统中第i i（i=1,2,3mi=1,2,3m）的属性）的属性）的属性）的属性, ,数量为数量为数量为数量为a ai i, ,全系统全系统全系统全系
30、统的属性数量和该系统中各部分的属性数量的属性数量和该系统中各部分的属性数量的属性数量和该系统中各部分的属性数量的属性数量和该系统中各部分的属性数量 关系关系关系关系: :a aaai i系统中各组成部分或子系统协调的融系统中各组成部分或子系统协调的融系统中各组成部分或子系统协调的融系统中各组成部分或子系统协调的融合在一起合在一起合在一起合在一起, ,使系统的功能增强使系统的功能增强使系统的功能增强使系统的功能增强. .a=aa=ai i 系统总体功能等于各部分功能总和系统总体功能等于各部分功能总和系统总体功能等于各部分功能总和系统总体功能等于各部分功能总和. .a aaai i 发生了不协调现
31、象发生了不协调现象发生了不协调现象发生了不协调现象, ,产生产生产生产生” ”内耗内耗内耗内耗”,”,使使使使系统的功能减弱系统的功能减弱系统的功能减弱系统的功能减弱ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型Chapter2系统分析系统分析2.1概述概述2.1.1 2.1.1 系统分析系统分析( (SystemAnalysis) ) 基本概念基本概念对一个系统内的基本问题对一个系统内的基本问题,用系统的观点思维推理用系统的观点思维推理,在确定和不确定条在确定和不确定条件下件下,通过分析对比通过分析对比,对可能采取的方法进行优化对可能采取的方法进行优化,得最优方案的辅助得
32、最优方案的辅助决策方法。决策方法。2.1.2 2.1.2 环境系统分析环境系统分析 如河流污染如河流污染（多因素决策）（多因素决策）1.污染源性质污染源性质2.排放口位置、形式排放口位置、形式3.污水处理程度污水处理程度4.环境容量环境容量5.河流水文情势河流水文情势6.稀释扩散与转化稀释扩散与转化其他因素等等其他因素等等排污决策，实际上就是一个系统优化问题。排污决策，实际上就是一个系统优化问题。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型2.1.3 2.1.3 系统分析的准则系统分析的准则n外、内条件相结合：周围环境、能源、交通等外、内条件相结合：周围环境、能源、交通等
33、n当前利益与长远利益相结合：处理程度与投资当前利益与长远利益相结合：处理程度与投资n局部与整体利益相结合：管网与厂址局部与整体利益相结合：管网与厂址n定量与定性分析相结合：定性定量与定性分析相结合：定性定量定量定性定性2.2系统分析基本要素系统分析基本要素 包括1. 目的2. 可行性方案3. 模型如前所述：多种形式4. 费用5. 效果6. 评价标准ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型2.3系统分析步骤系统分析步骤 1.确定目的（目的与目标关系）确定目的（目的与目标关系）2.收集分析资料收集分析资料3.系统模型化系统模型化4.系统的最优化系统的最优化5.系统的评价系
34、统的评价2.4系统分析的方法系统分析的方法 2.4.1 2.4.1 系统最优化系统最优化v 4个特征目标可定量化目标可定量化关系模型化关系模型化存在不同解存在不同解无明显最优解无明显最优解v 一般形式ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型2.4.2 2.4.2 层次分析法（层次分析法（AHP-AnalyticalHierarchyProcess) )定性与定量相结合、简单易行、行之有效的一种系统分析方法，定性与定量相结合、简单易行、行之有效的一种系统分析方法，70年代美国的萨蒂提出的。年代美国的萨蒂提出的。该法该法1982年引入，能源、环保也得到应用。年引入，能源、
35、环保也得到应用。层次分析法步骤：层次分析法步骤： 1. 1. 明确问题明确问题 2. 2. 建立层次分析模型建立层次分析模型最高层（目标层）最高层（目标层）中间层（准则层）中间层（准则层）最低层（方案层）最低层（方案层）3. 3. 建立判断矩阵，求最大特征根及特征向量建立判断矩阵，求最大特征根及特征向量判断矩阵构造：判断矩阵构造：逐层逐项两两比较，评出优劣，可从最低层始逐层逐项两两比较，评出优劣，可从最低层始。（最简单可分为3层） 如Fig2.4层次图ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型层次图层次图AC1C2CmP1P2Pn（准则层）（准则层）（方案层）（方案层）
36、（目标层）（目标层）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型（第（第i个准则）个准则）判断矩阵判断矩阵对准则对准则Ci亦可采用亦可采用2 2，4 4，6 6，8 8等，（专家、分析人员、资料）等，（专家、分析人员、资料）对对i=1,2,mi=1,2,m，由上式可得，由上式可得C Ci i的判断矩阵，对目标的判断矩阵，对目标A A，也，也要建立要建立m m个准则的判断矩阵，两两比较，得出判断矩阵。个准则的判断矩阵，两两比较，得出判断矩阵。 ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型计算判断矩阵的最大特征根及特征向量计算判断矩阵的最大特征根及特征向
37、量通常有三种方法通常有三种方法：方根法方根法正规化（则）求和正规化（则）求和ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型求和法求和法 4. 4. 层次单排序及判断矩阵一致性检验层次单排序及判断矩阵一致性检验层次单排序：特征向量W为同一层次相应因素对上一层次某一因素相对重要性的权值，称为层次单排序。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型判断矩阵一致性判断矩阵一致性： 判断矩阵B应满足具唯一非“0”最大特征根max：随机一致性比率随机一致性比率CRCR : : CRCR 0.100.10，具完全一致性，否具完全一致性，否则需要新调整判断矩阵。则需要
38、新调整判断矩阵。其中，其中，CI CI 为判断矩阵的一致性指标为判断矩阵的一致性指标, , RI RI 为同阶平均随机一致性指标，可从表为同阶平均随机一致性指标，可从表2-12-1中得到中得到n123456789RI000.58 0.91.12 1.24 1.32 1.41 1.45ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型 5. 5. 层次总排序和一致性检验层次总排序和一致性检验层次总排序，见表层次总排序，见表2.2（以图（以图2.4为例）为例）Wn1 , Wn2, , Wnmp1 , , , W21 , W22, , W2mP2W11 , W12, , W1m p1
39、a1 , a2 , , am,总排序权值C1 , C2 , , Cm, 层次C层次Pa1, a2, am C对对A的单排序权值的单排序权值;Wij Pi对对Cj单排序的权值，单排序的权值，ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型层次总排序一致性检验层次总排序一致性检验P层次对层次对Cj单排序一致性指标单排序一致性指标CIi,平均随机性指标平均随机性指标Rij则则CR0.10，满足一致性，否则重新调整判断矩阵。满足一致性，否则重新调整判断矩阵。举例举例2.1（作业）（作业）（说明应用方法，注意计算结果有误）（说明应用方法，注意计算结果有误）举例举例:(P41)常州市城市
40、污水排江工程排放口选择系统分常州市城市污水排江工程排放口选择系统分析析(P50图图2-11)ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型2.4.3 2.4.3 环境问题费用环境问题费用效益分析效益分析(Cost-Benefit Analysis)(Cost-Benefit Analysis) 1.基本学理基本学理国外应用较多，国外应用较多，58年应用于环境污染；年应用于环境污染；国内在环境决策方面的应用较晚。国内在环境决策方面的应用较晚。最佳污染点：费用曲线与效益曲线的交点（如图）。最佳污染点：费用曲线与效益曲线的交点（如图）。是准优，而非最优是准优，而非最优 2.费用效
41、益分析在环保中的应用（后述内容自学）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型最佳污染点治理程度环境效益费用或效益xy效益费用（金额）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型城市污水处理层次模型城市污水处理层次模型城市污水处理城市污水处理运行管理方便运行管理方便费用低费用低处理效果好处理效果好A-B法法OD法法A/O法法ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型Chapter3最优化技术最优化技术1.1.最优化技术最优化技术最优化技术最优化技术:是从所有可能的方案中选择最佳一种以达是从所有可能的方案中选择最佳一种以达到最
42、有目标的科学，它是到最有目标的科学，它是运筹学运筹学的一个分支。的一个分支。 广泛应用于工广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防等各个部门各个领域业、农业、交通运输、商业、国防等各个部门各个领域.2.2.运筹学的概念运筹学的概念运筹学（运筹学（OperationalResearch,缩写为缩写为O.R）:是一门是一门应用于管理有组织系统的科学应用于管理有组织系统的科学;运筹学一词起源于运筹学一词起源于20世纪世纪30年代年代,1940年英国成立了由物理学家布莱克特年英国成立了由物理学家布莱克特(P.M.S.Blackett)组成的第一个研究组组成的第一个研究组,ShandongJianzh
43、uUniversity水质模型水质模型3.3.运筹学的发展可分为三个阶段运筹学的发展可分为三个阶段(1)1945到到50年代初年代初,称为创建时期称为创建时期.(2)50年代初期到年代初期到50年代末期年代末期,称为成长时期称为成长时期(3)20世纪世纪60年代年代,迅速发展和普及时期迅速发展和普及时期在在1956年引入我国的，年引入我国的，80年代后得到广泛的推广。年代后得到广泛的推广。4.4.运筹学基本特征运筹学基本特征n系统的整体观念系统的整体观念n多学科的综合多学科的综合n模型方法的应用模型方法的应用ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型1)1) 分析和表述
44、问题：定性、定量分析确定目标分析和表述问题：定性、定量分析确定目标2)2) 建立模型建立模型3)3) 求解模型和优化方案求解模型和优化方案4)4) 对模型和由模型导出的解进行检验对模型和由模型导出的解进行检验5)5) 建立起对解的有效控制：任何模型都有适用范围建立起对解的有效控制：任何模型都有适用范围, ,注意模注意模型和它的解是否有效，并及时调整；型和它的解是否有效，并及时调整；6)6) 方案的实施方案的实施5 5 运筹学研究问题的步骤运筹学研究问题的步骤ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型线性规划（线性规划（linearprogramming）非线性规划（非线
45、性规划（nonlinearprogramming）动态规划（动态规划（dynamicprogramming）整数规划（整数规划（integerprogramming）网络分析（网络分析（graphtheoryandnetworkanalysis)存贮论（存贮论（inventorytheory）排队论（排队论（queuingtheory，waitingline）对策论（对策论（gametheory）决策论（决策论（decisiontheory） 6. 6.运筹学的分支运筹学的分支ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型最优化方法最优化方法3.1 3.1 3.1 3.1
46、线性规划线性规划线性规划线性规划3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 定义定义定义定义vv1. 1. 1. 1. 目标函数为线性目标函数为线性目标函数为线性目标函数为线性vv2. 2. 2. 2. 约束条件线性约束条件线性约束条件线性约束条件线性vv3. 3. 3. 3. 变量非负变量非负变量非负变量非负矩阵表示线性规划的一般线性规划的一般形式可表示为形式可表示为ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型非标准形式化为标准型式，引入非标准形式化为标准型式，引入v 1. 1. 松驰变量松驰变量约束矩阵方程为约束矩阵方程为“”时，不等式左端加上一个非负变量时，不等
47、式左端加上一个非负变量松驰变量，松驰变量，使不等式约束变为等式约束，目标函数使不等式约束变为等式约束，目标函数cn+I(i=1,2,m)=0v 2. 2. 剩余变量剩余变量约束方程约束方程“”时，不等式左端减去一个非负变量时，不等式左端减去一个非负变量剩余变量，变不剩余变量，变不等式约束为等式约束，目标函数同上。等式约束为等式约束，目标函数同上。v 3. 3. 自由变量自由变量变量非负问题变量非负问题目标函数由最大求最小，变量可负目标函数由最大求最小，变量可负=bi标准形式标准形式: : ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型例题例题例题例题: : : : 将下列线
48、性规划化为标准形将下列线性规划化为标准形将下列线性规划化为标准形将下列线性规划化为标准形解解:令令z=z，x1=x1，x3=x3x3，其中其中x30，x30；该问题的标准形式为该问题的标准形式为 : :ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型3.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 线性规划求解方法线性规划求解方法线性规划求解方法线性规划求解方法1.1.图解法（二维平面问题）图解法（二维平面问题）2. 2. 单纯形法（单纯形法（simplex method) simplex method) 3.3.人工变量法（人造基）人工变量法（人造基）4.4.改进单纯形法改进
49、单纯形法 5. 5.对偶线性规划对偶线性规划ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型1.1.1.1.图解法（二维平面问题图解法（二维平面问题图解法（二维平面问题图解法（二维平面问题） 图解法适合于二维、三维的线性规划问题，图图解法适合于二维、三维的线性规划问题，图图解法适合于二维、三维的线性规划问题，图图解法适合于二维、三维的线性规划问题，图解法有助于了解线性规划的基本原理。解法有助于了解线性规划的基本原理。解法有助于了解线性规划的基本原理。解法有助于了解线性规划的基本原理。 先给出可行域，令先给出可行域，令先给出可行域，令先给出可行域，令f f f f( ( ( (
50、x x x x1 1 1 1, , , ,x x x x2 2 2 2)=0)=0)=0)=0在可行域内平移，在可行域内平移，在可行域内平移，在可行域内平移，直接得出最优解直接得出最优解直接得出最优解直接得出最优解（p56p56p56p56例例例例3-13-13-13-1，图图图图3-23-23-23-2；p56p56p56p56例例例例3-2 3-2 3-2 3-2 ，图图图图3-33-33-33-3 ）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型图解法例题图解法例题1 1 用图解法求解用图解法求解 以以上上条条件件在在图图形形中中形形成成的的区区域域为阴影部分（即为阴
51、影部分（即OABC区域）区域） 构构成成了了凸凸多多边边形形（凸凸集集，满满足足于于约束条件的可行域）约束条件的可行域）虚线表示虚线表示z=2x1+3x2 ，在在可可行行域域中中寻寻找找目目标标函函数数的的最最优优解解，先先设设z=0z=0，然然后后平平行行上上移移，直直到到最最大大值值，得得出出在在B B点点（4 4，2 2），计计算算z=2x1+3x2 =14 =14约束条件：约束条件： 3 x 3 x1 1+6 x+6 x2 22424代表直线代表直线ABAB左左下方的半平面；下方的半平面； 2 x 2 x1 1+ x+ x2 21010代表直线代表直线BCBC左下左下方的半平面；方的半
52、平面； x x1 1，x x2 20 0 是指第一象限；是指第一象限；ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型 用图解法求解用图解法求解maxz=2x1+x2目标函数变化目标函数变化OCBA2x1+x2=10x1x13x1+6x=242x1+x2=z 有无限多个最优解有无限多个最优解图解法例题图解法例题2 2 ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型OBA-x1+2x2=0x1x1x1-x2=12x1+2x2=zmaxz=2x1+2x2 x1x21 s.t.x1+2x20x1，x20 无最优无最优解解图解法例题图解法例题3 3 Shandon
53、gJianzhuUniversity水质模型水质模型2.单纯形法（单纯形法（simplexmethod)（1 1 1 1）丹塞）丹塞）丹塞）丹塞(Dantzig) 1947(Dantzig) 1947(Dantzig) 1947(Dantzig) 1947年提出的。年提出的。年提出的。年提出的。（2 2）思路思路思路思路从可行域中寻求出一个初始基本可行解，检验目标函数值是从可行域中寻求出一个初始基本可行解，检验目标函数值是从可行域中寻求出一个初始基本可行解，检验目标函数值是从可行域中寻求出一个初始基本可行解，检验目标函数值是否最优，若不是设法求另一个基本可行解，使这个可行解的否最优，若不是设法
54、求另一个基本可行解，使这个可行解的否最优，若不是设法求另一个基本可行解，使这个可行解的否最优，若不是设法求另一个基本可行解，使这个可行解的目标函数优于前一个基本可行解的目标函数，使目标函数值目标函数优于前一个基本可行解的目标函数，使目标函数值目标函数优于前一个基本可行解的目标函数，使目标函数值目标函数优于前一个基本可行解的目标函数，使目标函数值逐渐增大，直到达到最大值，或判别出无最优解为止。逐渐增大，直到达到最大值，或判别出无最优解为止。逐渐增大，直到达到最大值，或判别出无最优解为止。逐渐增大，直到达到最大值，或判别出无最优解为止。 （由一基本可行解出发，逐步改进目标点数值，直至求到（由一基本
55、可行解出发，逐步改进目标点数值，直至求到（由一基本可行解出发，逐步改进目标点数值，直至求到（由一基本可行解出发，逐步改进目标点数值，直至求到最优解）最优解）最优解）最优解）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型（3 3）步骤步骤求初始解可行解求初始解可行解求初始解可行解求初始解可行解, ,列出初始单纯形表列出初始单纯形表列出初始单纯形表列出初始单纯形表; ; 最最最最优优优优性性性性检检检检验验验验: : 检检检检验验验验数数数数 00，表表表表中中中中的的的的基基基基可可可可行行行行解解解解为为为为最最最最优优优优解解解解，计计计计算结束，否则转为下一步算结束，否
56、则转为下一步算结束，否则转为下一步算结束，否则转为下一步; ; 从从从从一一一一个个个个基基基基可可可可行行行行解解解解转转转转换换换换到到到到相相相相邻邻邻邻的的的的目目目目标标标标函函函函数数数数更更更更大大大大的的的的基基基基可可可可行行行行解解解解，列出新的单纯形表。列出新的单纯形表。列出新的单纯形表。列出新的单纯形表。 确定调入基的变量，检验数确定调入基的变量，检验数确定调入基的变量，检验数确定调入基的变量，检验数 确定调出基的变量，离基变量的最小比值确定调出基的变量，离基变量的最小比值确定调出基的变量，离基变量的最小比值确定调出基的变量，离基变量的最小比值 基变量变换，得到一个新的
57、基基变量变换，得到一个新的基基变量变换，得到一个新的基基变量变换，得到一个新的基重复重复重复重复2 2，3 3步步步步 ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型单纯形法基本概念单纯形法基本概念单纯形法基本概念单纯形法基本概念（1 1 1 1）确定初始基本可行解：从约束函数中观察到存在确定初始基本可行解：从约束函数中观察到存在确定初始基本可行解：从约束函数中观察到存在确定初始基本可行解：从约束函数中观察到存在m m m m个线性无关的单位向量，令个线性无关的单位向量，令个线性无关的单位向量，令个线性无关的单位向量，令 非基变量非基变量非基变量非基变量x xNN= =（x
58、 x1 1。x x2 2x xmm）T T= =（0 0，0 0 0 0， 00） T T， 得到基变量得到基变量得到基变量得到基变量x xB B= =（b bm+1m+1，b b2 2b bn n）T T，得到得到得到得到x xNN= =（0 0，0 0 0 0， 00， b bm+1m+1，b b2 2b bn n ） T T为基可行解。为基可行解。为基可行解。为基可行解。（2 2 2 2）最优解检验：最优解检验：最优解检验：最优解检验：检验数检验数检验数检验数 0000，表中的基可行解为最优解，表中的基可行解为最优解，表中的基可行解为最优解，表中的基可行解为最优解， 检验数检验数的求法的
59、求法 用用用用检验数检验数检验数检验数做最优解的检验原因：定理做最优解的检验原因：定理做最优解的检验原因：定理做最优解的检验原因：定理2 2 2 2个个个个最优解判别定理最优解判别定理最优解判别定理最优解判别定理无有限最优解判别定理无有限最优解判别定理无有限最优解判别定理无有限最优解判别定理（3 3 3 3）单纯形表：设计单纯形表单纯形表：设计单纯形表单纯形表：设计单纯形表单纯形表：设计单纯形表 （4 4 4 4） 基变换基变换基变换基变换 ：vv确定调入变量，一般选检验数确定调入变量，一般选检验数确定调入变量，一般选检验数确定调入变量，一般选检验数j j j j 0 0 0 0中的最大者，即
60、中的最大者，即中的最大者，即中的最大者，即maxmaxmaxmaxj j j j0=0=0=0=k k k k对应对应对应对应的的的的这一列的这一列的这一列的这一列的非基变量非基变量非基变量非基变量x x x xk k k k作为调入变量；作为调入变量；作为调入变量；作为调入变量；vv确定调出变量，离基变量的最小比值确定调出变量，离基变量的最小比值确定调出变量，离基变量的最小比值确定调出变量，离基变量的最小比值，遵守遵守遵守遵守规则（最小比值规则）规则（最小比值规则）规则（最小比值规则）规则（最小比值规则）对应的这一行的基变量对应的这一行的基变量对应的这一行的基变量对应的这一行的基变量x x
61、x xi i i i为为为为调出变量。调出变量。调出变量。调出变量。（5 5 5 5）主元素：）主元素：）主元素：）主元素：调入变量与调出变量的交叉点处的元素。调入变量与调出变量的交叉点处的元素。调入变量与调出变量的交叉点处的元素。调入变量与调出变量的交叉点处的元素。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型原方程可改写为：原方程可改写为： 写成增广矩阵的形式写成增广矩阵的形式利利用用矩矩阵阵的的初初等等行行变变换换，将将c c1 1 c c2 2ccm m消消为为0 0，得单纯形表。，得单纯形表。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型单纯形
62、法例题单纯形法例题单纯形法例题单纯形法例题+0x3+0x4变标准形变标准形1.1.变标准形变标准形, ,取松弛变量取松弛变量为为x3，x4基变量基变量, , x1，x2为非基变量为非基变量, , 建立初始建立初始单纯形表单纯形表 最优解检验数最优解检验数1=2,2=3,3=4=0令非基变量令非基变量 x1=x2=0, ,得到初始得到初始可行解可行解X=（0，0，24，10）T目目标函数值标函数值z=0 写成增广矩阵写成增广矩阵 3x1+ 6x2+x3+0x4=242 x1+x2+0x3+x4=10z+2x1+3x2+0x3+0x4=0ShandongJianzhuUniversity水质模型水
63、质模型2. 2. 因因基基变变量量检检验验数数 1 1 和和 2 2大大于于0, 0, 取取maxmax1 1, , 2 2=3 =3 ,2 2=3 =3 对对应应的非基变量为的非基变量为x x2 2作为换入变量作为换入变量, ,3.3.确定换出变量确定换出变量: : 4.4.1 1=4=4对应于变量对应于变量x x3 3这一行这一行, ,所以所以x3x3为换出变量为换出变量: :x2x2所在列与所在列与x3x3所在行的交叉点为所在行的交叉点为6,6,作作为主元素为主元素检验数检验数值值-z-z值值基变量系数基变量系数基变量基变量值值1=2-（03+02）=22=3-（06+01）=31=24
64、/6=42=10/1=10增广矩阵增广矩阵 3x1+ 6x2+x3+0x4=242 x1+x2+0x3+x4=10z+2x1+3x2+0x3+0x4=0ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型4.4.以以6 6 为主元素进行变换为主元素进行变换, ,把这一列变成单位向量把这一列变成单位向量将将x x2 2换到原基变量换到原基变量x x3 3的位置的位置, ,得到新的单纯形表得到新的单纯形表令非基变量令非基变量x1=0，x3=0, ,得到新的基本可行解得到新的基本可行解X=（0，4，0，6）T，目标函数值目标函数值z=12 ShandongJianzhuUniversi
65、ty水质模型水质模型此时，最后以行的检验数都是负数或零，即此时，最后以行的检验数都是负数或零，即i00，目标函数已不再，目标函数已不再增大，那么增大，那么最优解最优解x=（4，2，0，0）T，目标函数值目标函数值z=14说明说明:例例 题题 以以 maxz =cx, Ax =b, x0为为 标标 准准 型型 时时 ， 以以 检检 验验 数数j0(j=1,n),为最优判别准则为最优判别准则若若以以minz=cx,Ax=b,x0为为标标准准型型时时以以检检验验数数j0(j=1,n),为为最优判别准则选择换入变量时，取最优判别准则选择换入变量时，取j=cjzj0确定换入变量确定换入变量.5.5.检查
66、所有的检验数检查所有的检验数1=1/2,3=-1/2,2=4=0,max1,3=1/20,取取x1为换入变量为换入变量, , 计算计算得得x x4 4为换出变量，通过矩阵变换为换出变量，通过矩阵变换, ,得到新的单纯形表得到新的单纯形表ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型单纯形法求单纯形法求( (最大值最大值) )步骤框图步骤框图ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型3. 3. 3. 3. 人造基人造基人造基人造基 规划中当约束方程中至少有一个为规划中当约束方程中至少有一个为“=”“=”或或“”“”时，时，松驰变量无法给出一个初始基本可
67、行解，需引入人造基变松驰变量无法给出一个初始基本可行解，需引入人造基变量。量。 不是为了满足约束条件有不等式变成等式而加的，而不是为了满足约束条件有不等式变成等式而加的，而不是为了满足约束条件有不等式变成等式而加的，而不是为了满足约束条件有不等式变成等式而加的，而为了能应用单纯形法来迭代并求极值而引进的，有人为引为了能应用单纯形法来迭代并求极值而引进的，有人为引为了能应用单纯形法来迭代并求极值而引进的，有人为引为了能应用单纯形法来迭代并求极值而引进的，有人为引进的意思的。进的意思的。进的意思的。进的意思的。 步骤：步骤：步骤：步骤： 问题化为标准形式问题化为标准形式“”“”约束方程左边加一个非
68、负变量约束方程左边加一个非负变量对初始基本解应用人造基变量对初始基本解应用人造基变量按单纯形法进行求解按单纯形法进行求解ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型3.2 3.2 整数规划整数规划(integerprogrammingintegerprogramming）3.2.13.2.1定义定义定义定义至少一个变量限定为非负整数至少一个变量限定为非负整数整数或混合整数线整数或混合整数线性规划。性规划。3.2.23.2.2求解方法求解方法求解方法求解方法1. 1. 圆整法圆整法按非整数求解，最优解取整。按非整数求解，最优解取整。问题：问题：圆整解并非直正整数规划最优解圆
69、整解并非直正整数规划最优解。（见。（见p71p71例题）例题） 2. 2. 割平面法割平面法压缩可行解集合，割掉部分可行域。压缩可行解集合，割掉部分可行域。a a、按非整法应用单纯形式求解；、按非整法应用单纯形式求解；b b、若最优解为整，则完成，若非整转、若最优解为整，则完成，若非整转c c；c c、引入一个附加约束，割去部分可行域，重复上述、引入一个附加约束，割去部分可行域，重复上述a,ba,b。 （见（见p72p72例题例题3-133-13）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型3.3 3.3 非线性规划非线性规划(NonlinearProgramming）3
70、.3.13.3.1定义定义定义定义目标函数或约束条件中有一个或多个为非线性函数时的规划问目标函数或约束条件中有一个或多个为非线性函数时的规划问目标函数或约束条件中有一个或多个为非线性函数时的规划问目标函数或约束条件中有一个或多个为非线性函数时的规划问题。题。题。题。科学研究和工程技术中多数是非线性规划问题。科学研究和工程技术中多数是非线性规划问题。科学研究和工程技术中多数是非线性规划问题。科学研究和工程技术中多数是非线性规划问题。 例如例如例如例如：optiopti f f（x x1 1，x x2 2 x xn n）s.t.s.t.g gi i（ x x1 1，x x2 2 x xn n） （
71、= =， ）0 0 x xj j 00f f f f 和和和和g g g gi i i i至少有一个函数为非线性函数。至少有一个函数为非线性函数。至少有一个函数为非线性函数。至少有一个函数为非线性函数。类型类型类型类型：无约束最优化法：无约束最优化法：无约束最优化法：无约束最优化法：有约束最优化法有约束最优化法有约束最优化法有约束最优化法 ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型如果无约束条件，求如果无约束条件，求如果无约束条件，求如果无约束条件，求f f f f（x x x x，y y y y）的最小的最小的最小的最小值，称为值，称为值，称为值，称为无约束最优化无约
72、束最优化无约束最优化无约束最优化问题问题问题问题 举例：举例：某市有某市有n n个工厂排放污水，拟集中于污水处理厂。已知工厂个工厂排放污水，拟集中于污水处理厂。已知工厂j j的污水排的污水排放量为放量为Qj j，单方水每公里的费用为，单方水每公里的费用为c cj j，确定污水处理厂的位置，使总输水，确定污水处理厂的位置，使总输水投资最小。投资最小。解：设污水处理厂位置为（解：设污水处理厂位置为（x x，y y），则），则从工厂从工厂j j到污水处理厂的输水费用为到污水处理厂的输水费用为 n n工厂工厂的总的总输水费用输水费用污水厂污水厂工厂工厂工厂工厂ShandongJianzhuUniver
73、sity水质模型水质模型3.3.23.3.2无约束最优化方法无约束最优化方法无约束最优化方法无约束最优化方法1.1. 含义含义含义含义 无约束无约束无约束无约束NPNP问题为问题为问题为问题为minfminf（X X）， X XEEn n也就是求也就是求也就是求也就是求n n n n元目标函数元目标函数元目标函数元目标函数f f f f（x x x x）在）在）在）在n n n n维空间维空间维空间维空间E E E En n n n上的的最小值。上的的最小值。上的的最小值。上的的最小值。2.2.2.2.方法方法方法方法 （1 1 1 1）解析法：在构造算法时，利用目标函数的）解析法：在构造算法
74、时，利用目标函数的）解析法：在构造算法时，利用目标函数的）解析法：在构造算法时，利用目标函数的一阶导数一阶导数一阶导数一阶导数（梯度）或（梯度）或（梯度）或（梯度）或二阶导数二阶导数二阶导数二阶导数 （海森矩阵）（海森矩阵）（海森矩阵）（海森矩阵） （2 2 2 2）直接法：只比较目标函数的大小，构造下降迭代算法）直接法：只比较目标函数的大小，构造下降迭代算法）直接法：只比较目标函数的大小，构造下降迭代算法）直接法：只比较目标函数的大小，构造下降迭代算法3.3.3.3.存在最优解充要条件存在最优解充要条件存在最优解充要条件存在最优解充要条件 ShandongJianzhuUniversity水
75、质模型水质模型 1. 1. 1. 1. 最速下降法（梯度法、登山法）最速下降法（梯度法、登山法）最速下降法（梯度法、登山法）最速下降法（梯度法、登山法） （f(x)在在x(h)处一阶逼近）处一阶逼近）若目标函数写成操作变量的函数若目标函数写成操作变量的函数P=F(x1，x2，xm)，那么，那么P 与与xh 构成构成m+1维空间。若以图形表示函数，就为曲面，曲面的最高点（或最低点）即极维空间。若以图形表示函数，就为曲面，曲面的最高点（或最低点）即极值点值点所谓所谓“登山登山”即从曲面上任意点（初始解）出发向峰点逼近的过程。即从曲面上任意点（初始解）出发向峰点逼近的过程。 设设minF（X）XRn
76、函数在点处的梯度为：函数在点处的梯度为：沿着法线方向上升最快（等高线），反之，沿负梯度的方向，即为下降最快沿着法线方向上升最快（等高线），反之，沿负梯度的方向，即为下降最快的方向的方向S（k）=f（X（k）（负梯度的方向负梯度的方向） DmShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型起点、终点起点、终点Dm必须满足（必须满足（3.31）式，或由该式协调，然而，）式，或由该式协调，然而，都是未知的，需要有一种方法解决这一问题。都是未知的，需要有一种方法解决这一问题。（2）快速登山法或（1）搜索矢量与步长搜索矢量：搜索矢量：表示从出发点前进的矢量，步长则表示求前进步幅大小。表
77、示从出发点前进的矢量，步长则表示求前进步幅大小。若以矢量表示出发点、到达点，则与搜索矢量的关系可表示为若以矢量表示出发点、到达点，则与搜索矢量的关系可表示为（3.31）登山方向矢量使符合由出发点以最大梯度前进使符合由出发点以最大梯度前进符号符号“ ”，求极大用，求极大用“”，求极小用，求极小用“”。步长步长k的的求法：确定为一个常数，试算，但需要检验求法：确定为一个常数，试算，但需要检验公式计算：公式计算：Xm先给定一个初始点先给定一个初始点X（0）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型并且并且xh在方向移动距离为在方向移动距离为 为任意常数，相当于步长为任意常数，
78、相当于步长最速下降法步骤最速下降法步骤：a.选取初值选取初值X（0）及精度及精度 ； b.令令k=0； c.计算计算f（X（k），），并令并令Dm=f（X（k）；）；d.如果如果f（X（k）2，最优解迭代终止，最优解迭代终止，X*即为所求，否则即为所求，否则进行下一步；进行下一步；e.用公式求步长用公式求步长kf.计算计算，k=k+1，转向转向cShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：步长很重要，步长很重要，步长很重要，步长很重要，P P P P 曲面复杂时要选小些，曲面简单时可大些；曲面复杂时要选小些，曲面简单时可大些；曲面复
79、杂时要选小些，曲面简单时可大些；曲面复杂时要选小些，曲面简单时可大些；当存在两个以上极值时，一旦到达其一就不能前进，为此应选择几个出发点；当存在两个以上极值时，一旦到达其一就不能前进，为此应选择几个出发点；当存在两个以上极值时，一旦到达其一就不能前进，为此应选择几个出发点；当存在两个以上极值时，一旦到达其一就不能前进，为此应选择几个出发点；到达是极值点还是鞍点，落入鞍点就无法解脱；到达是极值点还是鞍点，落入鞍点就无法解脱；到达是极值点还是鞍点，落入鞍点就无法解脱；到达是极值点还是鞍点，落入鞍点就无法解脱；变步长方法：变步长方法：变步长方法：变步长方法： 一次成功，下次取一次成功，下次取一次成功
80、，下次取一次成功，下次取3 3 3 3倍步长；倍步长；倍步长；倍步长； 一次失败，下次取一次失败，下次取一次失败，下次取一次失败，下次取1/21/21/21/2步长。步长。步长。步长。为什么搜索失败？为什么搜索失败？ 如从如从1 1点出发，因步长太大，超越极值点点出发，因步长太大，超越极值点步长小些为好，视步长小些为好，视 P P 增加情况而定。增加情况而定。 0 01 1 ，步长太大，步长太大, , 改向，说明步长不当改向，说明步长不当 如极值为极大如极值为极大, , 改向，改向， 即表示有问题即表示有问题 0 01 1，P P 增长不多增长不多, ,要判别平坦或越过。要判别平坦或越过。15
81、432012起止ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型梯度法例题梯度法例题梯度法例题梯度法例题用梯度法求：用梯度法求：f(X)=(x1-1)2+(x2-1)2的极小值，的极小值，取初值：取初值：X（0）=（0，0）T，=0.1解 ： (1)求目标函数的一阶偏导数f(X)=2(x1-1)，2(x2-1)T那么 f(X（0）)=（-2，-2）T(2)检验 (3)继续迭代，求步长k先求海森矩阵ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型所以X（1）为极小点因为步长k则f(X)=2(x1-1)，2(x2-1)TShandongJianzhuUniver
82、sity水质模型水质模型 2.2.二阶梯度法（二阶梯度法（二阶梯度法（二阶梯度法（ x x( (h h) )处的二阶逼近）处的二阶逼近）处的二阶逼近）处的二阶逼近）如果将最速下降法的搜索方向可看作对目标函数的一种线性逼近或如果将最速下降法的搜索方向可看作对目标函数的一种线性逼近或一阶逼近，那么，二阶梯度法则可认为是一阶逼近，那么，二阶梯度法则可认为是F(X)在在X(k)点处的二阶逼近。点处的二阶逼近。将F(X)在其某个近似极小点X(k)处进行二阶Talor 级数展开，有ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型二阶梯度法迭代程序二阶梯度法迭代程序二阶梯度法迭代程序二阶梯
83、度法迭代程序ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型.3 有约束非线性规划v 1. 线性逼近法非线性目标函数、线性约束：将目标函数在可行域的任一顶点非线性目标函数、线性约束：将目标函数在可行域的任一顶点X(0)处展开变为线性函数求解线性规划问题。处展开变为线性函数求解线性规划问题。设目标函数是非线性的，约束条件为线性的，其数学模型为（3.39）式中ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型约束条件构成的可行域是凸多面体。若F(X)为二次函数，这就是所谓二次规划。 由线性规划的理论可知，其可行点的集合为一凸多面体，它有有限个顶点。现取R的任一顶点
84、 ，将目标函数F(X)在X(0)处展开：这样，就将F(X)近似表达成X的线性函数L(X)，求以下线性规划问题（3.40）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型上述线性规划的最优解等价于求下述线性规划的最优解。 由此，非线性最优化问题在X(0)初始点就变成线性规划问题，若其最优解为Y(0)，则Y(0)一定在约束凸集的顶点。线性逼近法迭代步骤为：（3.40a）a. 令k=0；给定原问题式（3.39）可行域某一个可行点X(0)和允许误差；b. 求线性规划 的最优解。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型c. 检验是否满足收敛准则 如满足，则X*
85、= X(k) ，迭代终止；否则，执行d；d. 求一维极值问题e. 令 k=k +1，转向b。2. 罚函数法 建立一新的函数，将有约束非线性规划转化为无约束问题求解。由最优解 计算：ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型构成 对不满足约束时函数 值越大（求极小）（其中Mk为任意大的正数“罚因子”）则偏离最优（小）值越远，以示惩罚；当满足约束时，其值为“0”，无惩罚。 对于引入函数 ，当X不在可行域时，取正值构成罚函数，因而也称为外点罚函数法。外点法 对引进函数 ，当X不在可行解集合时，取正值以构成罚函数。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模
86、型内点法内点法 罚函数为罚函数为 式中式中 为内点罚函数为内点罚函数。 若 rk0时，极小值点为最优解。 例3-18 说明，内、外点罚函数法应用。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型3.4 3.4 3.4 3.4 动态规划动态规划动态规划动态规划（DynamicProgrammingDynamicProgramming） 有些问题是时间而变化（或随空间位置的变化）的活动过程，这样一有些问题是时间而变化（或随空间位置的变化）的活动过程，这样一个系统的最优决策含有多阶段决策。称为动态规划个系统的最优决策含有多阶段决策。称为动态规划(简称简称DP）。）。3.4.1 3.
87、4.1 基本概念基本概念 1. 1. 阶段：若干互相联系阶段。阶段：若干互相联系阶段。 2. 2. 状态与状态变量：状态与状态变量：x xk k出发位置：本段起点，前段终点，一阶段含多个状态。出发位置：本段起点，前段终点，一阶段含多个状态。描述状态的变量：可为一个数、数组、向量等。描述状态的变量：可为一个数、数组、向量等。 3. 3. 决策与决策变量：决策与决策变量：u uk k( (x xk k) ) 某阶段状态给定后，从该状态演变到下阶段某状态的选择。某阶段状态给定后，从该状态演变到下阶段某状态的选择。 描述决策的变量称为决策变量。描述决策的变量称为决策变量。 4. 4. 策略：策略：u
88、ui i( (x xi i) ) 决策函数的集合决策函数的集合 5. 5. 指标函数和最优指标函数：指标函数和最优指标函数：V Vk,nk,n 最优最优f fk k( (x xk k）随空间位置的变化的举例：水质规划、投资分配随空间位置的变化的举例：水质规划、投资分配ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型 3.4.2 3.4.2 动态规划方法的应用动态规划方法的应用v 河流水污染控制系统规划河流水污染控制系统规划v 资源分配问题资源分配问题 1. 1. 河流水污染控制系统规划河流水污染控制系统规划河流系统分析河流系统分析：以河流水污染控制系统规划说明应用（逆序法求解
89、）：以河流水污染控制系统规划说明应用（逆序法求解）一条河流可分为多个河段串联系统，如下图。一条河流可分为多个河段串联系统，如下图。前一级的输出即为后一级输入。前一级的输出即为后一级输入。12i为第i级的m维决策向量（如：Q，等）nShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型为第为第i级的级的n维状态向量（维状态向量（如：BOD，COD， TOC，DO，SS等）第i级的状态方程 n维状态向量函数求满足每一级状态方程约束条件下，使目标最优的决策序列： 以费用为目标， 则规划问题写为：ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型 以以以以Streeter-
90、PhelpsStreeter-Phelps水质模型为例，状态变量：水质模型为例，状态变量：水质模型为例，状态变量：水质模型为例，状态变量：BODBOD55，DODO，决策变决策变决策变决策变量为各河段污水处理程度量为各河段污水处理程度量为各河段污水处理程度量为各河段污水处理程度 ：目标为目标为目标为目标为总费用，总费用，总费用，总费用，即在各沿程即在各沿程即在各沿程即在各沿程 i i为何值时为何值时为何值时为何值时（满足各段水质约束条件下），总费用为最小？（满足各段水质约束条件下），总费用为最小？（满足各段水质约束条件下），总费用为最小？（满足各段水质约束条件下），总费用为最小？逆序法从最后一
91、级开始（下图）逆序法从最后一级开始（下图）逆序法从最后一级开始（下图）逆序法从最后一级开始（下图）nn-1ih11水质约束断面此时：状态变量xi为：Li，Oi 决策变量ui为：iL0,L1 ,L2 ,Ln各级输出BOD5 值；O0,O1 ,O2 ,On各级输出DO值；1,2 ,3 ,n各污水处理厂处理程度；C1,C2 ,C3 ,Cn各级污水处费用。 Ci=f(i)（Q等一定）ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型vv第一个子问题（最后一级）第一个子问题（最后一级）对给定的输入对给定的输入 ，选择，选择 1 1使使C C1 1( (L L1 1, ,O O1 1, ,
92、L L2 2,O,O2 2, , 1 1) )最优最优以以Z Z1 1表示表示C C1 1最优值，则最优值，则当当 给定时，给定时， 1 1、Z Z1 1确定，均为输入确定，均为输入 之函数，而之函数，而L L1 1,O,O1 1为河为河流断面水质约束。流断面水质约束。状态方程：状态方程：水量连续；水量连续；水质（物料）连续；水质（物料）连续；S-PS-P方程方程vv第二个子问题（最后两级）第二个子问题（最后两级）对最后两级，输入为对最后两级，输入为 ，最优目标，最优目标Z Z2 2第一级最优值代入，则有第一级最优值代入，则有第一级最优值代入，则有第一级最优值代入，则有ShandongJian
93、zhuUniversity水质模型水质模型由状态方程 为第2级输入 和该级决策变量2之函数故 (L2,O2) T=f2 (L3,O3 ,1) 代入上式可见，最初两级，若给定 ，最优值Z2，仅决定于第2级的决策2。依次类推，第n 个子问题解：目标函数最优值Zn注意区别：最后一级，最初一级。可见：河流串联系统（总费用） Zn，只是最上游污水处理效率 n的函数，求Zn最大 值，可用单变量最优化方法求解。解得 和 ，再返回依次求 ,即为系统最优决策，或称 为系统的最优决策序列。ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型第一子问题决策关系第一子问题决策关系第第i i子问题决策关系
94、（递推）子问题决策关系（递推）第第n n子问题决策关系（递推）子问题决策关系（递推）由已知输入求第由已知输入求第n n的的由递推关系求得各级决策由递推关系求得各级决策对对目标函数非线性；目标函数非线性；约束非线性的多级串联系统优化问题，动态约束非线性的多级串联系统优化问题，动态规划比线性规划优越，但对高难的规划比线性规划优越，但对高难的2 2个以上状态变量时应用较困难。个以上状态变量时应用较困难。2.资源最优化配问题（自学）资源最优化配问题（自学）简言之，简言之，n n个河段分为个河段分为n n个子问题后，每一次仅对一个个子问题后，每一次仅对一个i i进行决策，进行决策，从而由逆序推求的决策序
95、列。从而由逆序推求的决策序列。即：即：ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型正定阵与负定阵正定阵与负定阵正定阵与负定阵正定阵与负定阵正定阵正定阵:对对实实二二次次型型f (X)=XTAX,若若任任给给定定的的X0,恒恒有有f(X)=XTAX0成成立立,称称f(X)为正定二次型为正定二次型,称其对应的矩阵称其对应的矩阵A为正定阵为正定阵.负定阵负定阵:对对实实二二次次型型f (X)=XTAX,若若任任给给定定的的X0,恒恒有有f(X)=XTAX0成成立立,称称f(X)为负定二次型为负定二次型,称其对应的矩阵称其对应的矩阵A为负定阵为负定阵.ShandongJianzh
96、uUniversity水质模型水质模型第第第第3 3 3 3章章章章 参考书参考书参考书参考书( ( ( (有关有关有关有关最优化技术最优化技术最优化技术最优化技术方面方面方面方面) ) ) )1.运筹学教程运筹学教程,胡运权胡运权,清华大学出版社清华大学出版社,19982.运筹学基础运筹学基础,何坚勇何坚勇,清华大学出版社清华大学出版社,20003.工程运筹学工程运筹学,北京工业大学出版社北京工业大学出版社4.最优化技术应用最优化技术应用.韦鹤平韦鹤平.同济大学出版社同济大学出版社.5.优优化化与与决决策策，徐徐裕裕生生，陕陕西西科科学学技技术术出出版版社社，2004应用软件介绍应用软件介绍
97、应用软件介绍应用软件介绍LINDOLINDO软件求解线性规划软件求解线性规划是是一一种种专专门门用用来来求求解解数数学学规规划划的的软软件件包包, ,软软件件可可以以用用来来求求解解线线性性规规划、整数规划和二次规划，求解线性规划采用的是单纯形法。划、整数规划和二次规划，求解线性规划采用的是单纯形法。LINGOLINGO软软件件求求解解非非线线性性规规划划和和大大规规模模的的数数学学规规划划, ,也也可可以以求求解解线线性性规划、整数规划规划、整数规划ShandongJianzhuUniversity水质模型水质模型作作业业uu查阅查阅查阅查阅“ “层次分析法层次分析法层次分析法层次分析法” ”在本专业方面的应用的文章在本专业方面的应用的文章在本专业方面的应用的文章在本专业方面的应用的文章uu查阅查阅查阅查阅“ “最优化技术（最优化技术（最优化技术（最优化技术（“ “线性规划线性规划线性规划线性规划” ”或或或或” ”动态规划动态规划动态规划动态规划“ “）在）在）在）在本专业方面的应用的文章本专业方面的应用的文章本专业方面的应用的文章本专业方面的应用的文章要求：要求：要求：要求： 理解文章内容理解文章内容理解文章内容理解文章内容 下节课作讲解下节课作讲解下节课作讲解下节课作讲解
