矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似

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1、1 1、矩阵的特征值与特征向量及、矩阵的特征值与特征向量及方阵的相似方阵的相似一、主一、主 要要 内内 容容第五章第五章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量定义定义方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量有关特征值的一些结论有关特征值的一些结论定理定理定理定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量有关特征向量的一些结论有关特征向量的一些结论定义定义矩阵之间的相似具有矩阵之间的相似具有(1)(1)自反性；自反性；(2)(2)对称性；对称性；(3)(3)传递性传递性相似矩阵相似矩阵若与

2、相似，则与的特征多项式若与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同相同，从而与的特征值亦相同有关相似矩阵的性质有关相似矩阵的性质(4)(4)能对角化的充分必要条件是有个线能对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量性无关的特征向量(5)(5)有有 个互异的特征值，则个互异的特征值，则 与对角阵相似与对角阵相似实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵第三步第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量求出基础解系，即得该特征值的特征向量第一步第一步计算的特征多项式；计算的特征多项式；第二步第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；特征值；三、特征值与特征向量的求法三、特征值与特征向量的求法解解第一步计算的特征多项式第一步计算的特征多项式第三步求出的全部特征向量第三步求出的全部特征向量四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值四、已知的特征值，求与相关矩阵的特征值解解五、求方阵的特征多项式五、求方阵的特征多项式解解解解六、关于特征值的其它问题六、关于特征值的其它问题方法一方法一方法二方法二方法三方法三解解七、判断方阵可否对角化七、判断方阵可否对角化解解(1)可对角化的充分条件是有个互异的可对角化的充分条件是有个互异的特征值下面求出的所有特征值特征值下面求出的所有特征值