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1、微积分微积分微积分微积分微积分微积分11第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分9.2 二重积分的计算二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结三、小结微积分微积分微积分微积分微积分微积分22第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分1、积分区域的类型、积分区域的类型设积分区域设积分区域 D 可以用不等式可以用不等式 来表示来表示,其中函数其中函数 1 (x)、则称则称 D 为为 X 型
2、区域型区域, 2 (x) 在区间在区间 a, b 上连续上连续.微积分微积分微积分微积分微积分微积分33第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分则称则称 D 为为 Y 型区域型区域,类似地类似地, 设积分区域设积分区域 D 可以用不等式可以用不等式 来表示来表示,其中函数其中函数 1 (y)、 2 (y) 在区间在区间 c, d 上连续上连续.微积分微积分微积分微积分微积分微积分44第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分X 型区域的特点型区域的特点: 穿过区域穿过区域 D 内部且平行于内部且平行于 y轴的直线与区域轴的直线与
3、区域 D 的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点.Y 型区域的特点型区域的特点: 穿过区域穿过区域 D 内部且平行于内部且平行于 x轴的直线与区域轴的直线与区域 D 的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点.微积分微积分微积分微积分微积分微积分55第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 下面应用第六章中计算下面应用第六章中计算“平行截面面积为已知的平行截面面积为已知的立体的体积立体的体积”的方法的方法, 来求此二重积分来求此二重积分. 2、二重积分化为二次积分的公式、二重积分化为二次积分的公式 设函数设函数 f (x, y) 0, 则由二重积分的几何意义知
4、则由二重积分的几何意义知,的值等于以的值等于以 D 为底为底, 以曲面以曲面 z = f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. 以积分区域以积分区域 D 为为 X 型区域型区域为例为例.微积分微积分微积分微积分微积分微积分66第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分在在 a, b 上任意取定一点上任意取定一点 x0, 作平行于作平行于 yOz 面的平面的平面面 x = x0, 则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间间 1 (x0), 2 (x0) 为底、曲线为底、曲线 z = f (x0 , y) 为曲
5、为曲边的边的曲边梯形曲边梯形.微积分微积分微积分微积分微积分微积分77第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分该截面的面积为该截面的面积为 一般地一般地, 过区间过区间 a, b 上任一点上任一点 x 且平行于且平行于 yOz 面面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 由计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法由计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法, 得曲顶柱体的体积为得曲顶柱体的体积为微积分微积分微积分微积分微积分微积分88第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分就是说就是说, 先把先把 x
6、看作常数看作常数, 把把 f (x, y) 只看作只看作 y 的函数的函数, 并对并对 y 计算从计算从 1(x) 到到 2(x) 的定积分的定积分; 这个体积也就是所求二重积分的值这个体积也就是所求二重积分的值, 从而有等式从而有等式上式右端的积分称为先对上式右端的积分称为先对 y、后对、后对 x 的二次积分的二次积分.然后把所得的结然后把所得的结果果 (是是 x 的函数的函数) 再对再对 x 计算在区间计算在区间 a, b 上的定积分上的定积分. 这个先对这个先对 y、后对、后对 x 的二次积分也常记作的二次积分也常记作这就是把二重积分化为先对这就是把二重积分化为先对 y、后对、后对 x
7、的二次积分的公的二次积分的公式式.微积分微积分微积分微积分微积分微积分99第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分类似地类似地, 若积分区域若积分区域 D 为为 Y 型区域型区域, 则有则有上式右端的积分称为先对上式右端的积分称为先对 x、后对、后对 y 的二次积分的二次积分,这个积分也常记作这个积分也常记作这就是把二重积分化为先对这就是把二重积分化为先对 x、后对、后对 y 的二次积分的的二次积分的公式公式.微积分微积分微积分微积分微积分微积分1010第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分说明说明: 使用公式使用公式 (1
8、) 必须是必须是 X 型域型域, 使用公式使用公式 (2) 必必须是须是 Y 型域型域. 若积分区域既是若积分区域既是 X 型区域又是型区域又是 Y 型区域型区域, 则有则有微积分微积分微积分微积分微积分微积分1111第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 若积分区域既不是若积分区域既不是 X 型区域型区域又不是又不是 Y 型区域型区域, 则必须将其分割成则必须将其分割成若干个若干个 X 型区域或若干个型区域或若干个 Y 型区型区域域. 如图如图, 在分割后的三个区域上分别使用积分公式在分割后的三个区域上分别使用积分公式, 可得可得微积分微积分微积分微积分微
9、积分微积分1212第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分3、交换二次积分次序的步骤、交换二次积分次序的步骤 为计算方便为计算方便, 可可选择积分次序选择积分次序, 必要时还可以必要时还可以交交换积分次序换积分次序. 对于给定的二次积分对于给定的二次积分可先可先根据其积分限根据其积分限画出积分区画出积分区域域 D; 根据积分区域根据积分区域 D 的形状的形状, 按新的积分次序确定按新的积分次序确定积分限积分限 写出结果写出结果微积分微积分微积分微积分微积分微积分1313第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解例例 1 改变
10、积分改变积分 的次序的次序.由所给二次积分知由所给二次积分知, 原二重原二重积分的积分区域积分的积分区域 D为为 X型区域型区域, 即即若改变该二次积分的次序若改变该二次积分的次序, 则积分则积分区域区域 D 变为变为 Y 型区域型区域, 即即微积分微积分微积分微积分微积分微积分1414第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解 例例 2 改变积分改变积分的次序的次序.由所给二次积分知由所给二次积分知, 原二重原二重积分的积分区域积分的积分区域 D 可看作两个可看作两个 X 型区域之和型区域之和 (如图如图), 即即若改变该二次积分的次序若改变该二次积分的次
11、序,则则 D 变为变为 Y 型区域型区域,微积分微积分微积分微积分微积分微积分1515第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分即即 微积分微积分微积分微积分微积分微积分1616第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 例例 3 改变积分改变积分的次序的次序.解解 原二重积分的积分区域为原二重积分的积分区域为 若将积分区域若将积分区域 D 分成分成 D1, D2 及及 D3 三部分三部分, 则有则有微积分微积分微积分微积分微积分微积分1717第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分微积分微积分微
12、积分微积分微积分微积分1818第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解例例 4 求求 , 其中其中 D 是由抛物线是由抛物线 y = x 2和和 x = y 2 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. 积分区域积分区域 D 如右图所示如右图所示.由方程组由方程组可求得两曲线的交点为可求得两曲线的交点为 (0, 0), (1, 1),微积分微积分微积分微积分微积分微积分1919第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解例例 5 计算二重积分计算二重积分 , 其中其中 D 是以是以(0, 0)、(1, 1) 和和 (0, 1
13、) 为顶点的三角形闭区为顶点的三角形闭区域域. 积分区域积分区域 D 如右图所示如右图所示.无法用初等函数表示无法用初等函数表示,积分时必须考虑次序积分时必须考虑次序,微积分微积分微积分微积分微积分微积分2020第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解例例 6 计算二重积分计算二重积分积分区域积分区域 D 如右图所示如右图所示.无法用初等函数表示无法用初等函数表示,先改变积分次序先改变积分次序,微积分微积分微积分微积分微积分微积分2121第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分说明说明: 计算二重积分时计算二重积分时, 选
14、择积分次序是比较重要的选择积分次序是比较重要的一步一步, 积分次序选择不当积分次序选择不当, 可能会使计算繁琐可能会使计算繁琐, 甚至无甚至无 法计算法计算. 一般地一般地, 既要考虑积分区域既要考虑积分区域 D 的形状的形状, 又要又要考考虑被积函数虑被积函数 f (x, y) 的特性的特性. 应遵循应遵循 “能积分能积分, 少分快少分快, 计算简计算简” 的原的原则则.微积分微积分微积分微积分微积分微积分2222第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 例例 7 求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所的直交圆柱面所围成的立体的体积围成
15、的立体的体积 V.解解 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为 由立体关于坐标平面的对由立体关于坐标平面的对称性可知称性可知, 所求体积为第一卦所求体积为第一卦限部分体积的限部分体积的 8 倍倍. 所求立体在第一卦限部所求立体在第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面它的顶为柱面它的底为它的底为微积分微积分微积分微积分微积分微积分2323第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分所求体积为所求体积为微积分微积分微积分微积分微积分微积分2424第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解例例 8 求由下
16、列曲面所围成的立体的体积求由下列曲面所围成的立体的体积:曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.微积分微积分微积分微积分微积分微积分2525第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分由所给曲面消去由所给曲面消去 z, 得得所围立体在面上的投影是所围立体在面上的投影是所求体积为所求体积为微积分微积分微积分微积分微积分微积分2626第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分4、利用对称性化简二重积分的计算、利用对称性化简二重积分的计算 利用对称性来简化二重积分的计算是十分有效利用对称性来简化二重积分的计算是十分有效的的, 它与利用奇偶性
17、来简化定积分的计算是一样的它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的. 不过二重积分的情况比较复杂不过二重积分的情况比较复杂, 因此因此, 在运用对称性在运用对称性时时, 要兼顾被积函数和积分区域两个方面要兼顾被积函数和积分区域两个方面, 不可误用不可误用.归纳起来主要有下面几种情形归纳起来主要有下面几种情形.微积分微积分微积分微积分微积分微积分2727第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 设设 D 关于关于 y 轴对称轴对称, 对任意点对任意点 (x, y)D, (i) 若若 f (- - x, y) = - - f (x, y), 即即 f (x, y)
18、 是关于是关于 x 的奇的奇函数函数, 则则 (ii) 若若 f (- - x, y) = f (x, y), 即即 f (x, y) 是关于是关于 x 的偶的偶函数函数, 则则 其中其中 D1 是是 D 中中 x 0 的部分的部分. 微积分微积分微积分微积分微积分微积分2828第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 设设 D 关于关于 x 轴对称轴对称, 对任意点对任意点 (x, y)D, (i) 若若 f (x, - -y) = - - f (x, y), 即即 f (x, y) 是关于是关于 y 的奇的奇函数函数, 则则 (ii) 若若 f (x, -
19、 -y) = f (x, y), 即即 f (x, y) 是关于是关于 y 的偶的偶函数函数, 则则 其中其中 D2 是是 D 中中 y 0 的部分的部分. 微积分微积分微积分微积分微积分微积分2929第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 设设 D 关于原点对称关于原点对称, 对任意点对任意点 (x, y)D,(i) 若若 f (- -x, - -y) = - - f (x, y), 则则 (ii) 若若 f (- -x, - -y) = f (x, y), 则则 其中其中 D3 是是 D 中中 x 0 , y 0 的部分的部分.微积分微积分微积分微积分微
20、积分微积分3030第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 若若 D 关于关于直线直线 y = x 对称对称,则则 这是二重积分所独有的性质这是二重积分所独有的性质.上式称为二重积分关于积分变量的轮换对称性上式称为二重积分关于积分变量的轮换对称性. 微积分微积分微积分微积分微积分微积分3131第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分、 简单地说就是简单地说就是 奇函数关于对称域的二重积分等于奇函数关于对称域的二重积分等于 0, 偶函数关偶函数关于对称域的二重积分等于对称的部分区域上二重积于对称域的二重积分等于对称的部分区域上二
21、重积分的两倍分的两倍, 完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质的性质.简述为简述为“你你对称对称, 我我奇偶奇偶”. 微积分微积分微积分微积分微积分微积分3232第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 例例 9 计算二重积分计算二重积分 , 其中其中积分区域积分区域 D 由曲线由曲线 y = x 2 与与 y = 1 所围成所围成.解解 令令 D 关于关于 y 轴对称轴对称, 且且微积分微积分微积分微积分微积分微积分3333第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 所求二重积分等于在区
22、域所求二重积分等于在区域 D1上二重积分的上二重积分的 4 倍倍, 例例 10 计算二重积分计算二重积分 , 其中积分区域其中积分区域 D : | x | + | y | 1 .解解 f (x, y) = x2 y2 关于或均为偶关于或均为偶函数函数,D 关于关于 x 轴和轴和 y 轴对称轴对称,即即微积分微积分微积分微积分微积分微积分3434第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分则除包含边界点的一些则除包含边界点的一些小闭区域外小闭区域外, 小闭区域小闭区域的面积的面积 为为1、极坐标系下二重积分的表达式
23、、极坐标系下二重积分的表达式 在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆= 常数常数及射线及射线 = 常常数数, 将将区域区域 D 划分为划分为微积分微积分微积分微积分微积分微积分3535第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分在在 内取点内取点则有则有微积分微积分微积分微积分微积分微积分3636第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式的变换公式, 即即或或其中其中就是极坐标系中的面积元素就是极坐标系中的面积元素.微积分微积分微积
24、分微积分微积分微积分3737第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分2、极坐标系下二重积分化为二次积分的公式、极坐标系下二重积分化为二次积分的公式 (1) 若极点若极点 O 在积分区域在积分区域 D 外外, 且且 D 由射线由射线 =, = 和连续曲线和连续曲线= 1( ), = 2( ) 所围成所围成,则则 在极坐标系下在极坐标系下, 二重积分可化为二重积分可化为微积分微积分微积分微积分微积分微积分3838第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分特别地特别地, 若积分区域为若积分区域为 则在极坐标系下则在极坐标系下, 二重二
25、重积分可化为积分可化为微积分微积分微积分微积分微积分微积分3939第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 在极坐标系下在极坐标系下, 二重二重积分可化为积分可化为(2) 若极点若极点 O 在积分区域在积分区域 D 的边界上的边界上, 且且 D 由射线由射线 =, = 和连续曲线和连续曲线= ( ) 所围成所围成,则则微积分微积分微积分微积分微积分微积分4040第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分(3) 若极点若极点 O 在积分区域在积分区域 D 内内, 且且 D 的边界曲线的边界曲线为连续封闭曲线为连续封闭曲线= ( )
26、,则则 在极坐标系下在极坐标系下, 二重二重积分可化为积分可化为微积分微积分微积分微积分微积分微积分4141第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分极坐标系下闭区域极坐标系下闭区域 D 的面积的面积若闭区域若闭区域则则特别地特别地, 若闭区域若闭区域则则微积分微积分微积分微积分微积分微积分4242第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解 例例 11 写出二重积分写出二重积分 的极坐标二次积的极坐标二次积分形式分形式, 其中积分区域其中积分区域 在极坐标系下在极坐标系下圆的方程为圆的方程为直线的方程为直线的方程为微积分微积分
27、微积分微积分微积分微积分4343第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解 例例 12 计算计算 , 其中其中 D 是由中心在原是由中心在原点点, 半径为半径为 a 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域. 在极坐标系下在极坐标系下微积分微积分微积分微积分微积分微积分4444第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分解解例例 13 求反常积分求反常积分设设则有则有微积分微积分微积分微积分微积分微积分4545第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分微积分微积分微积分微积分微积分微积分4646第
28、九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分即即微积分微积分微积分微积分微积分微积分4747第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 及直线及直线 所所围成的平面闭区域围成的平面闭区域. 解解例例 14 计算计算 其中其中 D 是由圆是由圆积分区域积分区域 D 如右图所示如右图所示.微积分微积分微积分微积分微积分微积分4848第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分在极坐标系下在极坐标系下微积分微积分微积分微积分微积分微积分4949第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分
29、重积分解解例例 15 计算二重积分计算二重积分 , 其中其中积分区域为积分区域为 积分区域积分区域 D 如右图所示如右图所示.由对称性可知由对称性可知微积分微积分微积分微积分微积分微积分5050第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 例例 16 求曲线求曲线 和和 所围成的图形的面积所围成的图形的面积. 解解积分区域积分区域 D 如右图所示如右图所示.由对称性可知由对称性可知在极坐标系下在极坐标系下由由得两曲线的交点为得两曲线的交点为微积分微积分微积分微积分微积分微积分5151第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分所求面积
30、为所求面积为 微积分微积分微积分微积分微积分微积分5252第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 例例 17 求球体求球体 被圆柱面被圆柱面 = 2ax ( a 0 ) 所截得的所截得的 (含在圆柱面内的部分含在圆柱面内的部分) 立体立体的的体积体积.2a2a解解所截立体如右图所示所截立体如右图所示. 由对称性知由对称性知, 所求体积为第所求体积为第一一卦限的卦限的 4 倍倍,其中其中微积分微积分微积分微积分微积分微积分5353第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分微积分微积分微积分微积分微积分微积分5454第九章第九章第
31、九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分说明说明:选取适当的坐标系选取适当的坐标系, 对计算二重积分是很重要的对计算二重积分是很重要的. 等类型的函数时等类型的函数时, 一般说来一般说来, 当积分区域当积分区域 D 是圆或圆的一部分、扇形、是圆或圆的一部分、扇形、环形环形,而被积函数是而被积函数是利用极坐标系来计算较为简单利用极坐标系来计算较为简单.微积分微积分微积分微积分微积分微积分5555第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分三、小结三、小结1、二重积分在直角坐标下的计算公式、二重积分在直角坐标下的计算公式 X型型 Y型型 (在积分中
32、要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序)微积分微积分微积分微积分微积分微积分5656第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分2、二重积分在极坐标下的计算公式、二重积分在极坐标下的计算公式(在积分中注意使用在积分中注意使用对称性对称性)微积分微积分微积分微积分微积分微积分5757第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分思考题一思考题一设设 f (x) 在在 0, 1 上连续上连续, 并设并设 , 求求微积分微积分微积分微积分微积分微积分5858第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分思考题
33、一解答思考题一解答解解不能直接积出不能直接积出,必须改变积分次序必须改变积分次序.积分区域积分区域 D 如右图所示如右图所示.微积分微积分微积分微积分微积分微积分5959第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分微积分微积分微积分微积分微积分微积分6060第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分思考题二思考题二交换积分次序交换积分次序:微积分微积分微积分微积分微积分微积分6161第九章第九章第九章第九章第九章第九章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分思考题二解答思考题二解答若先对若先对 积分积分, 则当则当 r 从从 0变到变到 a 时时, 对于每一个固定的对于每一个固定的 r,从从 变到变到于是于是积分区域积分区域 D 为为
