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1、弹性力学第九章薄板弯曲问题NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程第九章第九章 薄板的弯曲问题薄板的弯曲问题9-1 有关概念及计算假定9-2 弹性曲面的微分方程9-3 薄板截面上的内力9-4 边界条件 扭矩的等效剪力NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程NORTHEASTERN UNIVERS
2、ITY 弹性力学简明教程NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程 薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度 为基本未知函数。用 表示其它未知函数：（1）纵向位移：（2）主要应变分量：（3）主要应力分量：（4）次要应力分量：（5）更次要应力分量：怎么表示？利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（1）用挠度 表示纵向位移由假定（2）知 代入几何方程（78）移项，积分：
3、应用假定（3）知，纵向位移纵向位移NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（2）用挠度 表示主要应变分量把 代入几何方程（78）（a）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（3）用挠度 表示主要应力分量由物理方程（92）知（92）把（a）代入物理方程（94）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（4）用挠度 表示次要应力分量利用平衡微分方程（71）的前两式（不考虑体力）把
4、（94）代入上式NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程将上两式积分利用应力边界条件确定函数板上下边界的应力边界条件表达式为：（95）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程（5）用挠度 表示更次要应力分量利用平衡微分方程（71）的第三式（不考虑体力）（c）将应力分量（95）代入（c）上式对z积分（e）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程利用板下板面的边界条件确定待定函数
5、下板面的应力边界条件： 求出 代入（e）（96）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程下面推导 的微分方程利用薄板的上板面的应力边界条件（f）其中， 是薄板单位面积内的横向载荷，包括横向面力和横向体力。将 的表达式（96）代入式（f）（9977）（9988）（9999）D：薄板的弯曲刚度，量纲 ，（98）：薄板的弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 92 2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程小结：小结：（1）推导过程满足空间问题的平衡微分方程、几何方程和
6、上下板面 的只要应力边界条件。（2）弹性曲面微分方程（98）主要边界的应力边界条件侧面 的位移边界条件（3）根据（94）（96）求得应力分量。（4）弹性曲面微分方程（98）侧面的位移边界条件，构成了薄 板弯曲问题按位移求解的一般提法。NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力图（图（9922）薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力（薄板内力） 是指薄板横截面的单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。取图（92）所示
7、的微元xz 面上的应力：yz 面上的应力：下面就一个一个分析它们合成的主矢量个主矩NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力（1）应力分量由公式（94）知， 合成的主矢量为零；对中面合成的弯矩把（94）代入上式（aa）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力（2）应力分量由公式（94）知， 合成的主矢量为零；应力分量 合成横截面内的扭矩把（94）代入上式（bb）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上
8、的内力薄板横截面上的内力（2）应力分量应力分量 只可能合成横向剪力，在单位宽度上将（95）的第一式代入，并对z积分（cc）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力同理，在xz面上（y为常量） 也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。（dd）（ee）（ff）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力将（99）代入（a）（f）（9999）（991010）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的
9、内力薄板内力正负方向的规定图（图（9933）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力 利用（a）（f）消去（94）和（95）中的 ，把（98）代入（96）（991111）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力应力分量 的最大值发生在板面；应力分量 的最大值发生在板的中面；应力分量 的最大值发生在板的上面；（991212）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力图（图（992
10、2）讨论：（1）内力是作用在薄板单位宽度上的内力， 因此，量纲少一个 。（2）弯应力： ；扭应力： 横向切应力： 挤压应力：（3）弯应力和扭应力在数值上最大主要应力； 横向切应力在数值上较小次要应力； 挤压应力在数值上更小更次要应力。NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 93 3 薄板横截面上的内力薄板横截面上的内力课内作业：通过微元的受力分析，给出薄板微元的平衡方程（用内力表示）要求有：微元的受力分析和推导过程NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 94 4边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力NORTHEASTERN UNI
11、VERSITY 弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力图 94本节讨论的内容：薄板板边的边界条件 与薄板的上、下板面相比，板边是次要边界条件。因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件代替为内力边界条件，即横向剪力和弯矩的条件。同时，板边的位移边界条件也相应替换成中面的挠度及转角的条件。下面分类讨论：（1）固定边；（2）简支边；（3）自由边；（4）特殊角点。NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力图 94（1）固定边（）固定边（OA）挠度为零，转角为零。（913）NOR
12、THEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力图 94（2）简支边（）简支边（OC）挠度 等于零，弯矩 也等于零。（a）利用（910），条件（a）可以用 表示（b）化简，得到简支边OC的边界条件（914）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力（3）自由边（）自由边（AB）图 94弯矩：扭矩：横向剪力：NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力图95（扭矩等效
13、成剪力的示意图） 齐尔霍夫指出，薄板任一边界上的的扭矩都可以变换成等效的横向剪力，和原来的横向剪力合并。 等效后自由边的边界条件：（e）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力把（910）代入（e）得到用挠度表达的自由边AB边界条件（915）（917）同理，自由边BC的边界条件NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程9 94 4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力角点B点的补充条件（919）如果B点有支座，阻止挠度发生（920）NORTHEASTERN UNIVERSITY 弹性力学简明教程作业讲评作业讲评注意：内力是单位宽度上的力。注意：内力是单位宽度上的力。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！40
