梁的应力计算

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1、第六章第六章 梁的应力梁的应力6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用6-3 6-3 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁（工程上提高弯曲强度的一些措施）（工程上提高弯曲强度的一些措施）6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件6-1 6-1 梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）回顾与比较回顾与比较内力内力应力应力FSM6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力纯弯曲纯弯曲梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD

2、上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲目录6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力一、几何方面一、几何方面a ab bmnnm平面假设：平面假设： 横截面横截面变形后保持变形后保持为平面，且为平面，且仍然垂直于仍然垂直于变形后的梁变形后的梁轴线，只是轴线，只是绕截面内某绕截面内某一轴线偏转一轴线偏转了一个角度。了一个角度。6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力maabbmnn凹入凹入一一侧纤维侧纤维缩短缩短突出突出一一侧纤维侧纤维伸长伸长中间一中间一层纤维层纤维长度不长度不变变中性层中性层中性层中性层与横截与横截面的交面的交线线中性轴中性

3、轴目录 设想梁是由无数设想梁是由无数层纵向纤维组成层纵向纤维组成6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力胡克定理胡克定理建立坐标建立坐标二、物理方面二、物理方面(6-1)(6-2)a ab bmnnmo oy6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力离中性层越远，线应变越大，曲率离中性层越远，线应变越大，曲率1/（弯曲程度）（弯曲程度）越大，同一位置线应变越大。越大，同一位置线应变越大。三、静力学方面三、静力学方面(6-5)FN、My、Mz6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力EIZ 弯曲刚度弯曲刚度正应力公式正应力公式变形几何关系变形几何关系物

4、理关系物理关系静力学关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲为梁弯曲变形后的曲率率为曲率半径为曲率半径，6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力(6-6)正应力分布正应力分布MM 与中性轴距离相与中性轴距离相等的点，等的点， 正应力相等；正应力相等； 正应力大小与其正应力大小与其到中性轴距离成正比；到中性轴距离成正比； 中性轴上中性轴上,正应力等正应力等于零于零6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ Z圆圆截截面面矩矩形形截截面面空心空心圆截圆截面面空心空心矩形矩形截面截面6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力

5、弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之之比比 l / h 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。 横力弯曲横力弯曲6-1 6-1 （纯弯曲）梁的正应力（纯弯曲）梁的正应力横力弯曲正应力公式横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力6-1 6-1 梁的正应力梁的正应力细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性积横截面惯性积 I IYZ YZ =0=0弹性变形阶段弹性变形阶段公式适用范围公式适用范围例例6-16-1 6-1 梁的正应力梁的正应力长

6、为长为l l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F F，已知，已知，h=0.18mh=0.18m，b=0.12mb=0.12m，y=0.06m,a=2my=0.06m,a=2m，F=1.5kNF=1.5kN。试求。试求C C截面上截面上K K点的正应力。点的正应力。解：先算出解：先算出C C截面上的弯矩截面上的弯矩截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：例例6-16-1 6-1 梁的正应力梁的正应力长为长为l l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F F，已知，已知，h=0.18mh=0.18m

7、，b=0.12mb=0.12m，y=0.06m,a=2my=0.06m,a=2m，F=1.5kNF=1.5kN。试求。试求C C截面上截面上K K点的正应力。点的正应力。根据公式：根据公式：代入公式时，不考虑正负号。代入公式时，不考虑正负号。C C截面弯矩为负，截面弯矩为负，K K点位于中性轴上面，所以点位于中性轴上面，所以K K点应力点应力为拉应力。为拉应力。弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.1.等截面梁弯矩最大的截面上等截面梁弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑3.3.变截面梁

8、要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用根据弯曲正应力强度条件根据弯曲正应力强度条件1.1.强度校核强度校核2.2.选择截面选择截面3.3.计算梁所能承载的最大荷载计算梁所能承载的最大荷载6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用F FAYAYF FBYBYBAl = 4mq=2kN/mxCxmMx2101401. 求支求支反力反力解：解：例题6-26-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用=10MPa，试校核该梁的强度。2. 求最求最大弯大弯矩矩最大最大正应正应力为：力为：满足满

9、足强度强度要求。要求。例题6-46-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用简支梁上作用两个集中力，已知l=6m，F1=15kN，F2=21kN。如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力=170MPa，试选择工字钢的型号。解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值为38kNm。根据强度条件，梁所需的弯曲截面系数为：例题6-46-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用根据算得的WZ值，在附录型钢表上查出与该值相近的型号，就是我们所需的型号。注意：选择的工字钢型号WZ值一般要求计算值，才能满足强度要求。附录A，附表4，P232页。查出20a

10、钢相近WZ值237cm3，故选择20a号工字钢。如选取的工字钢WZ值略小于计算值，则应再校核下强度，当max不超过的5%时，还是满足工程需要的。6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用例题6-5一形截面的外伸梁如图所示，已知形截面的外伸梁如图所示，已知l=600mm，a=40mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN,F2=9kN,材料材料的许用应力的许用应力t=30MPa，许用压应力，许用压应力c=90MPa。试校核梁的强度。解：先画出弯矩图。需算出形心C的位置及截面对中性轴的惯性矩，算得结果为：6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及

11、其应用因材料的抗拉与抗压性能不同，截面对中性轴又不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。（1）校核最大拉应力由于截面对中性轴不对称。而正负弯矩都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为6-2 6-2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用在上面两式中，MCMB而y2y1，应比较MCy2与MBy1：CB因MC

12、y2方形方形圆形圆形由此推断：工字型截面优于矩形截面。由此推断：工字型截面优于矩形截面。6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁换个角度思考：换个角度思考：WZ值与截面高度和面积分布有关，截面高度越大、面值与截面高度和面积分布有关，截面高度越大、面积分布离中性轴越远的话，积分布离中性轴越远的话，WZ值就越大，这也是工字值就越大，这也是工字型形梁更合理的主要原因之一。型形梁更合理的主要原因之一。M从应力角度分析：从应力角度分析：6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁二、变截面梁二、变截面梁BAl = 4mq=2kN/mxCxmMx变截面梁变截面梁横截面沿

13、梁轴横截面沿梁轴线变化的梁线变化的梁等强度梁等强度梁梁强度沿轴线梁强度沿轴线均匀分布均匀分布6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁当荷载比较复杂时，等强度梁难以加工，增加了加工当荷载比较复杂时，等强度梁难以加工，增加了加工制造成本，一般很少采用等强度梁。制造成本，一般很少采用等强度梁。6-3 6-3 变截面梁形状及变截面梁变截面梁形状及变截面梁BAlFAYFBYx2x1CFabMx6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力x dxxy Pmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状分几种截面形状讨论弯曲切应力讨论弯曲切应力一、矩形截面梁切应力一、矩形截面梁切应力1

14、1、横截面上各点的、横截面上各点的切应力方向平行于剪切应力方向平行于剪力力2 2、切应力沿、切应力沿截面宽度均匀截面宽度均匀分布分布关于切应力的关于切应力的分布作两点假分布作两点假设：设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力一、矩形截面梁一、矩形截面梁切应力计算公式：切应力计算公式：（6-116-11）式中，式中，F FS S- -横截面上的剪力；横截面上的剪力；I IZ Z- -截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；b-b-截面的宽度；截面的宽度；S SZ Z- -为面积为面积A A* *对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。A*A

15、*是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。KF FS S、S SZ Z均代绝对均代绝对值，切应力方向值，切应力方向依剪力方向确定。依剪力方向确定。6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力二、矩形截面梁切应力分布二、矩形截面梁切应力分布公式中，对某一截面来说，公式中，对某一截面来说，F FS S、I IZ Z、b b均为常数，只有均为常数，只有静矩是变量。静矩是变量。6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力二、矩形截面梁切应力分布二、矩形截面梁切应力分布抛物线抛物线当当y=h/2,=0当当y=0,max中性轴上切应力最大，上中性

16、轴上切应力最大，上下边缘为下边缘为0，和正应力相，和正应力相反。反。6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力二、矩形截面梁切应力分布二、矩形截面梁切应力分布矩形截面上最大切应力为平均切应力的矩形截面上最大切应力为平均切应力的1.51.5倍。倍。6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力例例6-6 6-6 矩形截面简支梁如图所示，已知，矩形截面简支梁如图所示，已知，l=3ml=3m，h=160mmh=160mm，b=100mmb=100mm，h h1 1=40mm=40mm，F=3kNF=3kN。试求。试求m-mm-m截面上截面上K K点的切应点的切应力。力。解：首先求得解

17、：首先求得m-mm-m截面上的剪力为截面上的剪力为3kN3kN，截面的惯性矩及面，截面的惯性矩及面积积A A* *对中性轴的静矩分别为：对中性轴的静矩分别为：6-4 6-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力例例6-6 6-6 矩形截面简支梁如图所示，已知，矩形截面简支梁如图所示，已知，l=3ml=3m，h=160mmh=160mm，b=100mmb=100mm，h h1 1=40mm=40mm，F=3kNF=3kN。试求。试求m-mm-m截面上截面上K K点的切应点的切应力。力。K K点的切应力为点的切应力为6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件如前所述，对某一横截面来说，最

18、大切应力发生在中性如前所述，对某一横截面来说，最大切应力发生在中性轴上，最大值为：轴上，最大值为：对全梁来说，最大切应力发生在剪力最大的截面上，即对全梁来说，最大切应力发生在剪力最大的截面上，即强度条件为：强度条件为：对梁校核时，要同时满足正应力、切应力强度条件，二对梁校核时，要同时满足正应力、切应力强度条件，二者有主次，一般以正应力强度设计为主，选好截面后再者有主次，一般以正应力强度设计为主，选好截面后再通过切应力条件校核。通过切应力条件校核。6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件解：分别检查正应力和切应力。最大正应力、最大切解：分别检查正应力和切应力。最大正应力、最大切应力分

19、别发生在最大弯矩与最大剪力的截面上，应力分别发生在最大弯矩与最大剪力的截面上，W WZ Z、b b及及S SZ,maxZ,max均可在型钢表中查得（均可在型钢表中查得（P232P232）。）。例例6-8 一外伸工字形钢梁，工字钢的型号为一外伸工字形钢梁，工字钢的型号为22a，梁上荷，梁上荷载如图所示。已知，载如图所示。已知，l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的，材料的许用应力许用应力=170MPa、=100MPa。试检查此梁是否安。试检查此梁是否安全。全。从附表从附表4 4中查得：中查得：6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件最大正应力为：最大正应力为：最大切应力为：最

20、大切应力为：所以梁安全。所以梁安全。剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图如右所示：如右所示：6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件例例6-9 为使一矩形截面的简支梁为使一矩形截面的简支梁AB能承受较大的集中力能承受较大的集中力F，在，在AB梁的对称位置上加一小梁梁的对称位置上加一小梁CD。已知，。已知，l=4m，F=13kN，AB梁的高梁的高h=180mm，宽，宽b=120mm，材料的，材料的许用应力许用应力=10MPa、=2.2MPa。试求小梁。试求小梁CD的最小的最小长度长度l1。6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件分析：加分析：加CD梁前后梁前后AB梁受力图如右：梁受力图如右：l1aMmax=Fa/2最合理的最合理的l1值是值是AB梁梁C(D)截截面最大正应力达到许用应力。面最大正应力达到许用应力。6-6 6-6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件即即又又所以所以得：得：所以所以再校核梁的切应力。再校核梁的切应力。 AB梁最大剪力为梁最大剪力为F/2=6.5kN。