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1、 第第1 1章章 概率基础概率基础第1章 概率基础Probability Base数理统计课题组 第第1 1章章 概率基础概率基础本章大纲1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征1.2 常见的统计分布常见的统计分布1.3 样本与抽样分布样本与抽样分布 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征(Probability distributions and distribution characteristics)1.1.1 联合分布联合分布1.1.2 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1.1.3 条件数学期望条件数学期望1.1.4 矩母函数矩母函
2、数 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution)联合分布函数联合分布函数：设X1, X2, Xn是n个随机变量， 对给定的n个实数x1, x2, xn ,称 F(x1, x2, xn)=P (X1 x1, X2 x2, Xn xn)为其联合分布函数。 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution)离散型离散型：联合概率函数 p(x1, x2, xn)=P (X1= x1, X2=x2
3、, Xn = xn) 则称f (x1, x2, xn )为其联合概率密度函数连续型：联合概率密度函数连续型：联合概率密度函数如果存在n维非负可积函数f (x1, x2, xn )，使得 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution)边缘分布函数边缘分布函数：设X1, X2, Xn是n个随机变量，F(X1, X2, Xn)为其n维联合分布函数，对正整数1 k n，称 F 1,2,k(X1, X2, , Xk) =F(x1, x2, , xk,+,+) =P (X1 x1, X2 x2, Xk
4、 xk , Xk+1 +, Xn + )为k维边缘分布，这样的边缘分布有 个。 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例例1.1】 多项分布（多项分布（Multinomial Distribution)一个随机现象共有r种可能的结果，第i种结果出现的概率为pi。做n次独立重复实验，以Ni记第i种结果出现的次数，则对给定的r个非负整数n1,n2, ,nr(n1+n2+nr =n),有称为多项分布（ r 项分布） 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例例1.1】
5、 多项分布（多项分布（Multinomial Distribution)由于N1+N2+Nr =n,所以r 项分布实际是r-1维的，可以改记为显然二项分布是多项分布的边缘分布 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79)设F(x)和G(x)都是一维连续型分布函数（cdf）,可以证明，对任意-1a1， H(x,y)=F(x)G(y)1+ a1-F(x)1-G(y)是二维连续型分布函数。H(x,)=F(x)， H(,y)=G(y)取F(x)和G(x)都是0
6、，1区间的均匀分布，此时 F(x)= x， 1x1； G(y)= y， 1y1； 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例例1.2】 Farlie-Morgenstern Family (P77-79)对a=-1 H(x,y)=xy1-(1-x)(1-y)二维密度函数为注：当F(x)和G(x)都是0，1区间的均匀分布时，此时联合分布函数H(x,y)称为copula,可改记为C(x,y)。 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.1 联合分布联合分布(Joint Distribution) 【例例1.2】 Farlie-Mor
7、genstern Family (P77-79) 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布设X1, X2, Xn是n个随机变量，fX1, X2, Xn (x1, x2, xn）是其联合密度函数。若 Y1=g1(X1, X2, Xn)，, Yn=gn(X1, X2, Xn)是（ X1, X2, Xn ）与（ Y1, Y2, Yn ）的一一对应变换，其反变换 X1=h1(y1, y2, yn)，, Xn=hn(y1, y2, yn)具有连续的一阶偏导数，则Y1, Y2, Yn 的联合密度函数为fy1,
8、y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jg-1 (x1, x2, xn)|其中x1=h1(y1, y2, yn)，, xn=hn(y1, y2, yn) 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布是雅可比（Jacobian）行列式记fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jh(y1, y2, yn)|其中x1=h1(y1, y2, yn)，, xn=hn(y1, y2, yn)则 第
9、第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布例例1.3 (P99-102)设X，Y是独立的N(0，1)随机变量，其联合密度为做变换逆变换 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.2 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布例例1.3 (P99-102)或由fy1, y2, yn (y1, y2, yn)= fX1, X2, Xn (x1, x2, xn)| Jh(y1, y2, yn)|其中x1=h1(y1, y2, yn)，, xn=hn(y1, y2, yn) 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1 概率分布与分布的特征概率分布与分布的特征 1.
10、1.3 条件数学期望（条件数学期望（Conditional Expection）设给定X=x时Y的条件分布为FY|X(y|x),则称E(Y| X=x)=yd FY|X(y|x)为给定X=x时Y的条件期望条件期望。如果X的取值没有事先给定，则E(Y| X)也是随机变量， 是X的函数。离散型连续型Y的函数h(Y)的条件期望为 Eh(Y)| X=x=h(y)d FY|X(y|x) 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.1.3 条件数学期望（条件数学期望（Conditional Expection） 例例1.4 P147 一个0，1区间的Possion过程平均发生次数为l，记N是0，1区间发生的总次数
11、，对p 0称为形状参数（shape prameter） 参数l0称为规模参数（scale prameter） 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2分布分布其中其中 是是G G函数函数 性质1： 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2分布分布性质2：G分布的矩母函数为性质3：可加性。若Xi G(ai, l), i=1,2,n, 且相互独立，则 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2
12、分布分布性质4：若X G(a, l), 则lX G(a,1); 反之，若Y G(a, 1), 则 X/l G(a, l)性质5：当a=1时，G分布就是指数分布e(l)性质6：时的G分布称为自由度为n的卡方分布，记做 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.1 G G分布和分布和c c2分布分布性质7：若X1, X2, Xn iidN(0,1),则证明：只须证明再根据可加性即得iid表示独立同分布（independent identical distribution） 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.2 b
13、b分布分布 P58b分布的概率密度为 其中a0，b0是参数，当a=b=1时就是b分布就是U (0，1) 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.2 b b分布分布是是b b函数函数 性质1：性质2：设X G(a, l), X G(b, l), 相互独立，则 第第1 1章章 概率基础概率基础 1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.3 c c2分布分布 P193性质：当n =1时若X1, X2, Xn iidN(0,1),则称 为自由度为n的卡方分布，记做 于是得2(n)的密度函数再根据可加性即得iid表示独立同分布（independent iden
14、tical distribution） 第第1 1章章 概率基础概率基础由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson) 分别于1875年和1900年推导出来期望为：E(2(n)=n，方差为：Var(2(n)=2n1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.3 c c2分布分布不同自由度的卡方分布不同自由度的卡方分布c c c c2 22 2n=1n=4n=4n=10n=10n=20n=20 第第1 1章章 概率基础概率基础1.2 常见的统计分布常见的统计分布 1.2.4 t 分布分布 P193设ZN(0,1),U2(n)，则称为自由度
15、为n 的t分布，记为Tt(n) 第第1 1章章 概率基础概率基础1.由统计学家费舍(R.A.Fisher) 提出的，以其姓氏的第一个字母来命名则2.设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)， V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2), 且U和V相互独立，则称为服从自由度n1和n2的F分布，记为1.2 常见的统计分布常见的统计分布1.2.5 F分布分布 P194 第第1 1章章 概率基础概率基础1.2 常见的统计分布常见的统计分布1.2.5 F分布分布 不同自由度的F分布F F F（1,10)(5,10)(5,10)(10,10)(10,10)3. F分布的期望为4.若FF(n1,n
16、2)，5. 则1/FF(n2,n1)5. 若Tt(n)，则T2F(1,n) 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3 样本与抽样分布样本与抽样分布1.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.3.2 中心极限定理中心极限定理1.3.3 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析例题分析) 若X1, X2, Xn iidN(m,s2), 则称X1, X2, Xn为正态分布N(m,s2)一个容量为n的简单随机样本,简称为样本。样本均值 sample mean样本方差 sample variance 第第1 1
17、章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析例题分析)【例例】设总体X的分布为 P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=1/414230.1.2.3总体均值方差 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布(例题分析) 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）
18、个） 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布(例题分析) 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第二个观察值第一个第一个观察值观察值16个样本的均值（个样本的均值（x）X X样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.00.1.2.3P P ( (X X ) )1.53.04.03.52.02.5 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布(例题分析) = 2.5 2 =1.25总体
19、分布14230.1.2.3抽样分布P P ( ( X X ) )1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X X 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.1 样本均值的抽样分布正态总体 样本均值样本均值样本均值样本均值 X X 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布 当总体分布为当总体分布为当总体分布为当总体分布为正态分布正态分布正态分布正态分布N N ( ( , , 2 2 ) ) 时，则样本均值时，则样本均值时，则样本均值时，则样本均值 X X 服从正态分布服从正态分布服从正态分布服从正态分布N N( ( , , 2 2/ /n n) ) ，其均值其均值其均值其均值 仍为仍
20、为仍为仍为 ，方差为方差为方差为方差为 2 2/ /n n 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.2 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理中心极限定理中心极限定理中心极限定理 当总体分布不为当总体分布不为当总体分布不为当总体分布不为正态分布或未知正态分布或未知正态分布或未知正态分布或未知 时，但其均值时，但其均值时，但其均值时，但其均值 和方差和方差和方差和方差 2 2都存在，则当都存在，则当都存在，则当都存在，则当n n相当大时，样本均值相当大时，样本均值相当大时，样本均值相当大时，样本均值 X X近似服从正态分布近似服从正态分布近似服从正态分布近似服从正态分布N N( ( , , 2
21、2/ /n n) ) ，其均值其均值其均值其均值 仍为仍为仍为仍为 ，方差为方差为方差为方差为 2 2/ /n n。 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.2 中心极限定理中心极限定理 第第1 1章章 概率基础概率基础 定理设X1, X2, Xn 为正态分布N(m,s2)一个样本，则与随机向量相互独立。1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体证 第第1 1章章 概率基础概率基础 推论设X1, X2, Xn 为正态分布N(m,s2)一个样本，则与S2相互独立。1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体定理 首先再由记做 W = U+ V 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体由得 第第1 1章章 概率基础概率基础1.3.3 样本方差的抽样分布正态总体推论 对于正态总体的样本有证
