求变力的功的几种方法

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1、专题:求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，现对变力做功问题进行归纳总结如下有一个固定公式可用，现对变力做功问题进行归纳总结如下: 一、等值法一、等值法 二、微元法二、微元法 三、平均力法三、平均力法 四、图象法四、图象法 五、能量转化法求变力做功五、能量转化法求变力做功 1、用动能定理求变力做功、用动能定理求变力做功 2、用机械能守恒定律求变力做功、用机械

2、能守恒定律求变力做功 3、用功能原理求变力做功、用功能原理求变力做功 4、用公式、用公式W=Pt求变力做功求变力做功 一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使计算，从而使问题变得简单。问题变得简单。例例1、如图、如图1，定滑轮至滑块的高度为，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为，已知细绳的拉力为F（恒定），（恒定），滑块沿水平面由滑块沿水平面由A点前进点前进s米至米至B点，滑块在初、末位置时

3、细绳与水平方向点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为夹角分别为和和。求滑块由。求滑块由A点运动到点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。功。分析：设绳对物体的拉力为分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力，显然人对绳的拉力F等于等于T。T在对物体在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力功的问题。但人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小的大小和方向都不变，所以和方向都不变，所以F做的

4、功可以用公式做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由在绳与水平面的夹角由变到变到的过程中的过程中,拉力拉力F的作用点的位移大小为：的作用点的位移大小为：二、微元法二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数

5、和。段做功的代数和。 例例2 、如图、如图2所示，某力所示，某力F=10牛作用于半径牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，米的转盘的边缘上，力力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力动一周这个力F做的总功应为：做的总功应为： A 0焦耳焦耳 B 20焦耳焦耳 C 10焦耳焦耳 D 20焦耳焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故元段可认为与力在同一直线上，故W=FS，则转一周中各个小元段做功的代数和为则转一周中各个小元段做功的代数和为 W

6、=F2R=102J=20J， 故故B正确。正确。三、平均力法三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。 例例3、一辆汽车质量为、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=10F=103 3x+fx+f0 0，f0是车是车所受的阻力。当车前进所受的阻力。当车前进100米时，

7、牵引力做的功是多少？米时，牵引力做的功是多少？ 解析：由于车的牵引力和位移的关系为解析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故，是线性关系，故前进前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 所做的功。由所做的功。由题意可知题意可知f00.0510510N5104N,所以前进所以前进100米过程中的平均牵引米过程中的平均牵引力力 N1105N, W S1105100J1107J。四、图象法四、图象法如果力如果力F F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画

8、出系内画出F Fx x图象，图象下方与坐标轴所围的图象，图象下方与坐标轴所围的“面积面积”即表示功。即表示功。例如：对于例例如：对于例3 3除可用平均力法计算外也可用图象法。由除可用平均力法计算外也可用图象法。由F=10F=103 3x+fx+f0 0可可知，当知，当x x变化时，变化时，F F也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用图象也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用图象求解。牵引力表达式为求解。牵引力表达式为F=10F=103 3x+0.5x+0.510105 5，其函数表达图象如图，其函数表达图象如图3 3。根据。根据F-xF-x图象所围的面积表示牵引力所做的功，故牵引力

9、所做的功等于梯形图象所围的面积表示牵引力所做的功，故牵引力所做的功等于梯形OABDOABD的的“面积面积”。 所以所以 五、能量转化法求变力做功五、能量转化法求变力做功 功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。 1 1、用动能定理求变力做功、用动能定理求变力做功 动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能

10、的增量。它的动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。它的表达式是表达式是W W外外=E=EK K，W W外外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。定理就可以求出这个变力所做的功。例例4、如图、如图4所示，所示，AB为为1/4圆弧轨道，半径为圆弧轨

11、道，半径为0.8m，BC是水平轨道，是水平轨道，长长3m，BC处的摩擦系数为处的摩擦系数为1/15，今有质量，今有质量m=1kg的物体，自的物体，自A点从静点从静止起下滑到止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。段所受的阻力对物体做的功。 分析：物体在从分析：物体在从A滑到滑到C的过程的过程中，有重力、中，有重力、AB段的阻力、段的阻力、AC段段的摩擦力共三个力做功，的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umgsBC，由于物体在，由于物体在AB段受的段受的阻力是变力，做的功不能直接求。阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：根据动

12、能定理可知：W外外=0， 即：即： mgR-umgsBC-WAB=0 WAB=mgR-umgsBC=6(J)2 2、用机械能守恒定律求变力做功、用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。 例例5、如图、如图5所示，质量所示，质量m为为2千克的物体，从光滑斜面的顶端千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以点以v0=5米米/秒的初速度滑下，在秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并

13、将弹簧压缩到点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为点时的速度为零，已知从零，已知从A到到B的竖直高度的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。米，求弹簧的弹力对物体所做的功。 分析：由于斜面光滑分析：由于斜面光滑,故机械能守恒，但弹簧故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，所在水平面为零参考面，弹簧原长处弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，点为弹性势能的零参考点， 则状态则状态A： EA=

14、mgh+mv02/2对状态对状态B： EB=W弹簧弹簧+0由机械能守恒定律得：由机械能守恒定律得： W弹簧弹簧=（mgh+mv02/2）=125（J）。）。3 3、用功能原理求变力做功、用功能原理求变力做功功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求

15、解变力所做的功。原理求解变力所做的功。 例例6、质量为、质量为2千克的均匀链条长为千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用米，自然堆放在光滑的水平面上，用力力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米米/秒，求该链条全秒，求该链条全部被提起时拉力部被提起时拉力F所做的功。所做的功。 分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理

16、，上提过程拉力上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能的变化量为：米，故机械能的变化量为： E=mg L/2=2101=20（J） 根据功能原理力根据功能原理力F所做的功为：所做的功为：W=20J4 4、用公式、用公式W=PtW=Pt求变力做功求变力做功例例7、质量为、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经经100/3秒的时间前进秒的时间前进425米，这时候它

17、达到最大速度米，这时候它达到最大速度15米米/秒。假设秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。 分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。由于汽车的功率恒定，汽车功率可用于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=FvP=Fv求，速度最大时牵引力和阻求，速度最大时牵引力和阻力相等，故力相等，故P=P=FvFvm m= =fvfvm m，所以汽车的牵引力做的功为，所以汽车的牵引力做的功为W W汽车汽车=Pt=Pt=fvfvm mt t根根据动能定理有：据动能定理有： W汽车汽车fs=mvm2/2，即，即fvmtfs= mvm2/2 代入数值解得：代入数值解得： f=6000N。