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1、 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 原函数与不定积分原函数与不定积分 一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表二、基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 四、小结四、小结 思考题思考题1 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数yf(x)出发，去求它的导数f(x); 那么，我们能不能从一个函数的导数f(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?微分法:积分法:互逆运算一、原函数与不定积分的概念2例例定义：定义：3问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ?初等函数在定义区间上连续初等
2、函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. 定理定理1. 存在原函数 .4问题：问题：(1) 原函数是否唯一？原函数是否唯一？例例（ 为任意常数）为任意常数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？ 定理定理2. 若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，证证:5证证（ 为任意常数）为任意常数） 若若 和和 都是都是 的原函的原函 数，数， 则则 定理定理3. （ 为任意常数）为任意常数） 这说明函数这说明函数f(x)如果有一个原函数如果有一个原函数F(x)，那么它，那么
3、它就有无穷多个原函数，它们都可以表示为就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)C的的形式。形式。6不定积分的定义：不定积分的定义：在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分不定积分,其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式. 积分变量积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如,记作7例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求8例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题
4、意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为所求曲线方程为9 设设F(x)是函数是函数f(x)的一个原函数，则曲线的一个原函数，则曲线yF(x)称为称为f(x)的一条积分曲线，曲线的一条积分曲线，曲线yF(x)C表示把表示把曲线曲线yF(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分的几何意义是指由积分的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积的全体积分曲线组成的积分曲线族。分曲线族。y=F(x)y=F(x)+Cx斜率斜率f(x)不定积分的几何意义10实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积
5、分运算和微分运算是互逆的，因既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式此可以根据求导公式得出积分公式.二、 基本积分表11基基本本积积分分表表是常数是常数);1213例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）14证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、 不定积分的性质性质性质115性质性质2 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.或或或或16例例5 5 求积分求积分解解例例6 617例例7 7 求积分求积分解解18说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.例例8. 求求解解: 原式 =例例9 求19例例11. 求解解: 原式 =20基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、 小结21练习题练习题22作业作业23练习题答案练习题答案24
