《高等数学：6-3-2 常系数线性非齐次方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：6-3-2 常系数线性非齐次方程（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程: :根据解的结构定理根据解的结构定理, , 其通解为其通解为非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法根据根据 f (x) 的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式, ,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定系数. . 待定系数法待定系数法2.2.常系数线性非齐次方程常系数线性非齐次方程（1 1） 型型其中，其中， 为实数为实数,猜测特解为猜测特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式, 代入原方程代入原方程, ,得得 (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根,
2、则取则取从而得到特解的从而得到特解的形式为形式为为为 m 次多项式次多项式.Q (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式(2) 若若 是特征方程的是特征方程的 单根单根, 为为 m 次多项式次多项式, 故特解形式为故特解形式为(3) 若若 是特征方程的是特征方程的 重根重根, 是是 m 次多项式次多项式, 故特解形式为故特解形式为即即即即小小 结结对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解: :上述结论可推广到高阶方程的情形上述结论可推广到高阶方程的情形. .当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,例例1.1.的一个特解的一个特解. .解解: : 本题本题而特征方程为而
3、特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根. .设所求特解为设所求特解为代入微分方程得代入微分方程得比较系数比较系数, , 得得于是所求特解为于是所求特解为例例2. 2. 的通解的通解. . 解解: :本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数, ,得得因此特解为因此特解为代入微分方程得代入微分方程得所求通解为所求通解为例例3. 3. 的通解的通解. . 解解: :本题本题特征方程为特征方程为其根为其根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数, ,得得因此特解为因此特解为代入微分方程得代入微分方程得所求通解为所求通解为例例4. 一
4、链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上, 启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子另一端离钉子 12 m, 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间.解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在设在时刻时刻 t , 链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m, 又设又设链条线密度为常数链条线密度为常数此时链条受力此时链条受力由由牛顿第二定律牛顿第二定律, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 由由初始条件得初始条件得故此问题的解为故此问题的解为解得解得当当 x = 20 m 时时,(s)微分方程通解微分方程通解:
5、思考思考: 若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量, 此问题的此问题的数学模型是什么数学模型是什么?机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为不不考虑摩擦力时的数学模型为考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路: :第一步第一步 将将 f (x) 转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第一步第一步 利用欧拉公式将利用欧拉公
6、式将 f (x) 变形为变形为 第二步第二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 故故等式两边取共轭等式两边取共轭: :为方程为方程 的特解的特解.设设则则 有有特解特解: :第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果, ,根据叠加原理根据叠加原理, ,原方程有特解原方程有特解: :原方程原方程 均为均为 m 次多项式次多项式.小小 结结对非齐次方程对非齐次方程则可设特解则可设特解: :其中其中 若若 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), 上述结论可推广到高阶方程的
7、情形上述结论可推广到高阶方程的情形. .例例5. 5. 的一个特解的一个特解. .解解: : 本题本题 特征方程特征方程故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根, ,代入微分方程得代入微分方程得比较系数比较系数, ,得得于是求得一个特解于是求得一个特解例例6. 6. 的通解的通解. . 解解: : 特征方程为特征方程为其根为其根为比较系数比较系数, , 得得因此特解为因此特解为代入方程代入方程: :所求通解为所求通解为为特征方程的单根为特征方程的单根, ,因此设非齐次方程特解为因此设非齐次方程特解为例例7.7.解解: :(1) (1) 特征方程特征方程有二重根有二重根所以设非齐次方
8、程特解为所以设非齐次方程特解为(2)(2)特征方程特征方程有根有根利用利用 叠加原理叠加原理, , 可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为求下列高阶常系数线性非齐次方程特解的形式求下列高阶常系数线性非齐次方程特解的形式: :解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过欧拉方程是特殊的变系数方程，通过 变量代换可化为常系数微分方程变量代换可化为常系数微分方程.的方程的方程(其中其中形如形如叫叫 欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子各项未知函数导数的阶数与乘积因子 自变量的方次数相同自变量的方次数相同三、欧拉方程三、欧拉方程作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为用用表示对自变量表示对自变量求导的运算求导的运算则上述结果可以写为则上述结果可以写为一般地，一般地，例例. . 解解: :则原方程化为则原方程化为亦即亦即其根其根特征方程特征方程 设特解设特解: :代入代入 确定系数确定系数, , 得得 的通解为的通解为换回原变量换回原变量, ,得原方程通解为得原方程通解为
