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1、第7章 统计假设检验和区间估计单正正态总体的体的统计检验两正两正态总体的体的统计检验需求需求阐明的明的问题正正态总体的区体的区间估估计(1)(1)小概率原理小概率原理( (实践推断原理践推断原理) )以以为概率很小的事件在一次概率很小的事件在一次实验中中实践上不会出践上不会出现, ,并且小概率事件在一次并且小概率事件在一次实验中出中出现了了, ,就被以就被以为是不合理的是不合理的. .(2)(2)根本思想根本思想 先先对总体的参数或分布函数的表达式做出某体的参数或分布函数的表达式做出某种假种假设, ,然后找出一个在假然后找出一个在假设成立条件下出成立条件下出现能能够性甚小性甚小的的( (条件条
2、件) )小概率事件小概率事件. .假假设实验或抽或抽样的的结果使果使该小概率事小概率事件出件出现了了, , 阐明原来的假明原来的假设有有问题, ,应予以否予以否认, ,即回即回绝这个假个假设. .假假设该小概率事件在一次小概率事件在一次实验或抽或抽样中并未出中并未出现, ,就没有理由否就没有理由否认这个假个假设, , 可以接受原来的假可以接受原来的假设. .1.1.统计检验的根本思想的根本思想统计检验概要概要利用样本检验统计假设真伪的过程叫做统计检验(假设检验)小概率原理中,关于“小概率的值通常根据实践问题的要求而定,如取=0.1,0.05,0.01等, 为检验的显著性程度(检验程度).(3)
3、 (3) 显著性程度与否著性程度与否认域域/2/2X(x)接受域接受域P(|Z|z1-/2)= 否认域的大小,依赖于显著性程度的取值,普通说来,显著性程度越高,即越小,否认域也越小,这时原假设就越难否认.留意留意:否否认域域否否认域域 z1-/2 - z1-/2 (1) 提出待检验的原假设 和备那么假设 ;(2)选择检验统计量选择检验统计量,并找出在假设并找出在假设成立条件下成立条件下,该统计量所服从的分布该统计量所服从的分布;(3)根据所要求的根据所要求的显著性程度著性程度和所和所选取的取的统计量量,确定一确定一个合理的回个合理的回绝H0的条件的条件; (4) 由样本察看值计算出统计检验量的
4、值,假设该值落入否认域,那么回绝原假设 ,否那么接受原假设注注假假设H1位于位于H0的两的两侧,称之称之为双双侧检验;假假设H1位于位于H0的一的一侧,称之称之为单侧检验.2.2.统计检验的的实施程序施程序另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,呵斥犯“取伪的错误,称为第二类错误,就是犯第一类错误的概率的最大允许值.普通用 表示犯第二类错误的概率.根据小概率原理否认原假设,有能够把本来客观上正确的假设否认了,呵斥犯“弃真的错误,称为第一类错误,弃真弃真取取伪当样本容量 一定时, 小, 就大,反之, 小, 就大.另外,普通 3.3.两两类错误 增大样本容量n时,可以使和同时减小.留意
5、留意: 2) 确定检验统计量:设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)总体方差体方差2知知时H0:=0(知知);H1:01) 提出原假设和备择假设:H0:=0;H1:0,3) 对给定,由原假设成立时P(|Z| z1-/2)=得 回绝条件为|Z| z1-/2,其中,1.期望的期望的检验单正正态总体的体的统计检验/2/2X(x)接受域接受域P(|Z|z1-/2)=否否认域域否否认域域 z1-/2 - z1-/2双双侧统计检验Z检验例例:用准确方法丈量某化工厂排放的气体中有害气体含量用准确方法丈量某化工厂排放的气体中有害气体含量服从正服从正态分布分布N(23,22),现用一用一简便
6、方法丈量便方法丈量6次得一次得一组数据数据23,21,19,24,18,18(单位位:十万分之一十万分之一),假假设用用简便方法便方法测得有害气体含得有害气体含量的方差不量的方差不变,问用用该方法方法测得有害气体含量的均得有害气体含量的均值能否有系能否有系统偏向偏向?分析分析用用简便方法便方法测得有害气体含量得有害气体含量XN(,22),假设H0成立,那么假设取=0.05,那么 P|Z|z1-/2=a, 即: P|Z|1.96=0.05,在假设成立的条件下,|Z|1.96为概率很小事件,普通以为:小概率事件在一次实验中是不会发生的,将样本观测值代入Z得|Z|1.96,根本根本检验H0:=0=2
7、3;备择检验H1:0=23;小概率事件在一次小概率事件在一次实验中中发生了生了,故假故假设不合情理不合情理,即即:否否认原假原假设,简便方法便方法测得均得均值有系有系统偏向偏向. 2) 选择检验统计量：1) 提出原假设和备择假设:H0:=0;H1:0,3) 对给定,回绝条件为 |T| t1-/2(n-1)Xf(x)/2/2接受域接受域否否认域域否否认域域(T(T检验(2)2未知未知,的的检验例：从公司每月例：从公司每月长途的途的帐单中中,随机抽取随机抽取37张,计算平均算平均费用用为33.15元元,规范差范差为21.21元元.假定假定费用服从正用服从正态分布分布,未知未知,要要检验假假设,解:
8、取检验统计量依样本计算检验统计量的值为阐明样本支持原假设,故要接受原假设.接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取H0:2=02;H1:202Xf(x)/2/212否否认域域否否认域域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)2的的检验未知未知有P(1 2)=1-所以,回条件2.方差方差2的的检验例：在正常的消例：在正常的消费条件下条件下,某某产品的品的测试目的目的总体体XN(0,02),其其中中0=0.23.后后来来改改动消消费工工艺,出出了了新新产品品,假假设新新产品品的的测试目目的的总体体仍仍为X,且且XN(,2).重重新新产品品中中
9、随随机机地地抽抽取取10件件,测得得样本本值为x1,x2,x10,计算算得得到到样本本规范范差差S=0.33.试在在检验程程度度=0.05的的情情况况下下检验:方差方差2有没有有没有显著著变化化?解解建立假设新产品目的的方差与正常情况下产品目的的方差比较没有显著变化 .2.718.53z1-)原假原假设确确实定普通定普通应遵照以下原那么遵照以下原那么 要把等号放在原假要把等号放在原假设里里. . 2) 对统计量:设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，1) 提出原假设和备择假设:H0:0;H1:0,3) 故 回绝条件为Z z1-,其中,对给定的有在H0下有所以H0:0(知知);H1
10、:0 2) 选择统计量:1) 提出原假设和备择假设:H0:0;H1:0,3) 对给定, 否认域为Z- z1-, 其中H0:0(知知);H1:Xf(x)/2/2接受域接受域否否认域域否否认域域(T(T检验(2)2未知未知,的的检验类似可得:2未知未知,期望的期望的单侧统计检验H0:0;H1:0的回的回绝条件条件为统计检验H0:0;H1:0的回的回绝条件条件为统计检验接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取H0:2=02;H1:202Xf(x)/2/212否否认域域否否认域域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)2的的检验未知未知有P(1
11、022) 选择统计量那么在H0下对给定的,有即3) 所以,回绝条件为总体期望体期望未知未知时，2的的单侧假假设检验接受域接受域Xf(x)否否认域域单侧假设检验H0:202;H1:216.919,回绝 例 某地域高考担任人从某年来自A市中学考生和来自B市中学考生中抽样获得如下资料: 知两地考生成果服从正态分布，方差大致一样,由以上资料能不能说某年来自A市中学考生的平均成果比来自B市中学考生的平均成果高.设A市考生成果XN(1,12), B市考生成果Y N(2,22),假设检验A市中学考生:B市中学考生:两个正两个正态总体的体的统计检验设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中分别取相互
12、独立的容量为n1,n2的两组样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为(1)12,22知知选择检验统计量量: H0:1=2的回绝条件为|Z|z1-/2 :1 2的回绝条件为Zz1- :1 2的回绝条件为Z212=22=2,2未知未知解解:建立假建立假设H0:1-20;H1:1-20 设总体XN(1,12),总体Y N(2,22),从中取相互独立的容量分别为n1,n2的样本X1, 和Y1, , 样本均值和样本方差分别记为 选择检验统计量:H0:12=22;H1:1222对于给定的显著性程度:所以回绝条件为3.两两总体方差比的体方差比的检验类似可得的回绝条件为的回绝条件为例例假定分别抽选
13、男生与女生各假定分别抽选男生与女生各14名进展英语检验名进展英语检验(成成果果如如下下),假假定定男男生生与与女女生生的的英英语语检检验验成成果果分分别别服服从从正正态态分分布布和和,试试以以0.05的的显显著性程度检验著性程度检验 选择检验统计量:H0:12=22;H1:1222对于给定的显著性程度=0.05:例例:任选任选19名工人分成两组名工人分成两组,让他们每人做同样的让他们每人做同样的任务任务,测得他们完工时间测得他们完工时间(单位单位:分钟分钟)如下如下:饮酒者30, 46, 51, 34, 48, 45, 39, 61, 58, 67未饮酒者28, 22, 55, 45, 39,
14、 35, 42, 38, 20问饮酒对任务才干能否有显著响问饮酒对任务才干能否有显著响?(显著程度显著程度)回绝H0:1=2 , 故饮酒对任务才干有影响.设总体分布中含有未知参数 ,根据来自该总体的s.r.s ,假设可以找到两个统计量 ,使得随机区间 包含 到达一定的把握,那么,便称该随机区间为未知参数的区间估计.即 当 成立时, 称概率 为置信度或置信程度; 称区间 是 的置信度为 的置信区间; 分别称为置信下限和置信上限.区区间估估计的定的定义 选择包含的分布知函数: 构造Z的一个1- a区间： 的1-置信区间:设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)2知知,求求的置信度
15、的置信度为1-置信区置信区间即1.单正正态总体数学期望的区体数学期望的区间估估计/2/2X(x)1-Z1-/2P(|Z|)=1-1-/2例例:设正正态总体体的的方方差差为1,根根据据取取自自该总体体的的容容量量为100的的样本本计算算得得到到样本本均均值为5,求求总体体均均值的的置置信信度度为0.95的置信区的置信区间.解解知知2=1,=0.05,求求的的1-置信区置信区间：设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(2)2未知未知,求求的置信度的置信度为1-置信区置信区间 从点估计着手构造变量: 构造T的 一个1-区间: 的1-置信区间:Xf(x)/2/21-例例:某某种种零零件件
16、的的分分量量服服从从正正态分分布布.现从从中中抽抽取取容容量量为16的的样本本,其其观测到到的的分分量量(单位位:千千克克)分分别为4.8,4.7,5.0,5.2,4.7,4.9,5.0,5.0,4.6,4.7,5.0,5.1,4.7,4.5,4.9,4.9.需需求求估估计零零件件平平均均分分量量,求求平平均均分分量量的的区区间估估计,置信系数是置信系数是0.95.解解未知未知2,=0.05,求求的的1-置信区置信区间:运用t分布,需求计算Xf(x) 构造枢轴变量: 构造Q的 一个1-区间: 解不等式得到2的1-置信区间:/2/21-121-/2(3)2的置信度的置信度为1-置信区置信区间例例
17、：投投资的的回回收收利利用用率率经常常用用来来衡衡量量投投资的的风险.随随机机地地调查了了26个个年年回回收收利利润率率(%),规范范差差S=1(%).设回回收收利利润率率为正正态分分布布,求求它它的的方方差差的的区区间估估计(置置信信系系数数为0.95).解解总体均体均值未知未知,=0.05,方差的区方差的区间估估计.(1)12,22知知,1-2的的1-置信区置信区间相相对1-2，构造枢，构造枢轴变量量: 构造Z的 一个1-区间:概率恒等概率恒等变形，得到形，得到1-2的的1-置信区置信区间:设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值
18、和样本方差分别记为2.2.两个正两个正态总体均体均值差的区差的区间估估计(2)12=22=2,2未知未知,1-2的的1-置信区置信区间 对于1- 2，构造变量: 构造T的 一个1-区间: 变形得到1- 2的1-置信区间:例：某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱例：某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱,分别从两条流水线上抽取随机样本分别从两条流水线上抽取随机样本:和和,计算出计算出(克克),(克克),.假设这两条流水线上罐装番茄酱假设这两条流水线上罐装番茄酱的分量都服从正态分布的分量都服从正态分布,其总体均值分别为其总体均值分别为,且有一样的总体方差且有一样的总体方差.试求总体均值差试求总体均值
19、差的的区间估计区间估计,置信系数为置信系数为0.95.解解12=22=2,2未知未知,1-2的的0.95置信区置信区间: (1)对于12/22 ，构造枢轴变量:(2)构造F的 一个1-区间: (3)解不等式得12/22 的1-置信区间:Xf(x)/2/2121-P(1Fz1-/21.期望的期望的检验单正正态总体的体的统计检验X(x)接受域接受域否否认域域 z1- 1)2) 回绝条件为Z z1-H0:0(知知);H1:0X(x)接受域接受域否否认域域 -z1- 2)3) 否认域为Z- z1-, H0:0(知知);H1:Xf(x)/2/2接受域接受域否否认域域否否认域域(T(T检验(2)2未知未知
20、,的的检验Xf(x)接受域接受域否否认域域2未知未知,期望的期望的单侧统计检验H0:0;H1:0的回的回绝条件条件为统计检验H0:0;H1:0的回的回绝条件条件为统计检验接受域接受域 2) 选择检验统计量:1) 提出原假设和备择假设:3) 给定,取H0:2=02;H1:202Xf(x)/2/212否否认域域否否认域域设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，(1)2的的检验未知未知有P(1 2)=1-所以,回绝条件为2.方差方差2的的检验接受域接受域Xf(x)1否否认域域总体期望体期望未知未知时，2的的单侧假假设检验H0:202;H1:202回绝条件为(1)12,22知知 H0:1=
21、2的回绝条件为|Z|z1-/2 :1 2的回绝条件为Zz1- :1 2的回绝条件为Z-z1-对于给定的显著性程度:1.两两总体均体均值差的差的检验对于给定的显著性程度: H0:1=2的回绝条件为 :1 2的回绝条件为 :1 2的回绝条件为(2)12=22=2,2未知未知H0:12=22;H1:1222回绝条件为3.两两总体方差比的体方差比的检验的回绝条件为的回绝条件为(1)2知知,求求的置信度的置信度为1-置信区置信区间1.单正正态总体数学期望的区体数学期望的区间估估计区区间估估计(2)2未知未知,求求的置信度的置信度为1-置信区置信区间(3)2的置信度的置信度为1-置信区置信区间(1)12,22知知,1-2的的1-置信区置信区间2.2.两个正两个正态总体均体均值差的区差的区间估估计(2)12=22=2,2未知未知,1-2的的1-置信区置信区间3.两个正两个正态总体方差比体方差比12/22的的1-置信区置信区间
