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1、第六章第六章 向量代数与空间解向量代数与空间解析几何析几何( (一一) ) 典型例题典型例题主要内容主要内容堂上练习题堂上练习题小结小结1一、主要内容一、主要内容第第1 1节节 向量及其线性运算向量及其线性运算一. 向量的基本概念向量向量既有既有向量表示向量表示模长为模长为1的向量的向量.零向量零向量 模长为模长为0的向量的向量.向量的模向量的模向量的大小向量的大小.单位向量单位向量或或或或或或的量的量.又有又有大小大小方向方向以以为起点为起点,为终点的为终点的有向线段有向线段.(module)2二.向量的线性运算加法加法（平行四边形法则）（平行四边形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则
2、）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）(1)加法定义加法定义1. 向量的加减法向量的加减法3 (2) 向量的加法符合下列运算规律向量的加法符合下列运算规律交换律交换律结合律结合律减法减法(3) 减法定义减法定义42. 向量与数的乘法向量与数的乘法 (简称数乘运算简称数乘运算)注注向量向量向量的向量的“伸缩伸缩”向量向量的乘积的乘积规定为规定为同向同向,反向反向,为为向量向量.与数与数的乘积的乘积5(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律数与向量的乘积符合下列运算规律结合律结合律分配律分配律第一分配律第一分配律第二分配律第二分配律线线性性运运算算由向量由向量 常用数乘运算说明常用数乘运算说明两向
3、量平行关系两向量平行关系(两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件):定理定理1平行平行,设向量设向量 存在唯一的实数存在唯一的实数 同方向的同方向的单位向量单位向量. 记作记作6数轴:给定一个点,一个向量及单位长度或说,给定一个点,一个单位向量于是x为点P的坐标三.数轴上的向量7横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系, 三个坐标轴的三个坐标轴的点点O叫做坐标原点叫做坐标原点(或原点或原点)正方向符合正方向符合右手系右手系即以右手握住即以右手握住 z 轴轴, 当右手的四个手指当右手的四个手指 从正向从正向x轴以轴以 角度角度转向正向转向正向y 轴时轴时, 大大拇指的指向就
4、是拇指的指向就是z轴轴的正向的正向. 一一. .空间点的直角坐标空间点的直角坐标坐标系坐标系 或或坐标系坐标系.第第2 2节节 空间直角坐标系空间直角坐标系8空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限9空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示: 坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点10(3) 点点M(2, - -3, 1)关于关于y 轴轴的对称点是的对称点是( ). (1) 点点M(2, - -3, 1)关于关于坐标原点坐标原点的对称点是的对称点是( );选择题选择题(2) 点点M(2, - -3, 1)关于关于xOy面面的对称点是的对称点是( ) ;(A
5、) (- -2, 3, - -1); (B) (- -2, - -3, - -1);(C) (2, -3-3, - -1); (D) (- -2, 3, 1).ACB11为空间两点为空间两点.在直角三角形在直角三角形和和中中, 用用勾股定理勾股定理二二.空间两点间点的距离空间两点间点的距离空间两点间距离公式空间两点间距离公式12若两点分别为若两点分别为特殊地特殊地向径向径 空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M与原点构成的与原点构成的向量向量. 常用常用表示表示.空间两点间距离公式空间两点间距离公式131. 两向量的夹角的概念两向量的夹角的概念类似地类似地,特殊地特殊地,可定义可定义向
6、量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.当两个向量中有一个零向量时当两个向量中有一个零向量时, 规定规定它们的夹角可在它们的夹角可在之间任意取值之间任意取值.向量向量 与向量与向量的夹角的夹角三、利用坐标作向量的三、利用坐标作向量的线性运算线性运算14空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影过点过点A作轴作轴u的垂直平面的垂直平面,即为点即为点A在轴在轴u上上的的投影投影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影轴轴u称为投影轴称为投影轴.已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在轴在轴u上的投影上的投影点点分别为分别为那么终点的投影点的
7、坐标那么终点的投影点的坐标减去起点的投影点的坐标减去起点的投影点的坐标称为向量在轴称为向量在轴u上的上的投影投影.15Projection在轴在轴u上的上的向量向量轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：向量向量在轴在轴u上的上的投影投影记为记为投影性质投影性质1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以投影有正、投影有正、注注负之分负之分;模只为正值模只为正值.16（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和.投影性质投影性质2 2投影性质投影性质3 3173. 向量在坐标轴上的分向
8、量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的投影的投影如如 是与轴是与轴 u正向一致的单位向量正向一致的单位向量, 因此因此可知可知:上坐标分别为上坐标分别为18起点起点终点终点向量在向量在x轴上的投影轴上的投影向量在向量在y轴上的投影轴上的投影向量在向量在z轴上的投影轴上的投影按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：坐标坐标坐标坐标坐标坐标 x轴轴分向量分向量 y轴轴分向量分向量 z轴轴分向量分向量特殊地特殊地194. .利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算20由由按坐标表示式即为按坐标表示式即为: 当分母为零理解为分子也为零
9、当分母为零理解为分子也为零.注注也即向量也即向量 与与 对应的坐标成比例对应的坐标成比例: 定理定理 设向量设向量 存在唯一的实数存在唯一的实数 21非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为非零向量非零向量 的的方向角方向角：四、向量的模、方向角四、向量的模、方向角(direction angle )22由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦方向余弦向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式(direction cosine )通常用来表示向量的方向通常用来表示向量的方向.23当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式
10、方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地特殊地24第第3 3节节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积1. 定义定义 向量向量数量积数量积一、两向量的数量积2、关于数量积的结论、关于数量积的结论：(1)此时也称此时也称(2)与与正交正交.253. 数量积符合下列运算规律数量积符合下列运算规律（1）交换律：）交换律：（2）分配律：）分配律：（3）若）若 为数：为数：若若 、 为数：为数：4. 用坐标表示式计算数量积用坐标表示式计算数量积则设设数量积的坐标表达式：对应坐标乘积之和数量积的坐标表达式：对应坐标乘积之和26两向量夹角两向量夹角余弦的坐标余弦的坐标表示式表示式由此可知两向量垂直的充要条件为
11、由此可知两向量垂直的充要条件为5. 两向量的夹角两向量的夹角 (数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用)27二、两向量的向量积二、两向量的向量积1. 定义定义2. 关于向量积的结论：关于向量积的结论：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、大小大小“外积外积”.向量向量向量积向量积的方向既垂直于的方向既垂直于又垂直于又垂直于指向符合右手系指向符合右手系.方向方向283. 向量积符合下列运算规律向量积符合下列运算规律(2) 分配律分配律(3) 若若 为数为数 (1) 反交换律反交换律4. 用坐标表示式计算向量积用坐标表示式计算向量积设设295. 向量积的几何意义向量积的几何意义表示以表示以为邻
12、边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积.30 1. 定义定义设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、 *向量的混合积设已知三个向量设已知三个向量、 数量数量称为这个向量的称为这个向量的记为记为混合积混合积,31向量混合积的几何意义向量混合积的几何意义关于混合积的说明：关于混合积的说明：(1)(2)(3)向量的混合积向量的混合积是这样的一个是这样的一个数数,它的绝对值表示它的绝对值表示以向量以向量为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积.32上两式相减得：上两式相减得：例例1 设设 均为非零向量均为非零向量,其中任意两个向量其中任意两个向量 不共线不共线, 但但 与与 共线共线,
13、与与 共线共线. 证明：证明：证证为常数为常数.二、典型例题二、典型例题33解解 设设为直线上的点为直线上的点,oxyzAB例例2 已知两点已知两点以及实数以及实数在直线在直线AB上求点上求点M, 使使同理同理,得得34例3 设 的模为2,它在轴上的投影分别为-1,1,求轴夹角的余弦.例4已知方向角例5 已知35解解求向量求向量例例6x轴上的轴上的投影及在投影及在y轴上的分向量轴上的分向量.在在x轴上的投影为轴上的投影为在在y轴上的分向量为轴上的分向量为36解解例例7两两垂直，两两垂直，设设求求关键：利用关键：利用37为单位向量，且为单位向量，且例例8 设设求：求：例例9 设设其中其中求：求：
14、38解解例例10求与求与都垂直的单位向量都垂直的单位向量.39解解三角形三角形ABC的面积为的面积为例例11 已知三角形的顶点已知三角形的顶点计算从顶点计算从顶点B到边到边AC的高的长度的高的长度BD.40解解例例12 已知已知计算计算41三、堂上练习三、堂上练习1. 设2. 设3. 设424. 已知问系数为何值时,向量垂直?5. 已知三点计算:(1) 以 为邻边的平行四边形的面积;(2) 求同时垂直于 的单位向量43四、小结四、小结空间直角坐标系 向量的概念理解向量的线性运算掌握向量的数量积,向量积与混合积掌握向量垂直,平行的条件掌握向量的夹角,向量的坐标表达式,单位向量,方向数.方向余弦掌握用坐标表达式进行向量运算的方法掌握了解44
