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1、2022 北京东城高一（下）期末 数 学 一选择题共 10 小题，每小题 3 分，共 30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数2iz=的虚部是（）A.1 B.1 C.2 D.2 2.sin72 cos42cos72 sin42=（）A 12 B.32 C.12 D.32 3.已知向量(1,2)a=，(1,)bm=，且/a b，那么m=（）A 5 B.4 C.2 D.0 4.已知1(1,0)e=，2(0,1)e=，那么与122ee+垂直的向量是（）A.122ee+B.122ee C.122ee D.122ee+5.已知tan1=，那么tan()3+=（）A.23 B.2
2、3+C.13+D.13 6.设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若3a=，1b=，60A=，则B等于（）A.30 B.45 C.60 D.150 7.如图，在正方体1111ABCDABC D中，与直线1DC互为异面直线的是（）A.CD B.1AB C.1CD D.11AD 8.已知正四棱锥SABCD，底面边长是2，体积是4 33，那么这个四棱锥的侧棱长为（）A.3 B.2 C.5 D.2 2 9.已知五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为16，方差为1，那么三年后，下列说法错误的是（）A.这五位同学年龄的平均数变为19 B.这五位同学年龄的中位数变为19 C.这五位同学年
3、龄方差仍为1 D.这五位同学年龄的方差变为4 10.如图，在ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且2COOD=，则下列说法中正确的个数是（）0OAOBOC+=；过点O作一条直线与边,AC BC分别相交于点,E F，若34CECA=，CFCB=(01)，则34=；若ABC是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则BM MD的取值范围是323,464 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二填空题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分.11.已知复数11 iz=，22iz=+，那么12zz=_.12.已知,a b均为单位向量，且12a b=，那么|2|ab+=_.13.从甲乙两个部门中
4、分别任选5名员工统一进行职业技能测试，得到的测试成绩（单位：分）的数据统计表如下所示.在这两个部门员工的测试成绩中，平均数较高的是_部门，方差较大的是_部门.员工 部门 分数 1 分数 2 分数 3 分数 4 分数 5 甲 82 86 81 93 85 乙 86 89 90 90 92 14.已知锐角ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若32 sin()abBC=+，则B=_.15.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点M为线段1BC上异于1,B C的动点，则下列四个命题：1ADB等边三角形；平面11A ACC平面1ABD；设CMx=，则三棱锥1AADM的体积随着x增大先
5、减少后增大；连接1D M，总有1/D M平面1ABD.其中正确命题是_.三解答题共 5 小题，共 55 分.解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.16.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩（均为整数）分成六组.第一组为40,50)，第二组为50,60)，以此类推，第五组为80,90)，第六组为90,100得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求a的值，并直接写出众数第80百分位数分别在第几组；（2）若用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在70,90)分数段抽取的人数.17.在ABC中，,A B C所对的边分别为,a b c
6、，且2a=，4A=，222cabab=+.（1）求C的大小；（2）求b的值.18.如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是矩形，点E为侧棱PA的中点，过,C D E三点的平面交侧棱PB于点F.（1）求证：AB平面CDEF；（2）再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求证：PACF.条件：PDAD=；条件：DE 平面PAB.注：如果选择条件条件分别解答，按第一个解答计分.19.已知函数()cos2sinf xxx=+，()3sin22sincos22xxg xx=.（1）求函数()f x的最大值；（2）若函数()()()F xf xg x=+，求函数()F x的单调递
7、增区间.20.在平面直角坐标系xOy中，已知一列点：11(1,)2P，22(2,)3P，33(3,)4P，(,)1nnP nn+，其中n+N，向量(0,1)j=.（1）求1 2PPj和2 3P Pj的值；（2）证明：对任意的正整数m，都有112mmmmP PjPPj+；（3）若正整数,k m n满足kmn，则下列结论中正确的有_.（填入所有正确选项的序号）m kmmm kPPjP Pj+；|n n km m kP PP P+；|m kmPP|nn kP P+.21.用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投
8、影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形ABCD在平面内的平行投影是四边形ABCD .图1 图2 图3（1）若平行四边形ABCD平行于投影面（如图1），求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）在图2中作出平面ABCD与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；（3）如图3，已知四边形ABCD 和平行四边形ABCD的面积分别为12,S S，平面ABCD与平面的交线是直线l，且这个平行投影是正投影.设二面角AlA 的平面角为
9、（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用12,S S表示），再给出证明.参考答案 一选择题共 10 小题，每小题 3 分，共 30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数2iz=的虚部是（）A.1 B.1 C.2 D.2【答案】B【解析】【分析】由复数的定义得出答案.【详解】复数2iz=的虚部是1 故选：B 2.sin72 cos42cos72 sin42=（）A.12 B.32 C.12 D.32【答案】A【解析】【分析】直接用正弦和差角公式即可得到结果.【详解】因为()sin72 cos42cos72 sin42sin 7242=1sin302=故选:A.3.已知向量(1
10、,2)a=，(1,)bm=，且/a b，那么m=（）A.5 B.4 C.2 D.0【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为(1,2)a=，(1,)bm=，且/a b，所以1 2m=，解得2m=.故选：C 4.已知1(1,0)e=，2(0,1)e=，那么与122ee+垂直的向量是（）A.122ee+B.122ee C.122ee D.122ee+【答案】B【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标表示计算可得.【详解】解：因为1(1,0)e=，2(0,1)e=，所以()1222,1ee+=，对于 A：()122,12ee=+，此时()
11、()()121222221 13eeee+=+=，故 A错误；对于 B：()1221,2ee=，则()()()1212222 1 120eeee+=+=，故 B正确；对于 C：()12122,ee=，此时()()()12123222 2 11eeee+=+=，故 C 错误；对于 D：()1221,2ee+=，则则()()1212222 1 1 24eeee+=+=，故 D错误；故选：B 5.已知tan1=，那么tan()3+=（）A.23 B.23+C.13+D.13【答案】A【解析】【分析】利用和角正切公式即可求值.【详解】tantan133tan()233131tantan3+=.故选：A
12、 6.设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，若3a=，1b=，60A=，则B等于（）A.30 B.45 C.60 D.150【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求出sin B，又sinAsinB，则B为锐角，结合选项得出答案【详解】3a=，1b=，60A=，31sin60sinB=，解得1sinB2=，又sinAsinB，B为锐角，即30B=，故选：A 7.如图，在正方体1111ABCDABC D中，与直线1DC互为异面直线的是（）A.CD B.1AB C.1CD D.11AD【答案】D【解析】【分析】由异面直线的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于选项 A，1DCC
13、DD=，故 A 不正确；对于选项 B，11/DCAB，故 B不正确；对于选项 C，直线1DC与直线1CD相交，故 C不正确；对于选项 D，因为直线1DC与直线11AD不同在任意一个平面，所以直线1DC与直线11AD是异面直线，故 D正确.故选：D.8.已知正四棱锥SABCD，底面边长是2，体积是4 33，那么这个四棱锥的侧棱长为（）A.3 B.2 C.5 D.2 2【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为 h，由体积是4 33，求出3h=.利用勾股定理求出侧棱长.【详解】因为正四棱锥SABCD，底面边长是2，所以底面积为2 24=.设正四棱锥的高为 h，由31434 3Vh=，所以3h=.所
14、以侧棱长为()222325lh=+=+=.即侧棱长为5.故选：C 9.已知五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为16，方差为1，那么三年后，下列说法错误的是（）A.这五位同学年龄的平均数变为19 B.这五位同学年龄的中位数变为19 C.这五位同学年龄的方差仍为1 D.这五位同学年龄的方差变为4【答案】D【解析】【分析】利用平均数、中位数、方差的定义直接求解.【详解】五位同学高一入学时年龄的平均数，中位数均为16，方差为1，那么三年后，这五位同学年龄的平均数变为16319+=，故 A正确；这五位同学年龄的中位数变为16319+=，故 B正确；这五位同学年龄的方差不变，故 C 正确，D错误；故
15、选：D.10.如图，在ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且2COOD=，则下列说法中正确的个数是（）0OAOBOC+=；过点O作一条直线与边,AC BC分别相交于点,E F，若34CECA=，CFCB=(01)，则34=；若ABC是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则BM MD的取值范围是323,464 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】【分析】由1122CDCACB=+，2,3OCCD OAODDA=+，OBODDA=，结合向量的运算判断；由,E O F三点共线结合向量的数乘运算判断；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断.【详解】对于：1122C
16、DCACB=+，2,3OCCD OAODDA=+，OBODDB=+ODDA=，故22220333OAOBOCCDODCDCD+=+=+=，故正确；对于：1351()34123OEOCCECACBCACACB=+=+=，111()333OFOCCFCACBCBCACB=+=+=+，因为,E O F三点共线，所以OFOE=，即511231133=，解得4,355=，故错误；对于：以点D作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，113,0,0,0,(0,0)222ABCD，13,(1,0)22ACAB=，设,0,1AMtAC t=，因为1313,(1,0)1,2222BMAMABtttt=，113113,0,222222MDADAMtttt=，所以221113311222442BM MDttttt=+，当1t=时，43BM MD=，当38t=时，2364BM MD=，即BM MD的取值范围是323,464，故正确；故选：C 二填空题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分.11.已知复数11 iz=，22iz=+，那么12zz=_.【答案】3i#i3+【解析】【分析】直接利用复数的乘法法则求
