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1、 第1页/共6页 2024 北京石景山高二（下）期末 数 学 本试卷共 6 页，满分为 100 分，考试时间为 120 分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合1Mxx=+0，02=xxN，则=MN（）A1x x B2x x CR D12xx 2已知命题P：“x R，210 xx+”，则P为（）A.x R，210 xx+B.x R，210 xx+C.x R，210 xx+D.x R，210 xx+
2、3已知等差数列na，105=a，209=a，则1a等于（）A1 B0 C2 D5 4已知事件 A，B 相互独立，8.0)(=AP，4.0)(=BP，则)(ABP等于（）A32.0 B4.0 C5.0 D8.0 5在数列na中，12a=，nnaa111=+（*Nn），则2024a的值为（）A2 B13 C21 D32 6函数f xxaxln()=+在点(1,1)处的切线与直线xy21=垂直，则=a（）A1 B2 C1 D2 7已知函数xxxfcos)(+=，则下列选项正确的是（）Ae)()()2(fff B)2(e)()(fff C)()2(e)(fff D)(e)()2(fff 8已知数列na
3、是等比数列，其前n项和为nS，则“nnSS=+2”是“02=nS”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9若函数e,1(),1xxa xf xax x+=有且仅有两个零点，则实数a的范围为（）A(0,e)B(,e)C)e1(0,D)e1(,10数列na的通项公式为26nann=（*Nn），前n项和为nS，给出下列三个结论：第2页/共6页 存在正整数,()mnmn，使得mnSS=；存在正整数,()mnmn，使得2mnmnaaaa+=；记12(1,2,3,)nnTaaan=，则数列nT有最大项和最小项.其中正确结论的个数是（）A3 B2 C1 D0 第二
4、部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 60 分）分）二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 11.函数1ln()f xxx=+的定义域为 .12已知函数)(xfy=的定义域为R，)(xf为其导函数，函数)(xfy=的图象如图所示，且1)2(=f，1)3(=f，则不等式1)(xf的解集为 13已知数列1+na是等比数列，且1,331=aa，则=5a .14已知函数baxxf=)(的导函数为2()3fxx=，则=+ba ，过点(1,1)且与曲线)(xfy=相切的直线方程为 .15.已知aR，函数1)(3+=axxxf有两个极值点21,xx，给出下列四个结论：a可能是负数；021=+
5、xx；)()(21xfxf+为定值；若存在0 x R，使得00(2)()1fxfx+，则12a.其中所有正确结论的序号是_ 三、三、解答题共 5 小题，共 40 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16(本小题满分 8 分)已知函数xxxfe)3()(2=（）求函数)(xf的极值；（）若对 1,2x 都有()fxa 恒成立，求实数a的取值范围 第3页/共6页 17（本小题满分 8 分）已知等差数列na的前n项和为nS，从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答.（）求数列na的通项公式；（）设11nnnba a+=，证明数列nb的前n项和12nT 条件116=a，条件255=S，条
6、件1816aa+=.注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 18（本小题满分 8 分）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于25,15之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（）求a的值；（）若从高度在)17,15和)19,17中分层抽样抽取 5 株，在这 5株中随机抽取 3 株，记高度在)17,15内的株数为X，求X的分布列及数学期望)(XE；（）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取 3 株，求至少有 2株高度在25,21的概率.19(本小题满分 8 分)已知函数xxf xe1(
7、)+=.（）求证：当()0,x+时，121)(2+xxf；（）当0 x 时，若曲线)(xfy=在曲线21yax=+的上方，求实数 a 的取值范围.20(本小题满分 8 分)若数列na对任意的*nN，均满足nnnnaaaa+112，则称na为“速增数列”.（）已知数列na是首项为 1 公比为 3 的等比数列，判断数列na是否为“速增数列”？说明理由；（）若数列nb为“速增数列”，且任意项*()ZNnbn，11b=，32=b，2024=kb，求正整数k的最大值.第4页/共6页 参考答案 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1010 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040
8、 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B D A D C C A 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分 三、三、解答题：解答题：本大题共本大题共 5 5 个小题，共个小题，共 4 40 0 分分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16(本小题满分 8 分)解：（）由()()23 exf xx=，所以()()223 exfxxx=+.2 分()()2023 exfxxx=+=得3=x或1.当x变化时，)(xf在各区间上的正负，以及)(x
9、f的单调性如下表所示.x)3,(3)1,3(1),1(+)(xf 0 0 )(xf 极大 极小 所以 当3=x时)(xf取极大值3e6)3(=f；当1=x时)(xf取极小值e2)1(=f.5 分（）由（）可得函数()f x在)1,1上单调递减，在(1,2上单调递增，则()f x在1,2上的最小值()min()12ef xf=对 1,2x 都有()f xa恒成立，所以2ea.8 分 17(本小题满分 8 分)（）由于 na是等差数列，设公差为d，当选时：615151151025aadSad=+=+=，解得112ad=，所以 na的通项公式()11221nann=+=，*Nn 选时16181511
10、2716aadaaad=+=+=+=，解得112ad=，所以 na的通项公式()11221nann=+=，*Nn 题号 11 12 13 14 15 答案),0(+)3,2(0 4,0143,023=+=yxyx 第5页/共6页 选时51181510252716Sadaaad=+=+=+=，解得112ad=，所以 na的通项公式()11221nann=+=，*Nn 4 分（）由（）知21nan=，*Nn，所以()()111111()21212 2121nnnba annnn+=+，所以1 111 11111112 132 352 2121242nTnnn=+=+，*Nn，12nT.8 分 18
11、(本小题满分 8 分)解：（）依题意可得()0.050.0750.150.121a+=，解得0.125a=；2 分（）由（）可得高度在)15,17和)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的 5 株中，高度在)15,17和)17,19的株数分别为 2 和 3，所以X可取 0，1，2.所以()3335C10C10P X=，()213235CC3 231C105P X=，()123235CC3 132C1010P X=所以X的分布列为：X 0 1 2 P 110 35 310 所以()13360+1+2=105105E X=6 分（）从所有花卉中随机抽取3株，记至少有2株高度在21,
12、25为事件M，则()321231111C2222P M=+=.8 分 19(本小题满分 8 分)（）令()()22111112e2xxg xf xxx+=+=+（0 x），xxxxxxg xe(e1)e()=+=.由0 x 得10 xe ，于是()0gx，故函数()g x是)0,+上的增函数.所以当()0,x+时，()()00g xg=，即()2112f xx+；4 分（）当12a时，由（）知()221112f xxax+，满足题意.第6页/共6页 令()()22111exxh xf xaxax+=，()122eexxxh xaxxa=+.当102a时，若)21ln(,0(ax，()0h x，
13、则()h x在)21ln(,0(a上是减函数.所以)21ln(,0(ax时，()()00h xh=，不合题意.当0a时，()0h x，则()h x在()0,+上是减函数，所以()()00h xh=，不合题意.综上所述，实数 a 的取值范围21,(.8 分 20(本小题满分 8 分)解：（）数列 na是“速增数列”，理由如下：由13nna=，则121332 3nnnnnaa+=，111332 3nnnnnaa+=，12 32 3nn，故211nnnnaaaa+，所以数列 na是“速增数列”.4 分（）数列 nb为“速增数列”，11b=，23b=，2024kb=，任意项()*nbnZN，2k时，()()()11221120241231kkkkkbbbbbbbbkk=+.即()12024,Z2k kk+，当63k=时，()120162k k+=，当64k=时，()120802k k+=，故正整数 k 的最大值为 63.8 分（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
