《8.1柱、椎、台、球的结构及其直观图和三视图》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.1柱、椎、台、球的结构及其直观图和三视图（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八编 立体几何8.1 8.1 柱、锥、台、球的结构柱、锥、台、球的结构 及其直观图和三视图及其直观图和三视图空间几何体空间几何体空间几何体的结构空间几何体的结构空间几何体的空间几何体的三视图和直观图三视图和直观图空空间间几几何何体体的的表面积和体积表面积和体积外部结构和内部特征外部结构和内部特征图形语言表示图形语言表示计算度量计算度量没有平行定义没有平行定义 直观感知直观感知 柱体柱体 椎体椎体 台体台体 球体球体球球体体圆圆柱柱棱棱柱柱圆圆台台棱棱台台圆圆锥锥棱棱锥锥三三视视图图直直观观图图展展开开图图体体积积表表面面积积要点梳理要点梳理1.1.多面体的结构特征多面体的结构特征 (1)(1
2、)棱柱的上下底面棱柱的上下底面 ，侧棱都，侧棱都 且且 ，上底面和下底面是，上底面和下底面是 的多边形的多边形. . (2) (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形的三角形. .平行平行平行平行长度相等长度相等全等全等公公共点共点基础知识基础知识 自主学习自主学习 (3) (3)棱台可由棱台可由 的平面截棱锥得的平面截棱锥得 到，其上下底面的两个多边形相似到，其上下底面的两个多边形相似. .平行于棱锥底面平行于棱锥底面2.2.旋转体的结构特征旋转体的结构特征 (1)(1)圆柱可以由矩形绕其圆柱可以由矩形绕其 旋转得到旋转得到. . (2) (2
3、)圆锥可以由直角三角形绕其圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到旋转得到. . (3) (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 的平面截圆锥得到的平面截圆锥得到. . (4) (4)球可以由半圆或圆绕其球可以由半圆或圆绕其 旋转得到旋转得到. .一边所在直线一边所在直线一条直角边所在一条直角边所在直线直线平行于圆锥底面平行于圆锥底面直径直径3.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用空间几何体的三视图是用 得到得到, ,这种投这种投 影下与投影面平行
4、的平面图形留下的影子与平影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是面图形的形状和大小是 的的, ,三视图包括三视图包括 、 、 . .4.4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用画空间几何体的直观图常用 画法，基画法，基 本步骤是：本步骤是： (1)(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x x轴、轴、y y轴，两轴轴，两轴 相交于点相交于点O O, ,画直观图时画直观图时, ,把它们画成对应的把它们画成对应的x x 轴、轴、y y轴轴, ,两轴相交于点两轴相交于点O O,且使且使x xO Oy y . . 正投影正投影完全相同完全相
5、同斜二测斜二测=45=45（或（或135135）主视图主视图左视图左视图俯视图俯视图 (2) (2)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴的线段，在直观轴的线段，在直观 图中平行于图中平行于 . . (3) (3)已知图形中平行于已知图形中平行于x x轴的线段轴的线段, ,在直观图中在直观图中 _ _ ，平行于，平行于y y轴的线段轴的线段，长度长度 变为变为 . . (4) (4)在已知图形中过在已知图形中过O O点作点作z z轴垂直于轴垂直于xOyxOy平面，平面， 在直观图中对应的在直观图中对应的z z轴也垂直于轴也垂直于x xO Oy y平平 面面, ,已知图形中平行于
6、已知图形中平行于z z轴的线段，在直观图中轴的线段，在直观图中 仍平行于仍平行于z z轴且长度轴且长度 . .x x轴、轴、y y轴轴原来原来的一半的一半不变不变保持不变保持不变5.5.中心投影与平行投影中心投影与平行投影 (1)(1)平行投影的投影线平行投影的投影线 ，而中心投影的，而中心投影的 投影线投影线 . . (2) (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在出的直观图都是在 投影下画出来的图形投影下画出来的图形. .互相平行互相平行相交于一点相交于一点平行平行基础自测基础自测1.1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（一个棱柱是正四
7、棱柱的条件是（ ） A.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两 两垂直两垂直 D.D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱每个侧面都是全等矩形的四棱柱C2.2.用任意一个平面截一个几何体用任意一个平面截一个几何体, ,各个截面都是各个截面都是 圆，则这个几何体一定是（圆，则这个几何体一定是（ ） A.A.圆柱圆柱 B.B.圆锥圆锥 C.C.球体球体 D.D.圆柱、圆锥、球体的组合体圆柱、圆锥、球体的组合体C3.3.如果
8、圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥 的顶角的顶角( (圆锥轴截面中两条母线的夹角圆锥轴截面中两条母线的夹角) )是是( )( ) A.30 A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.90 D.90 C4.4.三视图如下图的几何体是三视图如下图的几何体是 （ ） A.A.三棱锥三棱锥 B.B.四棱锥四棱锥 C.C.四棱台四棱台 D.D.三棱台三棱台B5.5.等腰梯形等腰梯形ABCDABCD，上底，上底CDCD=1=1，腰，腰ADAD= =CBCB= = ，下，下 底底ABAB=3=3，以下底所在直线为，以下底所在直线为x x轴，则由斜二测画轴
9、，则由斜二测画 法画出的直观图法画出的直观图A AB BC CD D的面积为的面积为 . . 解析解析 3、下列图中，不是正方体的表面展开图的是、下列图中，不是正方体的表面展开图的是( )ABCCD4、把一个半径为、把一个半径为5的的1/4圆卷成一圆卷成一个无底的圆锥筒，这个圆锥筒的个无底的圆锥筒，这个圆锥筒的高是高是_题型一题型一 几何体的结构、几何体的定义几何体的结构、几何体的定义 设有以下四个命题：设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体；底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体；直四
10、棱柱是直平行六面体； 棱台的相对侧棱延长后必交于一点棱台的相对侧棱延长后必交于一点. . 其中真命题的序号是其中真命题的序号是 . . 解决该类题目需准确理解几何体的定解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可误的，设法举出一个反例即可. .题型分类题型分类 深度剖析深度剖析知能迁移知能迁移1 1 下列结论正确的是（下列结论正确的是（ ） A.A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥
11、B.B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则 此棱锥可能是六棱锥此棱锥可能是六棱锥 D.D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线都是母线D题型二题型二 几何体的直观图几何体的直观图 一个平面四边形的斜二测画法的直观图一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为是一个边长为a a的正方形的正方形, ,则原平面四边形的面则原平面四边形的面 积等
12、于积等于( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 按照直观图的画法，建立适当的坐按照直观图的画法，建立适当的坐 标系将正方形标系将正方形A AB BC CD D还原，并利用平面还原，并利用平面 几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注 意线段和角的变化规律意线段和角的变化规律. .B 对于直观图对于直观图, ,除了解斜二测画法的规除了解斜二测画法的规 则外则外, ,还要了解原图形面积还要了解原图形面积S S与其直观图面积与其直观图面积S S 之间的关系之间的关系S S= = 能进行相关问题的计算能进行相关问题的计算. .题型三题型三
13、几何体的三视图几何体的三视图 (2009(2009山东，山东，4)4)一空间几何体的三视图一空间几何体的三视图 如图所示，则该几何体的体积为（如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. A. B. C. D. C. D.C 由几何体的三视图，画出几何体的直由几何体的三视图，画出几何体的直观图，然后利用体积公式求解观图，然后利用体积公式求解. .解析解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为圆柱的底面半径为1 1，高为，高为2 2，体积为，体积为22，四棱锥，四棱锥的底面边长为的底面边长为 ，高为，高为 ，所以体积为，所以体积为 所以该几何
14、体的体积为所以该几何体的体积为答案答案 C 通过三视图间接给出几何体的形状通过三视图间接给出几何体的形状, ,打打破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关运算的传统模式运算的传统模式, ,使三视图与传统意义上的几何体使三视图与传统意义上的几何体有机结合有机结合, ,这也体现了新课标的思想这也体现了新课标的思想. .知能迁移知能迁移3 3 一个几何体的三视图如图所示，其中主一个几何体的三视图如图所示，其中主 视图与左视图都是边长为视图与左视图都是边长为2 2的正三角形，则这个几的正三角形，则这个几 何体的侧面积为何体的侧面积为 （ ） A. B. C.
15、 D.A. B. C. D. 解析解析 由三视图知，该几何体为一圆锥，其中由三视图知，该几何体为一圆锥，其中 底面直径为底面直径为2 2，母线长为，母线长为2 2，S S侧侧=rl rl =1 12=2.2=2.B题型四题型四 多面体与球多面体与球 （1212分）棱长为分）棱长为2 2的正四面体的四个顶点的正四面体的四个顶点 都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面 如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）如图所示，求图中三角形（正四面体的截面） 的面积的面积. . 截面过正四面体的两顶点及球心，截面过正四面体的两顶点及球心， 则必过对边的中点则必过对边
16、的中点. .解解 如图所示，如图所示，ABEABE为题中的三角形，为题中的三角形，4 4分分8分分解题示范解题示范 解决这类问题的关键是准确分析出组解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征合体的结构特征, ,发挥自己的空间想象能力发挥自己的空间想象能力, ,把立把立体图和截面图对照分析体图和截面图对照分析, ,有机结合有机结合, ,找出几何体中找出几何体中的数量关系的数量关系, ,为了增加图形的直观性为了增加图形的直观性, ,常常画一个常常画一个截面圆作为衬托截面圆作为衬托. .1212分分知能迁移知能迁移4 4 在一个倒置的正三棱锥容器内在一个倒置的正三棱锥容器内, ,放入放入 一个钢
17、球一个钢球, ,钢球恰好与棱锥的四个面都接触钢球恰好与棱锥的四个面都接触, ,经经 过棱锥的一条侧棱和高作截面过棱锥的一条侧棱和高作截面, ,正确的截面图形正确的截面图形 是是( )( ) 解析解析 正三棱锥的内切球心在高线上正三棱锥的内切球心在高线上, ,与侧面有与侧面有 公共点公共点, ,与棱无公共点与棱无公共点. .B例例5.5.指出左面三个平面图形是右面这个物指出左面三个平面图形是右面这个物体的三视图中的哪个视图体的三视图中的哪个视图(1)( )(2)( )正视图正视图俯视图俯视图( )(3)侧视图侧视图方法与技巧方法与技巧1.1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能棱柱主要是理解
18、、掌握基本概念和性质，并能 灵活应用灵活应用. .2.2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底 面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面 边长的一半构成的直角三角形中解决边长的一半构成的直角三角形中解决. .3.3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这 一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截
19、面与底面平行面与底面平行. .2.2.掌握三视图的概念及画法掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时在绘制三视图时, ,若相邻两物体的表面相交若相邻两物体的表面相交, ,表面表面 的交线是它们的分界线的交线是它们的分界线. .在三视图中，分界线和可在三视图中，分界线和可 见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚 线线. .并做到并做到“主左一样高、主俯一样长、俯左一样主左一样高、主俯一样长、俯左一样 宽宽”. .3.3.掌握直观图的概念及斜二测画法掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段
20、. . “平行于平行于x x轴的线段平行性不变，长度不变；轴的线段平行性不变，长度不变； 平行于平行于y y轴的线段平行性不变，长度减半轴的线段平行性不变，长度减半. .”4.4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；能够由空间几何体的三视图得到它的直观图； 也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. . 提升空间想象能力提升空间想象能力. .一、选择题一、选择题1.1.如图是由哪个平面图形旋转得到的如图是由哪个平面图形旋转得到的 （ ） 解析解析 几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只 有有A A可以旋转得到，可以旋转得
21、到，B B得到两个圆锥，得到两个圆锥，C C得到一圆得到一圆 柱和一圆锥，柱和一圆锥，D D得到两个圆锥和一个圆柱得到两个圆锥和一个圆柱. .A定时检测定时检测2.2.下列命题中，成立的是下列命题中，成立的是 （ ） A.A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.B.四面体一定是三棱锥四面体一定是三棱锥 C.C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一 定是正棱锥定是正棱锥 D.D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱 相等的棱锥一定是正棱锥相等的棱锥一定是正棱锥 解析解析 A A是
22、错误的，只要将底面全等的两个棱锥是错误的，只要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是 三角形，但这个多面体不是棱锥；三角形，但这个多面体不是棱锥；B B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形 是四面体也必定是个三棱锥；是四面体也必定是个三棱锥；C C是错误的，如图所示，棱锥的侧面是错误的，如图所示，棱锥的侧面 是全等的等腰三角形，但该棱锥是全等的等腰三角形，但该棱锥 不是正三棱锥；不是正三棱锥；D D也是错误的，底面多边形既有内切也是错误的，底面多边形既有内切 圆又有外接圆，如果不同心
23、，则不是正多边形，圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形， 因此不是正棱锥因此不是正棱锥. .答案答案 B B3.3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图 相同的是相同的是 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 在各自的三视图中在各自的三视图中正方体的三个视图正方体的三个视图 都相同；都相同；圆锥的两个视图相同；圆锥的两个视图相同；三棱台的三棱台的 三个视图都不同；三个视图都不同；正四棱锥的两个视图相同，正四棱锥的两个视图相同， 故选故选D.D.D4.4.（20082008广东理，广东理，5 5）将正三棱柱截去三个角
24、将正三棱柱截去三个角 （如图（如图1 1所示），所示），A A，B B，C C分别是分别是GHIGHI三边的三边的 中点得到几何体如图中点得到几何体如图2 2，则该几何体按图，则该几何体按图2 2所示所示 方向的侧视图（或称左视图）为方向的侧视图（或称左视图）为 （ ）解析解析 当三棱锥没有截去三个角时的左视图如图当三棱锥没有截去三个角时的左视图如图（1 1）所示，由此可知截去三个角后的左视图如）所示，由此可知截去三个角后的左视图如图（图（2 2）所示）所示. .答案答案 A A5.5.已知已知ABCABC的直观图是边长为的直观图是边长为a a的等边的等边A A1 1B B1 1C C1 1
25、( (如如图图) )，那么原三角形的面积为，那么原三角形的面积为 （ ） A. B.A. B. C. D. C. D.解析解析 在原图与直观图中有在原图与直观图中有OBOB= =O O1 1B B1 1，BCBC= =B B1 1C C1 1. .在直观图中，过在直观图中，过A A1 1作作A A1 1D D1 1B B1 1C C1 1，因为因为A A1 1B B1 1C C1 1是等边三角形，是等边三角形，所以所以A A1 1D D1 1= =在在RtRtA A1 1O O1 1D D1 1中，中，A A1 1O O1 1D D1 1=45=45，O O1 1A A1 1= =根据直观图画
26、法规则知：根据直观图画法规则知：ABCABC的面积为的面积为答案答案 C C6.6.棱长为棱长为1 1的正方体的正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的8 8个顶点都在个顶点都在 球球O O的表面上的表面上, ,E E、F F分别是棱分别是棱AAAA1 1、DDDD1 1的中点，则的中点，则 直线直线EFEF被球被球O O截得的线段长为截得的线段长为 （ ） A. B.1 C. D.A. B.1 C. D. 解析解析 由题知球由题知球O O半径为半径为 ，球心，球心O O到直线到直线EFEF 的距离为的距离为 ，由垂径定理可知直线，由垂径定理可知直线EFEF被
27、球被球O O截截 得的线段长得的线段长D二、填空题二、填空题7.7.用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是用任一个平面去截正方体，下列平面图形可能是 截面的是截面的是 . . 正方形；正方形；长方形；长方形；等边三角形；等边三角形；直角直角 三角形；三角形；菱形；菱形；六边形六边形. . 解析解析 如图所示正方体如图所示正方体ABCDABCD A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，平行于中，平行于ABCDABCD的截面的截面 为正方形，截面为正方形，截面AAAA1 1C C1 1C C为长方形，为长方形， 截面截面ABAB1 1D D1 1为等边三角形为等边三角形, ,取取B
28、BBB1 1、DDDD1 1的中点的中点E E、 F F，则截面，则截面AECAEC1 1F F为菱形，取为菱形，取B B1 1C C1 1、D D1 1C C1 1、ABAB、 ADAD的中点的中点MM、N N、P P、Q Q，过这四点的截面为六，过这四点的截面为六 边形，截面不可能为直角三角形边形，截面不可能为直角三角形. .8.8.下列命题中：下列命题中： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面和截面之间的部分叫棱台；面和截面之间的部分叫棱台； 棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；棱台的各侧棱延长后一定相交于一点； 圆台可以看做直角梯形以其垂直于底
29、边的腰圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面 围成的几何体；围成的几何体； 半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. . 其中所有正确命题的序号是其中所有正确命题的序号是 . . 解析解析 符合棱台的定义；符合棱台的定义；棱台是由棱锥被棱台是由棱锥被 平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一 定相交于一点；定相交于一点；是圆台的另一种定义形式；是圆台的另一种定义形式； 中形成的是球面而不是球中形成的是球面而不是球. .9.9.（20092009
30、天津文，天津文，1212）如图是一个几何体的三如图是一个几何体的三 视图视图. .若它的体积是若它的体积是3 3 ，则，则a a= = . . 解析解析 由三视图可知，此几何体为直三棱柱，由三视图可知，此几何体为直三棱柱， 其底面为一边长为其底面为一边长为2 2，高为，高为a a的等腰三角形的等腰三角形. .由棱由棱 柱的体积公式得柱的体积公式得三、解答题三、解答题10.10.一个正方体内接于高为一个正方体内接于高为40 cm40 cm，底面半径为，底面半径为30 cm30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长的圆锥中，求正方体的棱长. . 解解 如图所示，过正方体的体对角如图所示，过正方体的体对角
31、 线作圆锥的轴截面，设正方体的棱线作圆锥的轴截面，设正方体的棱 长为长为x x，则，则11.11.正四棱锥的高为正四棱锥的高为 ，侧棱长为，侧棱长为 ，求侧面上斜高，求侧面上斜高 （棱锥侧面三角形的高）为多少？（棱锥侧面三角形的高）为多少？ 解解 如图所示，正四棱锥如图所示，正四棱锥S S- -ABCDABCD中高中高OSOS= = ， 侧棱侧棱SASA= =SBSB= =SCSC= =SDSD= = ， 在在RtRtSOASOA中，中， OAOA= = ACAC=4.=4. ABAB= =BCBC= =CDCD= =DADA=2 .=2 . 作作OEOEABAB于于E E，则，则E E为为ABAB中点中点. . 连接连接SESE，则，则SESE即为斜高，则即为斜高，则SOSOOEOE. . 在在RtRtSOESOE中，中， SESE= = ，即侧面上的斜高为，即侧面上的斜高为 . .12.12.已知正三棱锥已知正三棱锥V VABCABC的主视图、左视图和俯视的主视图、左视图和俯视 图如图所示图如图所示. . （1 1）画出该三棱锥的直观图）画出该三棱锥的直观图; ; （2 2）求出左视图的面积）求出左视图的面积. .解解 （1 1）如图所示）如图所示. .（2 2）根据三视图间的关系可得）根据三视图间的关系可得BCBC= = 返回返回
