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1、定积分在几何学上应用定积分在几何学上应用高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六22/3434面积：面积：面积：面积：面积元素面积元素面积元素面积元素一一一一 平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积1.1 1.1 直角坐标之一般情形直角坐标之一般情形直角坐标之一般情形直角坐标之一般情形面积元素：面积元素：面积元素：面积元素：面积：面积：面积：面积：高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六33/3434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六44/3434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六55
2、/3434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六66/3434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六77/3434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六88/3434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六99/3434解解解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积一一一一 平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1010/3434解解解解利用对称性知利用对称性知一一一一 平面图形的面积平面图形的面积
3、平面图形的面积平面图形的面积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1111/3434 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积二、体积二、体积1 1、旋转体的体积、旋转体的体积、旋转体的体积、旋转体的体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1212/3434xyo旋转体的旋转体的体积体积为为二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1313/3434
4、解解解解直线直线 方程为方程为二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1414/3434解解解解二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1515/3434二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1616/3434解解解解二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1717/3434二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1818/3434补充
5、补充补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六1919/3434解解解解体积元素为体积元素为二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2020/34342 2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立
6、体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2121/3434解解解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2222/3434解解解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积二、体积二、体积二、体积二、体积高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2323/34341 1、平面曲线弧长的概念、
7、平面曲线弧长的概念、平面曲线弧长的概念、平面曲线弧长的概念三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2424/3434弧长元素弧长元素弧长弧长2 2、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形、直角坐标情形三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2525/3434解解解解所求弧长为所求弧长为三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六
8、六六2626/3434解解解解三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2727/3434曲线弧为曲线弧为弧长弧长3 3、参数方程情形、参数方程情形、参数方程情形、参数方程情形三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2828/3434解解解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲
9、线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六2929/3434证证证证三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六3030/3434根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六3131/3434曲线弧为曲线弧为弧长弧长4 4、极坐标情形、极坐标情形、极坐标情形、极坐标情形三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线
10、的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六3232/3434解解解解三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六3333/3434解解解解三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学六六六六六六3434/34343、平面曲线弧长平面曲线弧长的概念的概念直角坐标系直角坐标系（参数方程情形）（参数方程情形）极坐标系极坐标系弧微分弧微分的概念的概念求求弧长弧长的公式的公式五、小结五、小结五、小结五、小结1、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下 平面图形的面积平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）2、旋转体的、旋转体的体积体积平行截面面积为已知的立体的平行截面面积为已知的立体的体积体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周作业：作业：作业：作业：279-282 279-282 2 2 (2)(4) ; (2)(4) ;3;53;5 (3) ; (3) ;1212 ; ;18 ;25;3018 ;25;30
