极值点偏移问题专题

《极值点偏移问题专题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极值点偏移问题专题（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、-极值点偏移问题专题（极值点偏移问题专题（0)0)偏移新花样（拐点偏移）偏移新花样（拐点偏移）例例 1 1 已知函数fx 2ln x x2 x，若正实数x1,x2满足fx1+fx2=4,求证：x1 x2 2。证明证明: :注意到f1=2，fx1+fx2=2f1fx1+fx2=2f12f x=+2x1 0x2f x=22,f 1=0,则（1,2）是fx图像的拐点，若拐点（1,2)也是fx的对x称中心,则有x1 x2=2，证明x1 x2 2则说明拐点发生了偏移,作图如下想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地 ,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理.不妨设0 x11

2、 x2，要证x1 x2 2 x2 2 x11 fx2 f2 x1 4 fx1 f2 x1 4 fx1 f2 x1Fx fx f2x,x0,1,则Fx f x f 2 x 222x122 x1x2 x-1 41 x1x2 x 0,得Fx在0,1上单增,有Fx F1 21 4,得证。、极值点偏移、极值点偏移 PKPK 拐点偏移常规套路拐点偏移常规套路1、 极值点偏移(f x0 0)二次函数fx1 fx2 x1 x2 2x02、拐点偏移f x00fx1 fx2 x2 2x0 x1 x1 x2 2x0fx1 fx2 2fx0 x1 x2 2x0fx1 fx22fx0 x22x0x1 x1x22x0极值

3、点偏移问题专题极值点偏移问题专题(1)(1)对称化构造对称化构造( (常规套路）常规套路）例例 1 1(010 天津） 已知函数fx xex(1）求函数fx的单调区间和极值;（2）已知函数gx的图像与fx的图像关于直线x 1对称，证明:当x 1时，-fx gx;（3）如果x1 x2,且fx1 fx2，证明:x1 x2 2.点评:该题的三问由易到难，层层递进,完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下:x例是这样一个极值点偏移问题：对于函数fx xe，已知fx1 fx2，x1 x2，证明x1 x2 2.再次审视解题过程，发现以下三个关键点:(1）x1，x2的范围0 x

4、11 x2；（2）不等式fx f2 xx 1;-(3)将x2代入（2)中不等式，结合fx的单调性获证结论.把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题例例 2 2(2016 新课标卷）已知函数fxx2exax1有两个零点2()求a的取值范围;(2)设x1,x2是fx的两个零点，证明:x1 x2 2.解:（1)0,过程略；（2)由（1)知fx在,1上，在1,上，由fx1 fx2 0,可设x11 x2.构造辅助函数Fx fx f2 xx1ex2a1 xe2x2ax1exe2x当x 1时,x1 0，e exFx f x f 2 x2x 0，则Fx0，得Fx在,1上,又F1 0,故Fx 0x 1

5、,即fx f2 xx 1将x1代入上述不等式中得fx1 fx2 f2 x1,又x21,2 x11，fx在1,上,故x1 2 x1,x1 x2 2通过以上两例,相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解.但极值点偏移问题的结论不一定总是x1 x22x0,也可以是x1x2x0,借鉴前面的2解题经验,我们就可给出类似的过程.例例3 3已知函数fx xlnx的图像与直线y m交于不同的两点Ax1, y1,Bx2, y2,求证:x1x212e1e,在,上证明:（i）f x lnx1,得fx在0,上1e;当0 x 1时,fx 0;f1 0；当x 1时，fx 0；当x0时,fx0（洛必达法则）;-当x时,fx，于是fx的图像如下,得0 x11 x21e小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步:ste1： 求导， 获得fx的单调性,极值情况， 作出fx的图像， 由fx1 fx2得x1，x2的取值范围(数形结合） ；sep2:构造辅助函数（对结论x1 x22x0，构造Fx fx f2x0x；对结论x1x2x获得不等式;ste3：代入x1(或x2）,利用fx1 fx2及fx的单调性证明最终结论20,构造2 x0Fx fx f),求导， 限定范围(x1或x2的范围） ， 判定符号，x-