《高等几何讲义第一章欧氏平面及仿射平面上的变换仿射坐标及仿射坐标变换ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等几何讲义第一章欧氏平面及仿射平面上的变换仿射坐标及仿射坐标变换ppt课件（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )主主 要要 内内 容容欧氏几何欧氏几何 仿射几何仿射几何 射影几何射影几何重点重点讨论共点性与共共点性与共线性性第二章：射影平面的定第二章：射影平面的定义，射影坐，射影坐标，交比，交比，调和共和共轭，对偶原理偶原理第三章：射影第三章：射影变换，包括透，包括透视、一、一维射射影影变换、直射、直射、对射、配极射、配极第四章：配极与二次曲第四章：配极与二次曲线、一、一维射影射影变换与二次曲与二次曲线、二次曲、二次曲线的射影分的射影分类第五章：用射影几何第五章：用射影几何实际建立其子几何建立其子几何 仿射几何、欧氏几何仿射几何、欧氏几何射射
2、影影几几何何第一章：欧氏平面及仿射平面上的第一章：欧氏平面及仿射平面上的变换，仿，仿 射坐射坐标及仿射坐及仿射坐标变换本本教教材材根根本本框框架架高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )1映射与映射与变换设有集合有集合 S 和和 S/，假，假设对 S 中每一元素中每一元素 M，按照确定的法那么按照确定的法那么 T，在，在 S/ 中中总存在独一元存在独一元素素 M/ 与之与之对应，那么称此法那么，那么称此法那么 T 为集合集合 S 到集合到集合 S/ 的映射，的映射，记为 T: SS/ (1.1)假假设在在 T 之下，元素之下，元素 M (S ) 的的对应元素是元素是 M/
3、 (S/ )，那么，那么说 T 将将 M 映成映成 M/，记为第一章第一章 变换群与几何学群与几何学_1 变换与与变换群群并称 M/ 为 M 在 T 之下的象，M 为 M/ 在 T 之下的原象M M/ T (M)，T高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群T(S)：集合 S 的全体元素在T之下的象的集合满射： T( S ) S /；单射： S 的不同元素的象元素也不同；双射：既是单射又是满射的映射术语商定：两个集合之间的双射称为对应；将集合到本身的双射称为变换几种常见变换例1恒等变换 假设变换T，将S上每一元素变到本身，即那么称为恒
4、等变换(或单位变换)，记为 IM T (M) M ， M S，T高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )OijxyMM/a1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群取直角标架O; i, j ， 设M( x, y)，M/( x/, y/)， a a1, a2，那么 Ta 的 坐标表达式为：简称为平移记为TaTa ：x/ x a1y/ y a2(1.2)例例2平移变换平移变换 将平面上的点将平面上的点 M 按定向量方向按定向量方向 a 挪动到点挪动到点 M/，使得，使得 M M/ a 的变换称为平移变换，的变换称为平移变换，高高 等等 几几 何何 ( Higher Geomet
5、ry )oijxyMM/ 1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群例例3旋旋转变换 对平面上固定点平面上固定点O和有向定角和有向定角，使原象点，使原象点 M 与象点与象点 M / 满足足 的点变换称为以 O 为中心的旋转变换，简称旋转，记为R 其表达式为：R ：x/ xcos ysiny/ xsin ycos(1.3)|OM/| |OM|，MOM/ 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例4镜射射变换 对平面上的定直平面上的定直线，使原象，使原象点点M与象点与象点M/之之间的的线段被段被 垂直平分的点垂直平分的点变换称称为以以 为轴的的镜射射变换，简称称镜射建立如射建
6、立如图坐坐标系，那么其表达式系，那么其表达式为：1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群OijxyMM/x/ xy/ yMox：(1.4)高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )ABCDEMA/E/B/C/D/M/ / 例例5平行射影平行射影 二平面二平面、 / 交于直交于直线 ，向量向量 与二平面都不平与二平面都不平行行对于于 上恣意点上恣意点M，过M作平行于作平行于 的直的直线，交交 /于于M/，那么将，那么将 M 映成映成 M/ 的点的点对应称称为平平面面 到平面到平面 / 的平行的平行射影，射影， 向量向量 为投射方向投射方向性性质：1将直将直线变成直成直线； 2
7、坚持平行性和平行持平行性和平行线段之比；段之比； 3对应点点连线平行，直平行，直线 上的点不上的点不变1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2映射的乘映射的乘积与逆与逆设点点 M 先用先用 R作用得到作用得到 M/，再用，再用 Ta 作用作用得到得到M/，那么由，那么由(1.3)和和(1.2)可得可得 M 到到 M/ 的的变换为：1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群x/ xcos ysin a1y/ xsin ycos a2我们称这种从M 到M/的变换为R和Ta的乘积，记为Ta 。 R (或Ta R)高高 等等 几几 何何 (
8、 Higher Geometry )普通地，设有映射 T1: SS/ 和 T2: S/S/，那么乘积 T2T1: S S/ 定义为对恣意 M S， T2T1(M) T2T1(M)结合律成立：T3(T2T1) (T3T2)T1但乘积普通不可换对于变换 T: S S，有 TT 1 T 1T I易知： Ta 1 Ta， TaTb Ta b； R 1 R，R R R 1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3不不动元素与不元素与不动子集子集对于于变换 T: S S ，假，假设存在元素存在元素 M S ，使，使 T(M) M，那么称，那么称
9、M 为此此变换的不的不动元素；元素；假假设存在存在 S 的子集的子集 F，使，使 T(F) F ，那，那么称么称 F 为此此变换的不的不动子集子集留意：留意： 1不不动元构成的子集是不元构成的子集是不动子集；但子集；但不不动子集的元素不一定是不子集的元素不一定是不动元元 如，与非零向量如，与非零向量 a 平行的直平行的直线都是平都是平移移 Ta 的不的不动直直线，但，但 Ta 无不无不动点点 2变换 T: S S 与与 T 1 有一有一样的的不不动子集子集1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )1 1 变换变换与与与与变换变换群群群
10、群解：解：设直直线 经此此镜射作用后的象射作用后的象为 /：Ax/ By/ C 0，将将变换式代入，得式代入，得 Ax By C 0 不不动 (即即 与与 / 重合重合) 的充要条件的充要条件为 A/A B/( B) C/C，此式等价于此式等价于2AB 2BC 0，即即 A 0，B 0，C 0 或或 A 0，B 0，故不故不动直直线的方程的方程为 y 0 和和 Ax C 0 ( A 0 )例例 求镜射变换求镜射变换 的不动直线的不动直线x/ xy/ y高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4变换群群假假设集合集合 S 上的某些上的某些变换构成的集合构成的集合 G 满足条
11、件：足条件： 1. G 中任二中任二变换的乘的乘积仍属于仍属于 G ； 2. G 中每一中每一变换 T 的逆的逆 T 1也属于也属于 G ， 那么称那么称 G 为集合集合 S 上的一个上的一个变换群群由定由定义知：任何知：任何变换群一定包含恒等群一定包含恒等变换可以可以证明：平面上明：平面上绕定点定点 O 的旋的旋转变换的的集合集合 G 是一个是一个变换群，称群，称为旋旋转群群记为 G1 只含恒等只含恒等变换的集合的集合 I 也是也是变换群群假假设二二变换群群 G*、G 满足足 G* G ，那么，那么称称 G*为 G 的子的子(变换)群群1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群高高 等等 几几
12、 何何 ( Higher Geometry )如：变换群 G 是其本身的子群，I是恣意变换群的子群可以证明：G* R0 I，R /2，R ，R3 /2是旋转群 G1 的非平凡子群(即真子群)1 1 变换变换与与与与变换变换群群群群高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2 仿射坐仿射坐标与仿射平面与仿射平面1仿射坐仿射坐标与仿射坐与仿射坐标变换平面上一定点 O 及二不共线向量 e1、e2 构成一个仿射标架，记为 O；e1，e2恣意点 M 的向径的分解式为：OxyMEyExe2e1a那么有序数对(x, y)称为点M关于标架 的仿射坐标OM xe1 ye2 (1)x, y也称
13、为向量 OM 的坐标(或分量)高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )显然，原点 O 的坐标是 (0, 0)；x 轴上的单位点为Ex(1, 0)； y 轴上的单位点为Ey(0, 1) 假设在平面上给定仿射标架，那么平面上全体点的集合与全体有序数对的集合有一一对应关系，故也说在平面上建立了一个仿射坐标系Oxy因此常直接称标架 O；e1，e2为仿射坐标系，O 称为坐标原点， e1 和 e2 称为根本向量习惯上，将建立了仿射坐标系的平面称为仿射平面2 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与仿射平面高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometr
14、y )仿射坐仿射坐标变换2 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与仿射平面OO/yxMe1e2e1/e2/调查 M 在 下的坐标 (x, y) 与在 / 下的坐标 (x/, y/) 之间的关系，即求仿射坐标变换式仿射平面上给定二仿射坐标系 O; e1, e2 和 / O/; e1/, e2/高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )设在 下，新原点及新根本向量的坐标分别为O/(a1, a2)，e1/ a11, a21，e2/ a12, a22，那么仿射坐标变换式为：写成矩阵方式，为2 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与
15、仿射平面x a11x/ a12y/ a1y a21x/ a22y/ a2，det(aij) 0 (2)x a11 a12 x/ a1y a21 a22 y/ a2，det(aij) 0 (2)/由(2)可得，向量在 下的坐标 u, v 与在 / 下的坐标 u/, v/ 之间的关系为：高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )故有 定理1 点的仿射坐标变换是满秩线性变换 定理2 向量的仿射坐标变换是满秩齐次线性变换特例：直角坐标变换2 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与仿射平面u = a11u/ a12v/v = a21u/ a22v/ ，det
16、(aij) 0 (3)OO/xyM y/x/e1/e2/e1e2记有向角e1, e1/ ，那么 e1/ a11, a21 cos, sin，e2/ a12, a22 sin, cos，高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与仿射平面代入(2)式即得平面解析几何中的直角坐标变换式：x x/cos y/sin a1y x/sin y/cos a2高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与仿射平面仿射平面上的几个常用仿射平面
17、上的几个常用结论过点 M0( x0, y0 )，平行于向量 u, v的直线 的方程为： (x x0)/u (y y0)/v， (1) 称为直线 的点向式方程u 0 时，可变形为：y kx b；其中，k v/u 称为直线的方向数； u 0 时，成为：x x0，商定其方向数为 上述分析阐明，直线方程总形如：Ax By C 0 (A，B不同时为0)，称为直线的普通式方程OxyMM0 e1e2高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )仿射平面上关于点与直仿射平面上关于点与直线的几个的几个结论：1. 二直二直线 (i)：Aix Biy Ci 0 (i 1,2) 相交相交 A1/A2
18、B1/B2； 平行平行 A1/A2 B1/B2 C1/C2； 重合重合 A1/A2 B1/B2 C1/C22 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与仿射平面直线的参数方程：x x0 uty y0 vt( t )且假设P3分线段P1P2成定比 ，那么 x3 (x1 x2)/(1 )，y3 (y1 y2)/(1 )2. 三点三点Pi(xi, yi) (i 1,2,3)共共线 x1 y1 1x2 y2 1 = 0，x3 y3 1 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )2 2 仿射坐仿射坐仿射坐仿射坐标标与仿射平面与仿射平面与仿射平面与仿射平面3. 三
19、直线三直线 (i)：Aix Biy Ci 0 (i 1, 2, 3) 共共点或点或平行的充要条件是：A1 B1 C1A2 B2 C2 0A3 B3 C3 注：以上注：以上结论与直角坐与直角坐标系下相系下相应结论一致；但一致；但特殊的直角坐特殊的直角坐标系下成立的系下成立的结论不能完全照搬到不能完全照搬到普通仿射坐普通仿射坐标系下系下高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换 1透透视仿射仿射变换uv *MNM/N/M*N*设平面 与 * 交于直线，取分别具有投射方向u，v 的两个平行射影 T1： *和 T2： *，那么乘积 T T2T1： 称
20、为 上的透视仿射变换高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换几何性几何性质： I. 将点将点变成点，将直成点，将直线变成直成直线； II. 坚持平行性和平行持平行性和平行线段之比；段之比； III. 对应点点连线平行；平行； IV. 交交线 上的点均上的点均为不不动点点对应点点连线所具有的固定方向称所具有的固定方向称为透透视方向；平方向；平面面 与与 * 交交线 称称为透透视仿射仿射轴(简称称轴)可以可以证明：一明：一对对应直直线与与轴这三条直三条直线或者三或者三线共点，或者三共点，或者三线平行平行定理定理1 轴和一和一对对应点决点决议独一
21、透独一透视仿射仿射变换 存在性易得独一性存在性易得独一性见后后图高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换A/M/M/AMBC2仿射仿射变换的定的定义及性及性质平面平面 上的点上的点变换 T: ，假，假设将直将直线变成直成直线，且，且坚持平行性和平行持平行性和平行线段之段之比，那么称比，那么称为仿射仿射变换根本性根本性质： 1同素性；同素性； 2结合性；合性； 3将向量将向量变成向量且成向量且坚持向量的持向量的线性性关系关系高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换假设 A、B、C 是共线三
22、点，那么 AC BC 称系数为A、B、C的简单比，记为 (ABC)； 称A、B为基点，C为分点 4仿射变换坚持共线三点的简单比设在给定仿射坐标系下，A(xA, yA)，B(xB, yB)，C(xC, yC)，那么 (ABC) (xC xA)/(xC xB) (yC yA)/(yC yB) 又 (xC xA)/(xC xB) (yC yA)/(yC yB) AC/BC 故简单比也可定义为：(ABC) AC/BC高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换例例 求求证：假：假设仿射仿射变换有两个不有两个不动点点 M 和和 N，那么直，那么直线 MN
23、上每一点都是此上每一点都是此变换的不的不动点点 证明：明：设 P 是直是直线 MN 上任一点，其在仿射上任一点，其在仿射变换下的象下的象为 P/，那么，那么 (PMN) (P/MN)， 即即 PN/MN P/N/MN 故故 P P/，即直，即直线 MN 上的点都是不上的点都是不动点点高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换3. 仿射仿射变换的表达式的表达式如如图，设Oe1e2e/1e/2ExMxEyMyE/xM/xE/yM/yO/x/y/xyM/MM(x, y) M/(x/, y/)TMx Mx/TT O O/ (a1, a2)My My/
24、Te1 OEx T O/Ex/ e1/ a11, a21e2 OEy T O/Ey/ e2/ a12, a22高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换故得仿射变换的表达式为：x/ a11x a12y a1y/ a21x a22y a2，det(aij) 0(2)T那么 OMx xOEx O/Mx/ xO/Ex/TOMy yOEy O/My/ yO/Ey/但 OM/ OO/ O/Mx/ O/My/， 即 OM/ OO/ xO/Ex/ yO/Ey/， (1) 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry ) 其矩阵方式为：于是有定
25、理2 在给定的仿射坐标系下，平面上的仿射变换是满秩线性变换反之，可证明满秩线性变换是仿射变换推论1 在仿射坐标系 = O; e1, e2 下，对仿射变换 (2) 而言, a11, a21 = e1/ , a12, a22 = e2/ 分别是 e1 , e2 的仿射象, O/(a1, a2) 是原点 O 的仿射象3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换x/ a11 a12 x a1y/ a21 a22 y a2，det(aij) 0 (2)/高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )推推论2 仿射仿射变换将仿射坐将仿射坐标系系变成仿射坐成仿射坐标系，系，且象点在象坐且象点在象坐标系下
26、的坐系下的坐标等于原象点在原坐等于原象点在原坐标系下的坐系下的坐标推推论3 代数曲代数曲线的次数在仿射的次数在仿射变换下不下不变留意：将仿射点留意：将仿射点变换(2)与与2的仿射坐的仿射坐标变换(2)比比较，可，可见二者在方式上均二者在方式上均为满秩秩线性性变换意味意味着，着，对满秩秩线性性变换可作两种不同解可作两种不同解释： 一、可了解一、可了解为在同一坐在同一坐标系下，点的坐系下，点的坐标与其仿射象点的坐与其仿射象点的坐标之之间的关系；的关系； 二、可看成在二不同坐二、可看成在二不同坐标系下，同一点的系下，同一点的不同坐不同坐标之之间的关系的关系按照上述思想，从向量的坐按照上述思想，从向量
27、的坐标变换式立刻得到式立刻得到3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )定理定理3 在仿射在仿射变换 (2) 下，假下，假设向量向量 u, v的象的象为 / u/, v/ ，那么，那么例例1 位似位似变换3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换Oxye1e21不动点：原点；2不动直线：过原点的直线；3不是透视仿射变换u/ a11u a12vv/ a21u a22v ，det(aij) 0 (3)x/ axy/ ay，a 0高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例2 伸伸缩变换不动点： x 轴上的一切点；不动直线：平行于 y
28、轴的一切直线以及 x 轴在直角坐标系下，圆 x2 y2 1 经其作用后变成椭圆 x/2 y/2/a2 1 问：伸缩变换是透视仿射变换吗？3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换OxyPP/e1e2x/ xy/ ay，a 0高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )Oyxe1e2PP/M M/y = y0例例3 推移推移变换不动点： x 轴上的一切点；不动直线：平行于 x 轴的一切直线问：伸缩变换是透视仿射变换吗？3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换x/ x ayy/ y，a 0高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4重要定理重要定理定理定理4 设 Pi(xi,
29、yi) 和和 Pi/(xi/, yi/) ( i 1, 2, 3)分分别是平面上不共是平面上不共线三点，那么存在独三点，那么存在独一仿射一仿射变换将将 Pi 映成映成 Pi/3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换证明：明：设仿射仿射变换为将 (xi, yi)(xi/, yi/)代入，得在上式的第一式中，令 i 1, 2, 3，得xi/ a11xi a12yi a1yi/ a21xi a22yi a2，(1)x/ a11x a12y a1y/ a21x a22y a2，det(aij) 0高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换因P1、P2 、P3
30、不共线，故因此方程组(2)有独一解a11, a12, a1，同理可求独一确定的a21, a22, a2再由(2)可得x1/ a11x1 a12y1 a1x2/ a11x2 a12y2 a1x3/ a11x3 a12y3 a1，(2)x1 y1 1x2 y2 1 0，x3 y3 1 x2/ x1/ y2/ y1/x3/ x1/ y3/ y1/x2 x1 y2 y1x3 x1 y3 y1a11 a21a12 a22， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换因P1/、P2/、P3/不共线，故 故定理成立推论1 仿射变换是透视仿射变换 该仿射变换
31、有一条由不动点构成的直线推论2 仿射变换是恒等变换 该仿射变换有不共线三不动点x2/ x1/ y2/ y1/x3/ x1/ y3/ y1/ 0 从而， 0a11 a21a12 a22 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )定理定理5 非透非透视的仿射的仿射变换可可经过至多三次透至多三次透视仿射仿射变换来来实现 定理定理5的的证明思明思绪： 设 A、B、C 是仿射是仿射变换 T 的三不共的三不共线的非的非不不动点，其点，其对应点依次点依次为 A/、B/、C/3 3 仿射仿射仿射仿射变换变换A/B/C2A/B1C1ABCA/B/C/定理定理6 平面上全体仿射平面上全体仿射变
32、换的集合构成一个的集合构成一个变换群，称群，称为仿射群仿射群记为G6T1 T2 T3高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换1. 保距保距变换的定的定义及表达式及表达式建立了直角坐建立了直角坐标系的平面称系的平面称为欧氏平面欧氏平面欧式平面上，欧式平面上，坚持持间隔不隔不变的仿射的仿射变换称称为保距保距变换(或正交或正交变换)x/ a11 a12 x a1y/ a21 a22 y a2，det(aij) 0T：是保距变换 A (aij)是正交矩阵定理定理1 直角坐标系下，仿射变换：直角坐标系下，仿射变
33、换：证明：明：设在仿射在仿射变换 T 作用下作用下 v v1, v2 变成成 v/ v1/, v2/高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )由于 (v1/ v2/) (v1 v2) AT，从而对恣意向量 v，v/2 v2 的充要条件是 ATA E，等价于 A1 AT注：正交条件注：正交条件 A1 AT 用矩用矩阵元素表示元素表示为： a112 a212 a122 + a222 1， a11a12 a21a22 0 也等价于：也等价于： a112 a122 a212 a222 1， a11a21 a12a22 0 正交条件也可描画正交条件也可描画为：矩：矩阵的两个行向量的两
34、个行向量单位正位正交，或二列向量交，或二列向量单位正交位正交利用上述代数条件不利用上述代数条件不难得出下面的得出下面的结论：4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换 (v1 v2) ATA v1v2故 v/2 (v1/ v2/)v1/v2/高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例 将点将点(0, 1)，(2, 0)分分别变成成(1, 0)，(0, 2)的的保距保距变换能否存在？假能否存在？假设存在，写出存在，写出变换式式 解：假定保距解：假定保距变换存在，存在，设为4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换
35、x/ cos sin x a1y/ sin cos y a2定理定理2 直角坐标系下，保距变换可表示为：直角坐标系下，保距变换可表示为：其中，定角 ( , x/ a11 a12 x a1y/ a21 a22 y a2 1 a11 a12 0 a1 0 a21 a22 1 a2那么， 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换且0 a11 a12 2 a12 a21 a22 0 a2， 由此得a12 a1 1 (1)a22 a2 0 (2)2a11 a1 0 (3)2a21 a2 2 (4)a112 a1
36、22 1 (5)a212 a222 1 (6)a11a21 a12a22 0 (7)由(1)、(3)、(5)解得a1 0a11 0a12 1a1 8/5a11 4/5a12 3/5或高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换故所求保距变换存在，为由(2)、(4)、(6)解得a2 0a22 0a21 1a2 4/5a22 4/5a21 3/5或a1 0a11 0a12 1a2 0a22 0a21 1a1 8/5a11 4/5a12 3/5a2 4/5a22 4/5a21 3/5由(7)得或x/ 4/5 3
37、/5 x 8/5y/ 3/5 4/5 y 4/5x/ 0 1 x y/ 1 0 y或 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换2. 保距保距变换的的实现定理定理3 行列式行列式为 1的非恒等保距的非恒等保距变换是是旋旋转与平移的乘与平移的乘积 证明：容易看到，保距明：容易看到，保距变换的乘积即 T TaR x/ cos sin x a1y/ sin cos y a2T : R：x/ xcos ysiny/ xsin ycos是旋转与平移 Ta ：x/ x/ a1y/ y/ a2高高 等等 几几 何何
38、( Higher Geometry )4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换定理定理4 行列式行列式为 1的非恒等保距的非恒等保距变换是旋是旋转、镜射和平移的乘射和平移的乘积 证明：保距明：保距变换的乘积即 T Ta Rox R()x/ cos sin x a1y/ sin cos y a2T : x/ xcos() ysin()y/ xsin() ycos()是旋转R()：镜射 Mox：x/ x/ y/ y/与平移 Ta ：x/ x/ a1y/ y/ a2高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平
39、面和保距欧氏平面和保距变换变换行列式为 1的保距变换称为正运动；行列式为 1的保距变换称为反运动3. 保距变换的性质定理5 保距变换坚持向量内积不变 证明：设在保距变换下， u1, u2 u1/, u2/，v1, v2 v1/, v2/， 那么 (u1 u2) ATA v1v2 u1v1 u2v2v1v2 (u1, u2) u1/v1/ u2/v2/ (u1/, u2/)v1/v2/ 高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )4 4 欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距欧氏平面和保距变换变换定理定理6 保距保距变换坚持向量持向量夹角不角不变推推论 保距保距变换坚持面持
40、面积不不变定理定理7 仿射仿射变换是保距是保距变换 它将直角坐它将直角坐标系系变成直角坐成直角坐标系系定理定理8 平面上全体保距平面上全体保距变换的集合构成一个的集合构成一个变换群，称群，称为欧氏群欧氏群(或运或运动群群)记为G3易易证：全体正运：全体正运动的集合构成群，称的集合构成群，称为正运正运动群群显然，正运然，正运动群是欧氏群的子群，而欧氏群是群是欧氏群的子群，而欧氏群是仿射群的子群仿射群的子群高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )5 几何学与几何学与变换群的关系群的关系1Klein观念引念引见假假设给定集合定集合 S 和和 S 上的一个上的一个变换群群 G，那
41、么称配那么称配对( S, G )为空空间假假设对 S 中的中的图形形 F 和和 F/，存在，存在 G 的的变换 T，使，使 F 变成成 F/，那么称，那么称 F 和和 F/ 有关系，有关系，记为 F/ F利用近世代数知利用近世代数知识不不难证明明 引理引理 上述上述图形形间的关系的关系“ 是等价关系是等价关系由此可按照等价关系由此可按照等价关系“ 对 S 的的图形形进展展分分类：等价：等价图形属于同一形属于同一类，不等价，不等价图形属形属于不同于不同类每一等价每一等价类中各中各图形所共有的性形所共有的性质和量和量为在在群群 G的的变换下的不下的不变性性质和不和不变量量高高 等等 几几 何何 (
42、 Higher Geometry )5 几何学与几何学与变换群的关系群的关系对于空间( S, G )而言，研讨图形关于群 G 下的不变性质、不变量和图形分类的一切命题的集合，称为集合 S 上群 G 附属的几何学假设集合 S 上的群 G* 是 G 的子群，那么称 G* 附属的几何是 G 附属的几何的子几何显然，群所含变换越少，不变性质和不变量就越多，从而其所附属的几何学包含的内容就多2变换群与几何学平面上欧氏群附属的几何学称为欧氏平面几何平面上仿射群附属的几何学称为仿射几何高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )5 几何学与几何学与变换群的关系群的关系按照Klein观念，变
43、换群与几何学的关系如下：对于给定的空间，不同的变换群附属不同的几何学，它研讨图形在此变换群下的不变性质、不变量和图形分类如仿射几何研讨的平行性、同素性、结合性是仿射不变性质，简单比是其不变量而欧氏群附属的欧氏几何研讨的长度、角度、面积是其不变性质，简单比、间隔是其不变量由于欧氏群是仿射群的子群，故欧氏几何是仿射几何的子几何而后面将学习的射影几何那么是比仿射几何更大的几何高高 等等 几几 何何 ( Higher Geometry )例例1 以下以下图形在仿射形在仿射变换下的下的对应图形是什么？形是什么？ 平行四平行四边形；梯形；等腰三角形；二全等的矩形；梯形；等腰三角形；二全等的矩形形例例2 以下几何量和性以下几何量和性质是哪种是哪种(最大的最大的)几何学几何学讨论的的对象？象？ 线段的段的长度；两直度；两直线所成的角；离心率；平行所成的角；离心率；平行线段之比；三角形面段之比；三角形面积；平行；垂直；平行四；平行；垂直；平行四边形形对角角线相互平分相互平分例例3 仿射仿射变换下，正方形有哪些性下，正方形有哪些性质不不变？其仿？其仿射象是什么射象是什么图形？形？ 例例4 “三角形重心与三角形重心与“二相互垂直直二相互垂直直线的仿射的仿射象各是什么？象各是什么？ 5 几何学与几何学与变换群的关系群的关系
