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1、第五章第五章 时间序列模型时间序列模型 关关于于标标准准回回归归技技术术及及其其预预测测和和检检验验我我们们已已经经在在前前面面的的章章节节讨讨论论过过了了，本本章章着着重重于于时时间间序序列列模模型型的的估估计计和和定定义义，这这些些分分析析均均是是基基于于单单方方程程回回归归方方法法，第第9章章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。 这这一一部部分分属属于于动动态态计计量量经经济济学学的的范范畴畴。通通常常是是运运用用时时间间序序列列的的过过去去值值、当当期期值值及及滞滞后后扰扰动动项项的的加加权权和和建立模型，来建立模型，来“解释解释”时间序列的变化
2、规律。时间序列的变化规律。 15.15.1 序列相关理论序列相关理论序列相关理论序列相关理论 第第3章章在在对对扰扰动动项项ut的的一一系系列列假假设设下下，讨讨论论了了古古典典线线性性回回归归模模型型的的估估计计、检检验验及及预预测测问问题题。如如果果线线性性回回归归方方程程的的扰扰动动项项ut 满满足足古古典典回回归归假假设设，使使用用OLS所所得得到到的的估估计计量是线性无偏最优的。量是线性无偏最优的。 但但是是如如果果扰扰动动项项ut不不满满足足古古典典回回归归假假设设，回回归归方方程程的的估估计计结结果果会会发发生生怎怎样样的的变变化化呢呢？理理论论与与实实践践均均证证明明，扰扰动动
3、项项ut关关于于任任何何一一条条古古典典回回归归假假设设的的违违背背，都都将将导导致致回回归归方方程程的的估估计计结结果果不不再再具具有有上上述述的的良良好好性性质质。因因此此，必必须须建建立立相相关关的的理理论论，解解决决扰扰动动项项不不满满足足古古典典回回归归假假设设所所带带来的模型估计问题。来的模型估计问题。 25.1.15.1.1 序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果序列相关及其产生的后果 对于线性回归模型对于线性回归模型 (5.1.1) 随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为随机扰动项之间不相关，即无序列相关的基本假设为 (5.1.2) 如果扰动
4、项序列如果扰动项序列ut表现为：表现为： (5.1.3)即即对对于于不不同同的的样样本本点点，随随机机扰扰动动项项之之间间不不再再是是完完全全相相互互独独立立的的，而而是是存存在在某某种种相相关关性性，则则认认为为出出现现了了序序列列相相关关性性(serial correlation)。 3 EViews提提供供了了检检测测序序列列相相关关和和估估计计方方法法的的工工具具。但但首首先先必必须须排排除除虚虚假假序序列列相相关关。虚虚虚虚假假假假序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是指指指指模模模模型型型型的的的的序序序序列列列列相相相相关关关关是是是是由由由由于于于于省省省省略略略略了了了了显
5、显显显著著著著的的的的解解解解释释释释变变变变量量量量而而而而引引引引起起起起的的的的。例例如如，在在生生产产函函数数模模型型中中，如如果果省省略略了了资资本本这这个个重重要要的的解解释释变变量量，资资本本对对产产出出的的影影响响就就被被归归入入随随机机误误差差项项。由由于于资资本本在在时时间间上上的的连连续续性性，以以及及对对产产出出影影响响的的连连续续性性，必必然然导导致致随随机机误误差差项项的的序序列列相相关关。所所以以在在这这种种情情况况下下，要要把把显显著的变量引入到解释变量中。著的变量引入到解释变量中。5.1.25.1.2 序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列相关的检验方法序列
6、相关的检验方法 4 EViews提供了以下提供了以下3种检测序列相关的方法。种检测序列相关的方法。 1 1D_WD_W统计量检验统计量检验统计量检验统计量检验 Durbin-Watson 统统计计量量（简简称称D_W统统计计量量）用用于于检检验验一一阶阶序序列列相相关关，还还可可估估算算回回归归模模型型邻邻近近残残差差的的线线性性联联系。对于扰动项系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：建立一阶自回归方程： (5.1.6)D_W统计量检验的统计量检验的原假设：原假设：原假设：原假设： = 0 = 0，备选假设是，备选假设是，备选假设是，备选假设是 0 0。 5 DubinDubin- -Wast
7、onWaston统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足：统计量检验序列相关有三个主要不足： 1D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2回回归归方方程程右右边边如如果果存存在在滞滞后后因因变变量量，D-W检检验验不不再有效。再有效。 3仅仅检验是否存在一阶序列相关。仅仅检验是否存在一阶序列相关。 其他两种检验序列相关方法：其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和统计量和Breush-Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。检验克服了上述不足，应用于大多数场合。 6 2
8、. 2 . 相关图和相关图和相关图和相关图和Q Q - - - -统计量统计量统计量统计量 1. 1. 自相关系数自相关系数自相关系数自相关系数 时间序列时间序列ut滞后滞后k阶的自相关系数由下式估计阶的自相关系数由下式估计 （5.2.26）其其中中 是是序序列列的的样样本本均均值值，这这是是相相距距k期期值值的的相相关关系系数数。称称rk为为时时间间序序列列ut的的自自相相关关系系数数，自自相相关关系系数数可可以以部部分分的的刻刻画画一一个个随随机机过过程程的的性性质质。它它告告诉诉我我们们在在序序列列ut的的邻邻近近数数据据之之间间存在多大程度的相关性。存在多大程度的相关性。 7 2 2偏
9、自相关系数偏自相关系数偏自相关系数偏自相关系数 偏偏自自相相关关系系数数是是指指在在给给定定ut-1，ut-2，ut-k-1的的条条件件下下，ut与与ut-k之之间间的的条条件件相相关关性性。其其相相关关程程度度用用偏偏自自相相关关系系数数 k,k度量。在度量。在k阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 （5.2.27）其中：其中：rk 是在是在k阶滞后时的自相关系数估计值。阶滞后时的自相关系数估计值。 （5.2.28）这是偏相关系数的一致估计。这是偏相关系数的一致估计。8 我我们们还还可可以以应应用用所所估估计计回回归归方方程程残残差差序序列列的的自自相相关
10、关和和偏偏自自相相关关系系数数（在在本本章章5.2.4节节给给出出相相应应的的公公式式），以以及及Ljung-Box Q-统统计计量量来来检检验验序序列列相相关关。Q-统统计计量量的的表表达式为：达式为： (5.1.7)其中：其中：rj是残差序列的是残差序列的 j 阶自相关系数，阶自相关系数，T是观测值的个数，是观测值的个数，p是设定的滞后阶数是设定的滞后阶数 。p阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的原假设是：原假设是：原假设是：原假设是：序列不存在序列不存在序列不存在序列不存在p p阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为：序列存在阶自相关；备选假设为
11、：序列存在p p阶自相关阶自相关阶自相关阶自相关。9 在在在在EViewsEViews软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法： 在在方方程程工工具具栏栏选选择择View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics。EViews将将显显示示残残差差的的自自相相关关和和偏偏自自相相关关函函数数以以及及对对应应于于高高阶阶序序列列相相关关的的Ljung-Box Q统统计计量量。如如如如果果果果残残残残差差差差不不不不存存存存在在在在序序序序列列列列相相相相关关关关，在在在在各各各各阶阶阶阶滞滞滞滞后后后后的的的的自自自自相相相相关关
12、关关和和和和偏偏偏偏自自自自相相相相关关关关值值值值都都都都接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的接近于零。所有的Q-Q-统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的统计量不显著，并且有大的P P值值值值。10例例例例5.1: 5.1: 利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性利用相关图检验残差序列的相关性 考虑美国的一个投资方程。美国的考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人总和国内私人总投资投资INV是单位为是单位为10亿美元的名义值，价格指数亿美元的名义值，价格指数P为为GNP的的平减指数平减指
13、数（1972=100），），利息率利息率R为半年期商业票据利息。为半年期商业票据利息。回归方程所采用的变量都是实际回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资；它们是和实际投资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值表示。实际利息率的近似值r则是通过贴现率则是通过贴现率R减去价减去价格指数变化率格指数变化率p得到的。样本区间：得到的。样本区间：1963年年1984年，建立年，建立如下线性回归方程：如下线性回归方程： t = 1, 2, , T 11应用最小二乘法得到的估计方程如下应用最小二乘法
14、得到的估计方程如下： t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94 12 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内，则在显著水平为果自相关值在这个区域内，则在显著水平为5%的情形下与零没有显的情形下与零没有显著区别。著区别。 本例本例1阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数和偏自相关系数都超出了虚线，说明存在1阶序列相关。阶序列相关。1阶滞后的阶滞后的Q-统计量的统计量的P值很小，拒绝原假设，残差序列值很小，拒绝原假设，残差序列存在一阶序列相关。
15、存在一阶序列相关。 选择选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下结果：会产生如下结果： 133 . 3 . 序列相关的序列相关的序列相关的序列相关的LMLM检验检验检验检验 与与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同，同，Breush-Godfrey LM检验（检验（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后差序列是否存在高阶自相关，而且在方程中存在滞后
16、因变量的情况下，因变量的情况下，LM检验仍然有效。检验仍然有效。 LMLM检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到检验原假设为：直到p p阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，阶滞后不存在序列相关，p p为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在为预先定义好的整数；备选假设是：存在p p阶自相关。阶自相关。阶自相关。阶自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。检验统计量由如下辅助回归计算。 14 （1）估计回归方程，并求出残差）估计回归方程，并求出残差et (5.1.8) （2）检验统计量可
17、以基于如下回归得到检验统计量可以基于如下回归得到 (5.1.9) 这是对原始回归因子这是对原始回归因子Xt 和直到和直到p阶的滞后残差的回归。阶的滞后残差的回归。LMLM检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：检验通常给出两个统计量：F F统计量和统计量和统计量和统计量和T T R R2 2统计量统计量统计量统计量。F统计量是对式（统计量是对式（5.1.9）所有滞后残差联合显著性的一种检）所有滞后残差联合显著性的一种检验。验。TR2统计量是统计量是LM检验统计量，是观测值个数检验统计量，是观测值个数T乘以回乘以回归方程（归方程（5.1.9）的）的R2。一般情况下
18、，一般情况下，TR2统计量服从渐进统计量服从渐进的的 2(p) 分布。分布。 15 在在在在E EViewView软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法：软件中的操作方法： 选选择择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一一般般地地对对高高阶阶的的，含含有有ARMA误误差差项项的的情情况况执执行行Breush-Godfrey LM。在在滞滞后后定定义义对对话话框框，输输入入要要检检验验序列的最高阶数。序列的最高阶数。16 LM统计量显统计量显示，在示，在5%的显的显著性水平拒绝原著性水平拒绝原假设，回归方程假设，回归方程的残
19、差序列存在的残差序列存在序列相关性。因序列相关性。因此，回归方程的此，回归方程的估计结果不再有估计结果不再有效，必须采取相效，必须采取相应的方式修正残应的方式修正残差的自相关性。差的自相关性。 例例例例5.15.1( ( ( (续续续续) ) ) ) 序列相关序列相关序列相关序列相关LMLM检验检验检验检验17 例例例例5.2: 5.2: 含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验含滞后因变量的回归方程扰动项序列相关的检验 考考虑虑美美国国消消费费CS 和和GDP及及前前期期消消费费之之间间的的关关系系，数数据
20、据期期间间：1947年年第第1季季度度1995年年第第1季季度度，数数据据中中已已消消除除了了季节要素，建立如下线性回归方程：季节要素，建立如下线性回归方程： t = 1, 2, , T 应用最小二乘法得到的估计方程如下：应用最小二乘法得到的估计方程如下： t = ( 1.93) (3.23) (41.24) R2=0.999 D.W.=1.605 18 如如果果单单纯纯从从显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度及及D.W.值值来来看看，这这个个模模型型是是一一个个很很理理想想的的模模型型。但但是是，由由于于方方程程的的解解释释变变量量存存在在被被解解释释变变量量的的一一阶阶滞滞后后项项，那那
21、么么 D.W.值值就就不不能能作作为为判判断断回回归归方方程程的的残残差差是是否否存存在在序序列列相相关关的的标标准准，如如果果残残差差序序列列存存在在序序列列相相关关，那那么么，显显著著性性水水平平、拟拟合合优优度度和和F统统计计量量将将不不再再可可信信。所所以以，必必须须采采取取本本节节中中介介绍绍的的其其他他检检验验序序列列相相关关的的方方法法检检验验残残差差序序列列的的自自相相关关性性。这这里采用里采用 LM 统计量进行检验统计量进行检验(p=2)，得到结果如下得到结果如下： LM统统计计量量显显示示，回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列相关性。列相关性。 1
22、9 下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下：下面给出残差序列的自相关系数和偏自相关系数，相关图如下： 本例本例13阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在阶的自相关系数都超出了虚线，说明存在3阶序列相关。阶序列相关。各阶滞后的各阶滞后的Q-统计量的统计量的P值都小于值都小于5%，说明在，说明在5%的显著性水平下，的显著性水平下，拒绝原假设，残差序列存在序列相关。拒绝原假设，残差序列存在序列相关。 20 5.1.3 5.1.3 扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的扰动项存在序列相关的 线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正线性回归方程的估计与修正线性
23、回归方程的估计与修正 线线性性回回归归模模型型扰扰动动项项序序列列相相关关的的存存在在，会会导导致致模模型型估估计计结结果果的的失失真真。因因此此，必必须须对对扰扰动动项项序序列列的的结结构构给给予予正正确确的的描描述述，以以期期消消除除序序列列相相关关对对模模型型估估计计结结果果带带来来的的不不利影响。利影响。 通通常常可可以以用用AR(p) 模模型型来来描描述述一一个个平平稳稳序序列列的的自自相相关的结构，定义如下：关的结构，定义如下： (5.1.10) (5.1.11)21 其其中中：ut 是是无无条条件件扰扰动动项项，它它是是回回归归方方程程（5.1.10）的的扰扰动动项项，参参数数
24、0， 1， 2， k 是是回回归归模模型型的的系系数数。式式（5.1.11）是是扰扰动动项项ut的的 p 阶阶自自回回归归模模型型，参参数数 1， 2， p 是是 p 阶阶自自回回归归模模型型的的系系数数， t 是是无无条条件件扰扰动动项项ut自自回回归归模模型型的的误误差差项项，并并且且是是均均值值为为0，方方差差为为常常数数的的白白噪噪声声序序列列，它它是是因因变变量量真真实实值值和和以以解解释释变变量量及及以以前前预预测测误误差为基础的预测值之差。差为基础的预测值之差。 下下面面将将讨讨论论如如何何利利用用AR(p) 模模型型修修正正扰扰动动项项的的序序列列相相关关，以以及及用用什什么么
25、方方法法来来估估计计消消除除扰扰动动项项后后方方程程的的未未知知参数。参数。 22 1 1修正一阶序列相关修正一阶序列相关修正一阶序列相关修正一阶序列相关 最最简简单单且且最最常常用用的的序序列列相相关关模模型型是是一一阶阶自自回回归归AR(1)模模型型。为为了了便便于于理理解解，先先讨讨论论一一元元线线性性回回归归模模型型，并并且且具具有有一一阶序列相关的情形，即阶序列相关的情形，即p = 1的情形：的情形： (5.1.12) (5.1.13)把式（把式（5.1.13）带入式（）带入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14)23 2 2修正高阶序列相关修正高阶序列相关修正高阶序列相关
26、修正高阶序列相关 通通常常如如果果残残差差序序列列存存在在p阶阶序序列列相相关关，误误差差形形式式可可以以由由AR(p)过过程程给给出出。对对于于高高阶阶自自回回归归过过程程，可可以以采采取取与与一一阶阶序序列列相相关关类类似似的的方方法法，把把滞滞后后误误差差逐逐项项代代入入，最最终终得得到到一一个个误误差差项项为为白白噪噪声声序序列列，参参数数为为非非线线性性的的回回归归方方程程，并并且采用且采用Gauss-Newton迭代法求得非线性回归方程的参数。迭代法求得非线性回归方程的参数。 24 3. 3. 在在在在EviewsEviews中的操作：中的操作：中的操作：中的操作： 打打开开一一个
27、个方方程程估估计计窗窗口口，输输入入方方程程变变量量，最最后后输输入入ar(1) ar(2) ar(3)。针对例针对例5.2定义方程为：定义方程为： 25 需需要要注注意意的的是是，输输入入的的ar(1) ar(2) ar(3) 分分别别代代表表3个个滞滞后后项项的的系系数数，因因此此，如如果果我我们们认认为为扰扰动动项项仅仅仅仅在在滞滞后后2阶和滞后阶和滞后4阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即阶存在自相关，其他滞后项不存在自相关，即则估计时应输入：则估计时应输入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4) EViews在在消消除除序序列列相相关关时时给给予予很很大大灵灵活活
28、性性，可可以以输输入入模模型型中中想想包包括括的的各各个个自自回回归归项项。例例如如，如如果果有有季季度度数数据据而而且且想想用用一一个个单单项项来来消消除除季季节节自自回回归归，可可以以输输入入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 26 例例例例5.3 5.3 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（模型修正回归方程残差序列的自相关（1 1） 例例5.1中中检检验验到到美美国国投投资资方方程程的的残残差差序序列列存存在在一一阶阶序序列列相相关。这里将采用关。这里将采用AR(1)模型来修正投资方
29、程的自相关性：模型来修正投资方程的自相关性： t = 1, 2, , T 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下： t = (-1.21) （95.71） t = (2.65) R2= 0.86 D.W. = 1.52 27 再对新的残差序列进行再对新的残差序列进行LM检验检验(p=2)，最终得到的检最终得到的检验结果如下：验结果如下： 检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残检验结果不能拒绝原假设，即修正后的回归方程的残差序列不存在序列相关性。因此，用差序列不存在序列相关性。因此，用AR(1)模型修正后的回模型修正后的回归方程的估计结果是有效的。归方程的估计结果是有效的。 28例例例例
30、5.4 5.4 用用用用AR(p)AR(p)模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关模型修正回归方程残差序列的自相关 例例5.2中中检检验验到到带带有有滞滞后后因因变变量量的的回回归归方方程程的的残残差差序序列列存存在在明明显显的的序序列列自自相相关关。而而且且从从相相关关图图看看到到，可可以以采采用用AR(3) 模型来修正回归方程的自相关性。模型来修正回归方程的自相关性。 回归估计的结果如下：回归估计的结果如下： 29 模型建立如下：模型建立如下： t = (-3.9) (7.29) （13.54） t = (4.85) (3.07)
31、（3.03） R2=0.999 D.W=1.94 30 再对新的残差序列再对新的残差序列 进行进行LM检验，最终得到的检验结果如下：检验，最终得到的检验结果如下： 给出纠正后的残差序列的给出纠正后的残差序列的Q-统计量和序列相关图，在直观上认识统计量和序列相关图，在直观上认识到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。到消除序列相关后的残差序列是一个随机扰动序列。 31 对对于于简简单单AR(1)模模型型， 是是无无条条件件残残差差的的序序列列相相关关系系数数。对对于于平平稳稳AR(1)模模型型， 在在-1（极极端端负负序序列列相相关关）和和+1（极极端端正正序序列列相相关关）之之间间。一一
32、一一般般般般AR(AR(p p) )平平平平稳稳稳稳条条条条件件件件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。 EViews在回归输出的底部给出这些根：在回归输出的底部给出这些根：Inverted AR Roots。如果存在虚根，根的模应该小于如果存在虚根，根的模应该小于1。 32 另另外外：EViews可可以以估估计计带带有有AR误误差差项项的的非非非非线线线线性性性性回回回回归模型归模型归模型归模型。 例例如如：将将例例5.4中中的的模模型型变变为为如如下下的的非非线线性性
33、模模型型，估估计如下带有附加修正项计如下带有附加修正项AR(3)的非线性方程：的非线性方程： 用公式法输入：用公式法输入： cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ arar(1)=c(4),(1)=c(4), arar(2)=c(5),(2)=c(5), arar(3)=c(6)(3)=c(6)33 输出结果显示为：输出结果显示为：34 5.2 5.2 平稳时间序列建模平稳时间序列建模平稳时间序列建模平稳时间序列建模 本本节节将将不不再再仅仅仅仅以以一一个个回回归归方方程程的的扰扰动动项项序序列列为为研研究究对对象象，而而是是直直接接讨讨论论一一个个平平稳稳时时间间序序列列的
34、的建建模模问问题题。在在现现实实中中很很多多问问题题，如如利利率率波波动动、收收益益率率变变化化及及汇汇率率变变化化等等通通常常是是一一个个平平稳稳序序列列，或或者者通通过过差差分分等等变变换可以化成一个平稳序列。换可以化成一个平稳序列。 本本 节节 中中 介介 绍绍 的的 ARMA模模 型型 (autoregressive moving average models)可可以以用用来来研研究究这这些些经经济济变变量量的的变变化化规规律律，这这样样的的一一种种建建模模方方式式属属于于时时间间序序列列分分析析的的研究范畴。研究范畴。 35 如果随机过程如果随机过程 的均值和方差、自协方差都不取决于
35、的均值和方差、自协方差都不取决于 t，则称则称 ut 是协方差平是协方差平稳的或弱平稳的：稳的或弱平稳的： 注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则 ut 与与 ut- s 之之间的协方差仅取决于间的协方差仅取决于s ，即仅与观测值之间的间隔长度即仅与观测值之间的间隔长度s有有关，而与时期关，而与时期t 无关。一般所说的无关。一般所说的“平稳性平稳性”含义就是上述含义就是上述的弱平稳定义。的弱平稳定义。 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 对所有的对所有的 t 和和 s (5.2.1)(5.2.2)(5.2.3) 5.2.1 5.2.1 平稳时间序列的概
36、念平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念平稳时间序列的概念 36 5.2.2 5.2.2 ARMAARMA模型模型模型模型 1. 1. 自回归模型自回归模型自回归模型自回归模型AR(AR(p p) ) p 阶自回归模型记作阶自回归模型记作AR(p)，满足下面的方程：满足下面的方程： (5.2.4)其其中中：参参数数 c 为为常常数数； 1 , 2 , p 是是自自回回归归模模型型系系数数；p为为自自回回归归模模型型阶阶数数； t 是是均均值值为为0，方方差差为为 2 的的白白噪噪声声序列。序列。 37 2. 2. 移动平均模型移动平均模型移动平均模型移动平均模型MA(MA(q q) ) q 阶阶
37、移移动动平平均均模模型型记记作作MA(q) ，满满足足下下面面的的方方程：程： (5.2.5)其其中中：参参数数 为为常常数数；参参数数 1 , 2 , q 是是 q 阶阶移移动动平平均均模模型型的的系系数数； t 是是均均值值为为0，方方差差为为 2的的白白噪噪声序列。声序列。 38 3. 3. ARMA(ARMA(p p, ,q q) )模型模型模型模型 (5.2.6) 显显然然此此模模型型是是模模型型(5.2.4)与与(5.2.5)的的组组合合形形式式，称称为为混混合合模模型型，常常记记作作ARMA(p,q)。当当 p=0 时时，ARMA(0, q) = MA(q)；当当q = 0时，时
38、，ARMA(p, 0) = AR(p)。39 5.2.3 5.2.3 ARMAARMA模型的平稳性模型的平稳性模型的平稳性模型的平稳性 1. 1. AR(AR(p p) )模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件 为为了了理理解解AR(p)、MA(q)和和ARMA(p,q)模模型型的的理理论论结结构构，简单的算子理论是必不可少的。对于简单的算子理论是必不可少的。对于AR(p)模型模型 (5.2.7) 设设L为为滞滞后后算算子子，则则有有Lut ut-1, Lput ut-p，特特别别地地， L0ut ut。则式（则式（5.2.7）可以改写为：）可以改写为： (5.2.8
39、)40若设若设 (L) 1 - 1 L - 2 L2 - - p Lp ，令令 (5.2.9)则则 (z) 是是一一个个关关于于z的的p次次多多项项式式，AR(AR(p p) ) 模模模模型型型型平平平平稳稳稳稳的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件是是是是 ( (z z) ) 的的的的根根根根全全全全部部部部落落落落在在在在单单单单位位位位圆圆圆圆之之之之外外外外。式式(5.2.7)可可以以改改写为滞后算子多项式的形式写为滞后算子多项式的形式 可可以以证证明明如如果果AR(p)模模型型满满足足平平稳稳性性条条件件，则则式式(5.2.10)可可以以表表示示为为MA( )的的形形式式，从从而而
40、可可以以推推导导出出来来任任何一个何一个AR(p)模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。模型均可以表示为白噪声序列的线性组合。 (5.2.10)41 2 2MA(MA(q q) ) 模型的可逆性模型的可逆性模型的可逆性模型的可逆性 考察考察MA(q) 模型模型 若若 的的的的根根根根全全全全部部部部落落落落在在在在单单单单位位位位圆圆圆圆之之之之外外外外，则则则则式式式式(5.2.16)(5.2.16)的的的的MAMA算算算算子子子子称称称称为为为为可可可可逆逆逆逆的的的的。尽尽管管不不可可逆逆时时也也可可以以表表征征任任何何给给定定的的数数据据，但但是是一一些些参数估计和预测算法只有在使用可
41、逆表示时才有效。参数估计和预测算法只有在使用可逆表示时才有效。(5.2.16)42 3 3ARMA(ARMA(p p, ,q q) ) 模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件模型的平稳性条件 ARMA(p,q) 模模型型包包括括了了一一个个自自回回归归模模型型AR(p)和和一一个个移移动平均模型动平均模型MA(q) 或者以滞后算子多项式的形式表示或者以滞后算子多项式的形式表示 (5.2.19)(5.2.20)43若令若令则则ARMA(ARMA(p p, ,q q) )模模模模型型型型(5.2.19)(5.2.19)平平平平稳稳稳稳的的的的充充充充要要要要条条条条件件件件是是是是 (
42、(z z) ) 的的的的根根根根全部落在单位圆之外全部落在单位圆之外全部落在单位圆之外全部落在单位圆之外。(5.2.21) ARMA模模型型构构造造了了一一种种更更为为复复杂杂的的白白噪噪声声序序列列的的线线性性组组合合，近近似似逼逼近近一一个个平平稳稳序序列列。可可可可以以以以看看看看出出出出ARMAARMA模模模模型型型型的的的的平平平平稳稳稳稳性性性性完完完完全全全全取取取取决决决决于于于于自自自自回回回回归归归归模模模模型型型型的的的的参参参参数数数数，而而而而与与与与移移移移动动动动平平平平均均均均模模模模型型型型参参参参数数数数无无无无关。关。关。关。 44 ARMA(p,q)模型
43、中模型中AR和和MA部分应使用关键词部分应使用关键词ar和和ma定义。在上面定义。在上面AR定义中，我们已见过这种方法的例子，这定义中，我们已见过这种方法的例子，这对对MA也同样适用。也同样适用。 例例如如，估估计计因因变变量量为为LS的的一一个个2阶阶自自回回归归和和1阶阶动动平平均均过程过程ARMA(2,1)，应应输入输入 ： LS c ar(1) ar(2) ma(1) 如如果果采采用用公公式式法法输输入入方方程程，则则只只能能有有AR项项系系数数，明明确确列出形式为：列出形式为： LS = c(1)+ar(1)=c(2),ar(2)=c(3)。 含有含有MA项只能用列表法。项只能用列表
44、法。 5.2.4 5.2.4 ARMA(ARMA(p p, ,q q) )模型的估计模型的估计模型的估计模型的估计 1. 1. ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型的输入形式模型的输入形式模型的输入形式模型的输入形式 45例例例例5.5: 5.5: 利用利用利用利用 AR(1) AR(1) 模型描述上证指数的变化规律模型描述上证指数的变化规律模型描述上证指数的变化规律模型描述上证指数的变化规律 本本例例取取我我国国上上证证收收盘盘指指数数（时时间间期期间间：1991年年1月月2003年年3月月）的的月月度度时时间间序序列列S作作为为研研究究对对象象，用用AR(1)模型描述其变化规律。首先对
45、其做变化率，模型描述其变化规律。首先对其做变化率， srt = 100(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, , T）这这样样便便得得到到了了变变化化率率序序列列。一一般般来来讲讲，股股价价指指数数序序列列并并不不是是一一个个平平稳稳的的序序列列，而而通通过过变变换换后后的的变变化化率率数数据据，是是一一个个平平稳稳序序列列，可可以以作作为为我我们们研研究究、建建模模的的对对象象。记上证股价指数变化率序列为记上证股价指数变化率序列为sr。46 建立如下模型：建立如下模型： t = 1, 2, , T 估计输出结果显示为：估计输出结果显示为： 47图图图图5.2 5.2 实线是上证股
46、价指数变化率序列实线是上证股价指数变化率序列实线是上证股价指数变化率序列实线是上证股价指数变化率序列srsr，虚线虚线虚线虚线是是是是AR(1)AR(1)模型的拟合值模型的拟合值模型的拟合值模型的拟合值 从从图图5.2可可以以看看出出我我国国上上证证股股价价指指数数变变化化率率序序列列在在1991年年1994年年之之间间变变化化很很大大，而而后后逐逐渐渐变变小小，基基本本在在3%上上下下波波动动。近近年年来来波波动动平平缓缓，并并且且大大多多在在3%下下面面波波动动。拟拟合合曲曲线线基基本本代代表了这一时期的均值。表了这一时期的均值。 48 对对例例5.5中中我我国国上上证证收收盘盘指指数数（
47、时时间间期期间间：1991年年1月月2003年年3月月）的的月月度度时时间间序序列列S的的对对数数差差分分变变换换LS=dlog(S)，即即股股票票收收益益率率用用ARMA(1,1)模模型型来来估估计计，来来说说明明EViews是是如何估计一个如何估计一个ARMA(p，q)模型的。模型的。 建立方程，输入建立方程，输入 LS c ar(1) ma(1)49估计输出显示：估计输出显示：50估计方程可写为：估计方程可写为： t = (1.32) t = (-0.42) （0.3） R2= 0.0087 D.W. = 1.99 也可写为：也可写为：51 2. 2. ARMA(p,q)ARMA(p,q
48、)模型的输出形式模型的输出形式模型的输出形式模型的输出形式 一一个个含含有有AR项项的的模模型型有有两两种种残残差差：第第一一种种是是无无条条件件残残差差 ，第第二二种种残残差差是是估估计计的的一一期期向向前前预预测测误误差差 。如如名名所所示示，这这种种残残差差代代表表预预测测误误差差。实实际际上上，通通过过利利用用滞滞后后残残差的预测能力，改善了无条件预测和残差。差的预测能力，改善了无条件预测和残差。 对于含有对于含有ARMA项的模型，基于残差的回归统计量，项的模型，基于残差的回归统计量，如如R2和和D.W.值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含值都是以一期向前预测误差为基础计算的。含有
49、有AR项的模型独有的统计量是估计的项的模型独有的统计量是估计的AR系数。对于简单系数。对于简单AR(1)模型，模型， 1是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出是无条件残差的一阶序列相关系数。在输出表中表中 1用用AR(1)表示，表示，MA(1) 模型的系数模型的系数 1用用MA(1)表示。表示。对于平稳对于平稳AR(1)模型，模型， 1在在-1和和+1之间。之间。一般一般一般一般AR(p) AR(p) 模型平模型平模型平模型平稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内。稳条件是：滞后算子多项式的根的倒
50、数在单位圆内。 52 5.2.5 5.2.5 ARMAARMA模型的识别模型的识别模型的识别模型的识别 在在实实际际研研究究中中，所所能能获获得得的的只只是是经经济济指指标标的的时时间间序序列列数数据据，根根据据经经济济指指标标的的样样本本特特征征，来来推推断断其其总总体体（真真实实）特特征征。这这一一节节将将引引入入自自相相关关系系数数 (autocorrelations，简简称称AC) 和和偏偏自自相相关关系系数数 (partial autocorrelations，简简称称PAC) 这这两两个个统统计计量量去去识识别别ARMA(p,q) 模模型型。MA(q) 模模型型的的自自相相关关函函
51、数数在在 q 步步以以后后是是截截尾尾的的，偏偏自自相相关关系系数数呈呈现现出出某某种种衰衰减减的的形形式式。AR(p) 模模型型的的偏偏自自相相关关系系数数是是 p 阶阶截截尾尾的的。具具体体的的模模型型形形式式还还要要通通过过自自相相关关和和偏偏自自相相关关系系数数给给出出的的信信息息，经经过过反反复复的的试试验验及及检检验验，最最终终挑挑选选出出各项统计指标均符合要求的模型形式。各项统计指标均符合要求的模型形式。 53 例例例例5.7 5.7 利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模利用消费价格指数研究模型识别和建模 本本例例
52、将将用用ARMA模模型型模模拟拟1990年年1月月2004年年12月月的的居居民民消消费费价价格格指指数数CPI（上上年年同同月月=100）的的变变化化规规律律。实实际际上上用用后后面面学学到到的的单单位位根根检检验验可可知知CPI序序列列是是一一个个非非平平稳稳的的序序列列，但但是是它它的的一一阶阶差差分分序序列列 CPI是是平平稳稳的的。首首先先观观察察 CPI序列的自相关系数和偏自相关系数的图形序列的自相关系数和偏自相关系数的图形 图图图图5.65.6 CPICPI序列的相关图序列的相关图序列的相关图序列的相关图54 从从图图5.6可可以以看看出出 CPI序序列列的的自自相相关关系系数数
53、是是拖拖尾尾的的，偏偏自自相相关关系系数数在在1阶阶结结尾尾。由由前前面面的的知知识识可可以以判判断断 CPI序列基本满足序列基本满足AR(1)过程。建模得到过程。建模得到 t= (5.48) R2=0.146 D.W.=2.09855 由由图图5.7可可以以观观察察到到AR(1) 模模型型比比较较好好的的拟拟合合了了CPI序序列列，回回归归方方程程的的残残差差序序列列基基本本上上也也是是一一个个零零均均值值的的平平稳稳序序列。列。 56图图图图5.8 5.8 CPICPI序列方程残差序列的相关图序列方程残差序列的相关图序列方程残差序列的相关图序列方程残差序列的相关图 从从图图5.8的的回回归
54、归方方程程的的残残差差序序列列的的自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数可可以以看看到到不不存存在在序序列列相相关关。因因此此，在在实实际际建建模模中中，可可以以借借助助ARMA(p,q)模模型型去去拟拟和和一一些些具具有有平平稳稳性性的的经经济济变变量的变化规律。量的变化规律。 57 前前述述的的AR(p)、MA(q) 和和ARMA(p,q) 三三个个模模型型只只适适用用于于刻刻画画一一个个平平稳稳序序列列的的自自相相关关性性。一一个个平平稳稳序序列列的的数数字字特特征征，如如均均值值、方方差差和和协协方方差差等等是是不不随随时时间间的的变变化化而而变变化化的的，时时间间序序列列在
55、在各各个个时时间间点点上上的的随随机机性性服服从从一一定定的的概概率率分分布布。也也就就是是说说，对对于于一一个个平平稳稳的的时时间间序序列列可可以以通通过过过过去去时时间间点点上上的的信信息息，建建立立模模型型拟拟合合过过去去信信息息，进进而而预测未来的信息。预测未来的信息。 5. 3 5. 3 非平稳时间序列建模非平稳时间序列建模非平稳时间序列建模非平稳时间序列建模 58图图图图5.9 5.9 中国中国中国中国19781978年年年年20022002年的年的年的年的GDPGDP序列序列序列序列 从图从图5.9可以看出，中国的可以看出，中国的GDP 在在19782002年之年之间具有很强的上
56、升趋势。间具有很强的上升趋势。59 1.1.1.1.确定性时间趋势和单位根过程确定性时间趋势和单位根过程确定性时间趋势和单位根过程确定性时间趋势和单位根过程 描描述述类类似似图图5.9形形式式的的非非平平稳稳经经济济时时间间序序列列有有两两种种方方法，一种方法是包含一个确定性时间趋势法，一种方法是包含一个确定性时间趋势 (5.3.1) 其其中中 ut 是是平平稳稳序序列列；a + t 是是线线性性趋趋势势函函数数。这这种种过过程程也也称称为为趋趋趋趋势势势势平平平平稳稳稳稳的的，因因为为如如果果从从式式(5.3.1)中中减减去去 a + t，结结果果是是一一个个平平稳稳过过程程。注注意意到到像
57、像图图5.9一一类类的的经经济济时时间间序序列列常常呈呈指指数数趋趋势势增增长长，但但是是指指数数趋趋势势取取对对数数就就可可以以转换为线性趋势转换为线性趋势。 5. 3.1 5. 3.1 非平稳序列和单整非平稳序列和单整非平稳序列和单整非平稳序列和单整 60 另另一一种种方方法法是是设设定定为为单单单单位位位位根根根根过过过过程程程程，非非平平稳稳序序列列中中有有一一类类序序列列可可以以通通过过差差分分运运算算，得得到到具具有有平平稳稳性性的的序序列列，考考虑虑下式下式 (5.3.2) 也可写成也可写成 (5.3.3) 其其中中a是是常常数数，ut是是平平稳稳序序列列，若若ut i.i.d.
58、 N (0, 2) ，且且ut 是是一一个个白白噪噪声声序序列列。若若令令a = 0， y0=0，则则由由式式(5.3.2)生生成成的的序序列列 yt，有有var(yt)=t 2（t = 1, 2, , T），显显然然违违背背了了时时间间序序列列平平稳稳性性的的假假设设。而而式式(5.3.3)的的差差分分序序列列是是含含位位移移a的随机游走，说明的随机游走，说明 yt 的的差分序列差分序列 yt是平稳序列。是平稳序列。 61 2 2. . . .单整单整单整单整 像像前前述述 yt 这这种种非非平平稳稳序序列列，可可以以通通过过差差分分运运算算，得得到平稳性的序列称为到平稳性的序列称为单整单整
59、单整单整( (integration)integration)序列序列序列序列。定义如下：。定义如下： 定定定定义义义义：如如果果序序列列 yt ，通通过过 d 次次差差分分成成为为一一个个平平稳稳序序列列，而而这这个个序序列列差差分分 d 1 次次时时却却不不平平稳稳，那那么么称称序序列列 yt为为 d 阶阶单单整整序序列列，记记为为 yt I(d)。特特别别地地，如如果果序序列列 yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt I(0)。 62 5. 3.25. 3.2 非平稳序列的单位根检验非平稳序列的单位根检验非平稳序列的单位根检验非平稳序列的单位根
60、检验 检检查查序序列列平平稳稳性性的的标标准准方方法法是是单单位位根根检检验验。有有6种种单单位位根根检检验验方方法法：ADF检检验验、DFGLS检检验验、PP检检验验、KPSS检检验验、ERS检检验验和和NP检检验验，本本节节将将介介绍绍DF检检验验、ADF检验。检验。 63 其其中中 a 是是常常数数， t 是是线线性性趋趋势势函函数数，ut i.i.d. N (0, 2) 。(5.3.4)(5.3.5)(5.3.6) 1. 1. DFDF检验检验检验检验 为说明为说明DF检验的使用，检验的使用，先先考虑考虑3种形式的回归模型种形式的回归模型 64 (1) 如果如果 -1 1，则，则 yt
61、 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。 (2) 如如果果 =1， yt 序序列列是是非非平平稳稳序序列列。(5.3.4)式式可可写写成：成： 显然显然 yt 的的差分序列是平稳的。差分序列是平稳的。 (3) 如如果果 的的绝绝对对值值大大于于1，序序列列发发散散，且且其其差差分分序序列列是非平稳的。是非平稳的。65 因因此此，判判断断一一个个序序列列是是否否平平稳稳，可可以以通通过过检检验验 是是否严格小于否严格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说： 原假设原假设原假设原假设HH0 0： =1=1，备选假设备选假设备选假设备选假设HH1 1： 1 1(5.3.7)(5.3.8)(5
62、.3.9) 从方程两边同时减去从方程两边同时减去 yt-1 得得， 66 其中：其中： = = -1-1，所以原假设和备选假设可以改写为，所以原假设和备选假设可以改写为 可可以以通通过过最最小小二二乘乘法法得得到到 的的估估计计值值，并并对对其其进进行行显著性检验的方法，构造检验显著性水平的显著性检验的方法，构造检验显著性水平的 t 统计量。统计量。 但但是是，Dickey-Fuller研研究究了了这这个个t 统统计计量量在在原原假假设设下下已已经经不不再再服服从从 t 分分布布，它它依依赖赖于于回回回回归归归归的的的的形形形形式式式式( (是是是是否否否否引引引引进进进进了了了了常数项和趋势
63、项常数项和趋势项常数项和趋势项常数项和趋势项) ) 和样本长度和样本长度和样本长度和样本长度T T 。 67 2. 2. ADFADF检验检验检验检验 ADF检检验验方方法法通通过过在在回回归归方方程程右右边边加加入入因因变变量量yt 的的滞滞后差分项来控制高阶序列相关后差分项来控制高阶序列相关 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)68 扩展定义将检验扩展定义将检验 (5.3.14) 原原原原假假假假设设设设为为为为：至至至至少少少少存存存存在在在在一一一一个个个个单单单单位位位位根根根根；备备备备选选选选假假假假设设设设为为为为：序序序序列列列列不不不不存存存存在在在在单单单单位
64、位位位根根根根。序序列列 yt可可能能还还包包含含常常数数项项和和时时间间趋趋势势项项。判判断断 的的估估计计值值 是是接接受受原原假假设设或或者者接接受受备备选选假假设设，进进而而判断一个高阶自相关序列判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。过程是否存在单位根。 类类似似于于DF检检验验，Mackinnon通通过过模模拟拟也也得得出出在在不不同同回回归归模模型型及及不不同同样样本本容容量量下下检检验验 不不同同显显著著性性水水平平的的 t 统统计计量量的的临临界界值值。这这使使我我们们能能够够很很方方便便的的在在设设定定的的显显著著性性水水平平下判断高阶自相关序列是否存在单位根
65、。下判断高阶自相关序列是否存在单位根。 69 EViewsEViews软件中软件中软件中软件中单位根检验单位根检验单位根检验单位根检验操作说明：操作说明：操作说明：操作说明： 双双击击序序列列名名，打打开开序序列列窗窗口口，选选择择View/unit Root Test，得到下图得到下图： 70 进行单位根检验必须定义进行单位根检验必须定义4项：项： 1 1选择检验类型选择检验类型选择检验类型选择检验类型 在在Test type的的下下拉拉列列表表中中，选选择择检检验验方方法法。EViews5提提供供了了6种单位根检验的方法：种单位根检验的方法： Augmented Dickey-Fuller
66、(ADF) Test Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP) Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test71 2 2选择差分形式选择差分形式选择差分形式选择差分形式 在在Test for unit root in中中确确定定序序列列在在水水水水平平平平值值值值、一一一一阶阶阶阶差差差差分分分分、二二二二阶阶阶阶差差差
67、差分分分分下下进进行行单单位位根根检检验验。可可以以使使用用这这个个选选项项决决定定序序列列中中单单位位根根的的个个数数。如如果果检检验验水水平平值值未未拒拒绝绝，而而在在一一阶阶差差分分拒拒绝绝原原假假设设，序序列列中中含含有有一一个个单单位位根根，是是一一阶阶单单整整I(1)；如如果果一一阶阶差差分分后后的的序序列列仍仍然然未未拒拒绝绝原原假假设设，则则需需要要选选择择2阶阶差差分分。一一般般而而言言，一一个个序序列列经经过过两两次次差差分分以以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。 72 3 3定义检验方程中需要包含的选项定义检验方程中
68、需要包含的选项定义检验方程中需要包含的选项定义检验方程中需要包含的选项 在在Include in test equation中中定定义义在在检检验验回回归归中中是是否否含含含含有有有有常常常常数数数数项项项项、常常常常数数数数和和和和趋趋趋趋势势势势项项项项、或或或或二二二二者者者者都都都都不不不不包包包包含含含含。这这一一选选择择很很重重要要，因因为为检检验验统统计计量量在在原原假假设设下下的的分分布布随随这这3种种情情况况不不同同而而变变化化。在在什什么么情情况况下下包包含含常常数数项项或或者者趋趋势势项项，刚才已经作了介绍。刚才已经作了介绍。73 4 4 4 4定义序列相关阶数定义序列相
69、关阶数定义序列相关阶数定义序列相关阶数 在在Lag lenth这这个个选选项项中中可可以以选选择择一一些些确确定定消消除除序序列列相相关关所所需需的的滞滞滞滞后后后后阶阶阶阶数数数数的的准准则则。一一般般而而言言，EViews默默认认SIC准则。准则。 定定义义上上述述选选项项后后，单单击击OK进进行行检检验验。EViews显显示示检验统计量和估计检验回归。检验统计量和估计检验回归。 单单位位根根检检验验后后，应应检检查查EViews显显示示的的估估计计检检验验回回归归，尤尤其其是是如如果果对对滞滞后后算算子子结结构构或或序序列列自自相相关关阶阶数数不不确确定定，可以选择不同的右边变量或滞后阶
70、数来重新检验。可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。 74 例例例例5.8 5.8 检验居民消费价格指数序列的平稳性检验居民消费价格指数序列的平稳性检验居民消费价格指数序列的平稳性检验居民消费价格指数序列的平稳性 例例5.7用用AR(1) 模模型型模模拟拟1990年年1月月2004年年8月月居居民民消消费费价价格格指指数数一一阶阶差差分分 CPI的的变变化化规规律律。在在用用ADF进进行行单单位位根根检检验验前前，需需要要设设定定序序列列的的是是否否含含有有常常数数项项或或者者时时间间趋趋势势项项。我我们们可可以以通通过过画画出出原原序序列列的的图图形形来来判判断断是是否否要要加加入入常
71、常数数项项或或者者时时间间趋趋势势项项。从从图图5.7的的CPI图图形形可可以以看看出出含含有有常常数数项项，但但不不含含有有时间趋势项。时间趋势项。CPI序列的序列的ADF检验结果如下：检验结果如下： 7576 检检验验结结果果显显示示，CPI序序列列接接受受原原假假设设，因因此此，CPI序序列列是是一一个个非非平平稳稳的的序序列列。接接着着再再对对一一阶阶差差分分 CPI序序列列进进行行单单位根检验，位根检验，ADF检验结果如下：检验结果如下： 检检验验结结果果显显示示，一一阶阶差差分分 CPI序序列列拒拒绝绝原原假假设设，接接受受 CPI序序列列是是平平稳稳序序列列的的结结论论。因因此此
72、，CPI序序列列是是1阶阶单单整整序序列，即列，即CPII(1)。 77 例例例例5.9 5.9 检验中国检验中国检验中国检验中国GDPGDP序列的平稳性序列的平稳性序列的平稳性序列的平稳性 在图在图5.9中，我们可以观察到中，我们可以观察到GDP具有明显的上升趋势。具有明显的上升趋势。在在ADF检验时选择含有常数项和时间趋势项。检验时选择含有常数项和时间趋势项。GDP序列的序列的ADF检验如下：检验如下： 检检验验结结果果显显示示，GDP序序列列以以较较大大的的P值值，即即87.83%的的概概率接受原假设，即存在单位根的结论。率接受原假设，即存在单位根的结论。78 将将GDP序列做序列做1阶
73、差分，然后对阶差分，然后对GDP进行进行ADF检验检验（选择含有常数项和时间趋势项）如下：（选择含有常数项和时间趋势项）如下： 检验结果显示，检验结果显示，GDP序列序列在在5%的显著性水平下拒绝的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，但是属于趋势平稳，原假设，接受不存在单位根的结论，但是属于趋势平稳，即具有线性趋势。而即具有线性趋势。而PP检验的结果接受原假设，检验的结果接受原假设，GDP序序列存在列存在单位根，是非平稳的。单位根，是非平稳的。 79 再对再对GDP序列做差分，则序列做差分，则2GDP的的ADF检验（选择不检验（选择不含常数项和时间趋势项）如下：含常数项和时间趋势项
74、）如下： 检验结果显示，二阶差分检验结果显示，二阶差分序列序列2GDP在在1%的显著性水的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定GDP序列是序列是2阶单整序列，即阶单整序列，即GDP I (2)。 80 5.3.3 5.3.3 ARIMAARIMA模型模型模型模型 1 1ARIMAARIMA模型的形式模型的形式模型的形式模型的形式 我我们们已已经经介介绍绍了了对对于于单单整整序序列列能能够够通通过过d次次差差分分将将非非平平稳稳序序列列转转化化为为平平稳稳序序列列。设设 yt 是是 d 阶阶单单整整序序列列，即即 yt
75、I(d)，则则 (5.3.40) wt 为为平平稳稳序序列列，即即 wt I(0) ，于于是是可可以以对对 wt 建建立立ARMA(p,q) 模型模型 (5.3.41)81 估估计计ARIMA(p,d,q) 模模型型同同估估计计ARMA(p,q) 具具体体的的步步骤骤相相同同，惟惟一一不不同同的的是是在在估估计计之之前前要要确确定定原原序序列列的的差差分阶数分阶数d，对对 yt 进行进行 d 阶差分。阶差分。 因因此此，ARIMA(p,d,q) 模模型型区区别别于于ARMA(p,q) 之之处处就就在在于于前前者者的的自自回回归归部部分分的的特特征征多多项项式式含含有有d个个单单位位根根。因因此
76、此，对对一一个个序序列列建建模模之之前前，我我们们应应当当首首先先确确定定该该序序列列是是否否具具有有非非平平稳稳性性，这这就就首首先先需需要要对对序序列列的的平平稳稳性性进进行行检检验验，特特别别是是要要检检验验其其是是否否含含有有单单位位根根及及所所含含有有的的单单位位根的个数。根的个数。 82 2. 2. 应用应用应用应用ARIMA(ARIMA(p p, , d d, , q q) ) 模型建模的过程模型建模的过程模型建模的过程模型建模的过程 博博克克斯斯詹詹金金斯斯提提出出了了具具有有广广泛泛影影响响的的建建模模思思想想，能能够够对对实实际际建建模模起起到到指指导导作作用用。博博克克斯
77、斯詹詹金金斯斯的的建建模模思想可分为如下思想可分为如下4个步骤：个步骤： （1）对对原原序序列列进进行行平平稳稳性性检检验验，如如果果序序列列不不满满足足平平稳稳性性条条件件，可可以以通通过过差差分分变变换换（单单整整阶阶数数为为d，则则进进行行d阶阶差差分分）或或者者其其他他变变换换，如如对对数数差差分分变变换换使使序序列列满满足足平平稳性条件；稳性条件； （2）通通过过计计算算能能够够描描述述序序列列特特征征的的一一些些统统计计量量（如如自自相相关关系系数数和和偏偏自自相相关关系系数数），来来确确定定ARMA模模型型的的阶阶数数 p 和和 q，并在初始估计中选择尽可能少的参数；并在初始估计
78、中选择尽可能少的参数；83 （3）估估计计模模型型的的未未知知参参数数，并并检检验验参参数数的的显显著著性性，以及模型本身的合理性；以及模型本身的合理性； （4）进进行行诊诊断断分分析析，以以证证实实所所得得模模型型确确实实与与所所观观察察到的数据特征相符。到的数据特征相符。 对对于于博博克克斯斯詹詹金金斯斯建建模模思思想想的的第第3、4步步，需需要要一一些些统统计计量量和和检检验验来来分分析析在在第第2步步中中的的模模型型形形式式选选择择得得是是否合适，所需要的统计量和检验如下：否合适，所需要的统计量和检验如下： （1 1）检验模型参数显著性水平的）检验模型参数显著性水平的）检验模型参数显著
79、性水平的）检验模型参数显著性水平的 t t 统计量；统计量；统计量；统计量； （2 2）为为为为保保保保证证证证ARIMA(ARIMA(p p, ,d d, ,q q) ) 模模模模型型型型的的的的平平平平稳稳稳稳性性性性，模模模模型型型型的的的的特征根的倒数皆小于特征根的倒数皆小于特征根的倒数皆小于特征根的倒数皆小于1 1； （3 3）模模模模型型型型的的的的残残残残差差差差序序序序列列列列应应应应当当当当是是是是一一一一个个个个白白白白噪噪噪噪声声声声序序序序列列列列，可可可可用用用用5.25.2节中的检验序列相关的方法检验。节中的检验序列相关的方法检验。节中的检验序列相关的方法检验。节中
80、的检验序列相关的方法检验。84 在在在在EViewsEViews中估计中估计中估计中估计ARIMAARIMA模型模型模型模型 可可以以直直接接在在估估计计定定义义式式中中包包含含差差分分算算子子D。例例如如：GDPI(2)，对对GDP估估计计ARIMA(1,2,1)模模型型，可可以以输输入入列列表表： D(GDP,2) c ar(1) ma(1) 使用因变量差分因子使用因变量差分因子D(GDP)定义模型，定义模型， EViews将提将提供水平变量供水平变量GDP的预测值。的预测值。85 本本例例将将运运用用博博克克斯斯詹詹金金斯斯的的建建模模思思想想完完整整的的建建立立一个模型，以熟悉博克斯一
81、个模型，以熟悉博克斯詹金斯的建模思想。詹金斯的建模思想。 例例5.9用用ADF单单位位根根检检验验得得到到结结论论：GDP序序列列是是2阶阶单单整整序序列列，即即GDPI(2)。首首先先观观察察2GDP序序列列的的相相关关图图（图（图5.10）。）。 例例例例5.10 5.10 建立中国建立中国建立中国建立中国GDPGDP的的的的ARIMAARIMA模型模型模型模型 图图图图5.105.10 2 2GDPGDP序列的相关图序列的相关图序列的相关图序列的相关图86 2GDP序序列列的的自自相相关关系系数数在在1阶阶截截尾尾，偏偏自自相相关关系系数数在在 2阶阶 截截 尾尾 ， 则则 取取 模模
82、型型 的的 阶阶 数数 p=2 和和 q=1， 建建 立立ARIMA(2,2,1) 模模型型(时时间间期期间间：19782000年年，2001和和2002年实际数据不参加建模，留作检验）：年实际数据不参加建模，留作检验）： 87 2GDPt = 1.352GDPt-1 0.8692GDPt-2+ t 0.47 t-1 t = (5.546) (-4.34) (-1.46) R2 = 0.586 D.W= 2.04 下下面面给给出出回回归归模模型型残残差差的的序序列列相相关关图图，从从相相关关图图中中可可以以看看出出模模型型的的残残差差不不存存在在序序列列相相关关，并并且且模模型型的的各各项项统
83、统计计量量也也很很好好。对对这这个个模模型型的的拟拟合合和和预预测测的的结结果果见见图图5.12，其其中中2001年和年和2002年为预测结果。年为预测结果。 图图图图5.11 5.11 GDPGDP序列的序列的序列的序列的ARIMA(2,2,1)ARIMA(2,2,1)模型残差的相关图模型残差的相关图模型残差的相关图模型残差的相关图88 从图从图5.11的相关图中可以看出模型的残差不存在序列的相关图中可以看出模型的残差不存在序列相关，并且模型的各项统计量也很好。图相关，并且模型的各项统计量也很好。图5.12是这个模型的是这个模型的拟合和预测（静态）的结果，其中拟合和预测（静态）的结果，其中2
84、001年和年和2002年为预测年为预测结果。结果。 图图图图5.12 5.12 实线是实线是实线是实线是GDPGDP序列的原数据，虚线是模型拟合和预测结果序列的原数据，虚线是模型拟合和预测结果序列的原数据，虚线是模型拟合和预测结果序列的原数据，虚线是模型拟合和预测结果 89 5.4 5.4 协整和误差修正模型协整和误差修正模型协整和误差修正模型协整和误差修正模型 在在前前面面介介绍绍的的ARMA模模型型中中要要求求经经济济时时间间序序列列是是平平稳稳的的，但但是是由由于于实实际际应应用用中中大大多多数数时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，通通常常采采用用差差分分方方法法消消除除序序列列中中含
85、含有有的的非非平平稳稳趋趋势势，使使得得序序列列平平稳稳化化后后建建立立模模型型，这这就就是是上上节节介介绍绍的的ARIMA模模型型。但但是是变变换换后后的的序序列列限限制制了了所所讨讨论论经经济济问问题题的的范范围围，并并且且有有时时变变换换后后的的序序列列由由于于不不具具有有直直接接的的经经济济意意义义，使使得得化化为为平平稳稳序序列列后后所所建建立立的的时时间间序序列列模型不便于解释。模型不便于解释。 90 1987年年Engle和和Granger提提出出的的协协整整理理论论及及其其方方法法，为为非非平平稳稳序序列列的的建建模模提提供供了了另另一一种种途途径径。虽虽虽虽然然然然一一一一些
86、些些些经经经经济济济济变变变变量量量量的的的的本本本本身身身身是是是是非非非非平平平平稳稳稳稳序序序序列列列列，但但但但是是是是，它它它它们们们们的的的的线线线线性性性性组组组组合合合合却却却却有有有有可可可可能能能能是是是是平平平平稳稳稳稳序序序序列列列列。这这这这种种种种平平平平稳稳稳稳的的的的线线线线性性性性组组组组合合合合被被被被称称称称为为为为协协协协整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系整方程，且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。91 5.4.1 5.4.1 协整关系协整关系协整
87、关系协整关系 假假定定一一些些经经济济指指标标被被某某经经济济系系统统联联系系在在一一起起，那那么么从从长长远远看看来来这这些些变变量量应应该该具具有有均均衡衡关关系系，这这是是建建立立和和检检验验模模型型的的基基本本出出发发点点。在在短短期期内内，因因为为季季节节影影响响或或随随机机干干扰扰，这这些些变变量量有有可可能能偏偏离离均均值值。如如果果这这种种偏偏离离是是暂暂时时的的，那那么么随随着着时时间间推推移移将将会会回回到到均均衡衡状状态态；如如果果这这种种偏偏离离是是持持久久的的，就就不不能能说说这这些些变变量量之之间间存存在在均均衡衡关关系系。协协整整(co-integration)可
88、可被被看看作作这这种种均均衡衡关关系性质的统计表示。系性质的统计表示。 92 下面给出协整的定义：下面给出协整的定义： k 维维向向量量Yt=（y1t，y2t，ykt） 的的分分量量间间被被称称为为d,b阶协整，记为阶协整，记为Yt CI (d，b)，如果满足：如果满足： (1) Yt I (d)，要求要求 Yt 的每个分量的每个分量 yit I (d)； (2)存存在在非非零零向向量量 ，使使得得 Yt I (d - b)，0 b d 。 简称简称 Yt 是协整的，向量是协整的，向量 又称为协整向量。又称为协整向量。 93 5.4.25.4.2 协整检验协整检验协整检验协整检验 协协整整检检
89、验验从从检检验验的的对对象象上上可可以以分分为为两两种种：一一种种是是基基于于回回归归系系数数的的协协整整检检验验，如如Johansen协协整整检检验验；另另一一种种是是基基于于回回归归残残差差的的协协整整检检验验，如如CRDW检检验验、DF检验和检验和ADF检验。检验。 本本节节将将主主要要介介绍绍Engle和和Granger（1987）提提出出的的协协整整检检验验方方法法。这这这这种种种种协协协协整整整整检检检检验验验验方方方方法法法法是是是是对对对对回回回回归归归归方方方方程程程程的的的的残残残残差差差差进进进进行行行行单单单单位位位位根根根根检检检检验验验验。从从协协整整理理论论的的思
90、思想想来来看看，自自变变量量和和因因变变量之间存在协整关系。量之间存在协整关系。 94 检验的主要步骤如下：检验的主要步骤如下：检验的主要步骤如下：检验的主要步骤如下： （1）若若k个个序序列列y1t 和和y2t，y3t，ykt都都是是1阶阶单整序列，建立回归方程单整序列，建立回归方程 模型估计的残差为模型估计的残差为 95 （2）检检验验残残差差序序列列t是是否否平平稳稳，也也就就是是判判断断序序列列t是是否否含含有有单单位位根根。通通常常用用ADF检检验验来来判判断断残残差差序序列列t是否是平稳的。是否是平稳的。 （3）如如果果残残差差序序列列t是是平平稳稳的的，则则可可以以确确定定回回归
91、归方方程程中中的的k个个变变量量（y1t，y2t，y3t，ykt）之之间间存存在在协协整整关关系系，并并且且协协整整向向量量为为 ；否否则则（y1t，y2t，y3t，ykt）之间不存在协整关系。之间不存在协整关系。 96 为为了了描描述述消消费费与与收收入入之之间间是是否否存存在在协协整整关关系系，本本例例选选择择1982年年2002年年的的年年度度数数据据进进行行实实证证分分析析。Ct表表示示名名义义居居民民总总消消费费；GDPt表表示示名名义义国国内内生生产产总总值值（支支出出法法）；TAXt 表表示示税税收收总总额额；tt=TAXt /GDPt表表示示宏宏观观税税率率；Pt表表示示居民消
92、费价格指数居民消费价格指数(1978=100)。 用用cst =Ct Pt 表表示示实实际际消消费费，inct = (1- tt) GDPt /Pt表表示示实实际际可可支支配配收收入入。对对这这两两个个变变量量进进行行分分析析后后发发现现，取取对对数数后后呈呈线线性性变变化化。单单位位根根检检验验发发现现序序列列ln(cst)和和ln(inct)是是非非平平稳稳的的，一一阶阶差差分分以以后后是是平平稳稳，即即ln(cst)和和ln(inct)均均是是I(1)序列序列。 例例例例5.11 5.11 消费和收入的协整关系检验消费和收入的协整关系检验消费和收入的协整关系检验消费和收入的协整关系检验
93、97 第一步，建立如下回归方程：第一步，建立如下回归方程： 估计后得到估计后得到 t = = (638.7) R2 = =0.98 D.W. = =0.45 方程中的系数方程中的系数0.938是收入弹性，表明实际收入每增是收入弹性，表明实际收入每增加加1%会使得实际消费增加会使得实际消费增加0.938%。 98 第第二二步步，对对上上式式的的残残差差进进行行单单位位根根检检验验，由由回回归归方方程估计结果可得程估计结果可得 对其进行单位根检验，其结果如下：对其进行单位根检验，其结果如下： 99 检检验验结结果果显显示示，残残差差序序列列在在1%的的显显著著性性水水平平下下拒拒绝绝原原假假设设，
94、接接受受不不存存在在单单位位根根的的结结论论，因因此此可可以以确确定定残残差差序序列列为为平平稳稳序序列列，即即为为I(0)序序列列。上上述述结结果果表表明明：ln(cst)和和ln(inct)之之间间存存在在协协整整关关系系。协协整向量为（整向量为（1，-0.938）。）。 100 5.4.3 5.4.3 误差修正模型误差修正模型误差修正模型误差修正模型 误误差差修修正正这这个个术术语语最最早早是是由由Sargen(1964)提提出出的的，但但是是误误差差修修正正模模型型基基本本形形式式的的形形成成是是在在1978年年由由Davidson、Hendry等等提提出出的的。传传统统的的经经济济模
95、模型型通通常常表表述述的的是是变变量量之之间间的的一一种种“长长期期均均衡衡”关关系系，而而实实际际经经济济数数据据却却是是由由“非非均均衡衡过过程程”生生成成的的。因因此此，建建模模时时需需要要用用数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程。数据的动态非均衡过程来逼近经济理论的长期均衡过程。101 最最 常常 用用 的的 ECM模模 型型 的的 估估 计计 方方 法法 是是 EngleEngle和和和和Granger(1981)Granger(1981)两步法两步法两步法两步法，其基本思想如下：，其基本思想如下： 第一步是求模型：第一步是求模型： 的的OLS估计，又称协整回归，得到及残
96、差序列：估计，又称协整回归，得到及残差序列： 102 第二步是用第二步是用 t -1 替换式替换式ECM中的中的即对即对再用再用OLS方法估计其参数。方法估计其参数。 注注意意，误误差差修修正正模模型型不不再再单单纯纯地地使使用用变变量量的的水水平平值值（指指变变量量的的原原始始值值）或或变变量量的的差差分分建建模模，而而是是把把两两者者有有机机地地结结合合在在一一起起，充充分分利利用用这这两两者者所所提提供供的信息。的信息。103 例例5.11建建立立了了消消费费和和收收入入的的协协整整方方程程，为为了了考考察察我我国国消消费费和和收收入入之之间间的的动动态态关关系系，现现通通过过ECM模模
97、型型来来进行分析。进行分析。 通通过过例例5.11估估计计得得到到消消费费和和收收入入的的协协整整方方程程的的残残差差序序列列t ，令令误误差差修修正正项项 ecmt = t ，建建立立下下面面的的误误差差修正模型：修正模型： 也可以写为也可以写为 例例例例5.12 5.12 建立消费和收入的误差修正模型建立消费和收入的误差修正模型建立消费和收入的误差修正模型建立消费和收入的误差修正模型 104 估计得到估计得到 t = = (3.029) (2.779) （ 1.94） R2 = 0.405 D.W. = 1.583 在在上上面面的的误误差差修修正正模模型型中中，差差分分项项反反映映了了短短
98、期期波波动动的的影影响响。消消费费的的短短期期变变动动可可以以分分为为两两部部分分：一一部部分分是是短短期期收收入入波波动动的的影影响响；一一部部分分是是偏偏离离长长期期均均衡衡的的影影响响。误误差差修修正正项项ecmt 的的系系数数的的大大小小反反映映了了对对偏偏离离长长期期均均衡衡的的调调整整力力度度。从从系系数数估估计计值值( 0.226)来来看看，当当短短期期波波动动偏偏离离长长期期均均衡衡时时，将将以以 0.226的的调调整整力力度度将将非非均均衡状态拉回到均衡状态。衡状态拉回到均衡状态。 105 从从从从短短短短期期期期看看看看，被被解解释释变变量量的的变变动动是是由由较较稳稳定定
99、的的长长期期趋趋势势和和短短期期波波动动所所决决定定的的，短短期期内内系系统统对对于于均均衡衡状状态态的的偏偏离离程程度度的的大大小小直直接接导导致致波波动动振振幅幅的的大小。大小。 从从从从长长长长期期期期看看看看，协协整整关关系系式式起起到到引引力力线线的的作作用用，将将非均衡状态拉回到均衡状态。非均衡状态拉回到均衡状态。 106例例例例5.13 5.13 财政支出与财政收入的财政支出与财政收入的财政支出与财政收入的财政支出与财政收入的ECM ECM 为为了了描描述述财财政政收收入入与与财财政政支支出出之之间间的的动动态态关关系系，本本例例选选择择1990:12004:8的的月月度度数数据
100、据进进行行实实证证分分析析。ln(fet)表表示示取取对对数数以以后后的的财财政政支支出出，ln(fit)表表示示取取对对数数以以后后的的财财政政收收入入，单单位位根根检检验验发发现现原原序序列列是是非非平平稳稳的的，一一阶阶差差分分以以后后是是平平稳稳，即即这这两两个个序序列列均均是是I(1)序序列列，满满足足我我们们的要求。的要求。 第一步，建立如下回归方程：第一步，建立如下回归方程： 107 根根据据第第一一步步得得到到残残差差序序列列 t ，令令误误差差修修正正项项 ecmt = t ，第二步，建立下面的误差修正模型：第二步，建立下面的误差修正模型： 估计结果为估计结果为 t = (3
101、.41) (-2.43) (4.51) (3.9) t = (29.57) (-13.78) (6.59) R2=0.967 D.W.=1.83108 第第一一步步中中的的系系数数1.0096体体现现我我国国财财政政支支出出“量量入入为为出出”的的原则，同时也说明了我国财政支出略大于财政收入的现实状况。原则，同时也说明了我国财政支出略大于财政收入的现实状况。 但但是是，对对于于上上式式我我们们最最感感兴兴趣趣的的应应该该是是调调整整系系数数(0.01)，它它对对于于系系统统的的动动态态调调整整具具有有重重要要的的意意义义。它它的的含含义义是是：当当t1 期期 yt-1 1.0096 xt-1 0时时，即即 t 1 期期的的财财政政支支出出向向下下偏偏离离长长期期均均衡衡时时，调调整整系系数数 0.01会会增增大大 t 期期财财政政支支出出的的增增量量，调整调整 t 期的财政支出向长期均衡靠近。期的财政支出向长期均衡靠近。109
