求二面角的五种方法

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1、求二面角的五种方法求二面角的五种方法一、定义法一、定义法 ：由图形的特殊条件按定义直接作出 . 如在空间四边形 ABCD 中,AB=AC, DB=DC, 求二面角 A-BC-D 的大小.例 1 如图, 过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA平面 ABCD, 设 PA=AB=a,求二面角B-PC-D 的大小.例 2 二面角 -BC- 大小为 120, A,B, 且 ABBC, BCCD,AB=BC=CD=1, 求二面角 A-BD-C 的正切值.例 3 如图, 已知四面体 SABC 中, ASB=2,ASC=(02),CSB=(02), 二面角A-SC-B的大小为, 求证： =-arccos(c

2、oscot).二、二、 垂面法垂面法： 通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.例4空间三条射线PA,PB,PC不共面, 若APC=APB=60,BPC=90, 则二面角B-PA-C的大小是_；已知AOB=90, 过 O 点引AOB 所在平面的斜线 OC, 使它与 OA,OB 分别成 45,60的角, 则二面角 A-OC-B 的余弦值为_.例 5 如图, 在ABC 中, ABBC, SA平面 ABC, DE 垂直平分 SC, 且分别交 AC,SC 于 D,E, 又 SA=AB, SB=BC, 求二面角 E-BD-C 的大小.三、延伸法三、延伸

3、法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 因此要把两个面延伸面得到二面角的棱,然后再求出它的平面角.例 6 直角梯形 ABCD 中, ABAD, ADCD, AB=2, CD=4, 平面 PAD平面ABCD, PBC 是边长为 10 的正三角形, 求平面 PAD 和平面 PBC 所成二面角的大小.例7设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小.五、射影法五、射影法：若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面所成的二面角 , 满足 S0=Scos, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影

4、法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.例 10 过正方形ABCD的顶点 A 作线段PA平面ABCD, 若 AB=PA, 则平面 ABP与平面 CDP 所成的二面角为()A. 30B. 45C. 60D. 90四、垂线法四、垂线法：利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.例 8 已知由 O 点出发的三条射线 OA,OB,OC 不共面,且AOB=AOC, 求证：二面角 A-OB-C 与二面角 A-OC-B 相等.例 11 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点, PAB 是正三角形, 且平面 PAB平面 ABCD,求二面角 P-AC-B 的大小.例 9 二面角 M-CD-N 中, A 为平面 M 上一定点, ADC 的面积为定值 S,DC=a, B 为平面 N 内一点, ABCD, 若 AB 与平面 N 成 30角, 求面积BCD的最大值, 并求此时二面角 M-CD-N 的大小.