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1、第三节第三节 连续型随机变量连续型随机变量 及其概率分布及其概率分布连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量 定义定义 设设X 为一随机变量，若存在非负实函数为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数使对任意实数 a b ，有有 则称则称X 为连续型随机变量，为连续型随机变量， f (x) 称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称简称概率密度概率密度.分布函数分布函数 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布概率密度的性质概率密度的性质（1）（2） f (x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质
2、是判定一个函数函数 f(x)是否为某随机变量是否为某随机变量 X 的概率密度的充要条件的概率密度的充要条件（3）对于任意实数空间（a,b,（4）在 f (x) 的连续点 x 处，利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率(2)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概(3) 率均为0. 即注注:（1）连续型随机变量 X 的分布函数F(x)处处连续. f (x)xoaf (x)在某点a的高度,并不反映X 取值的概率,但是高度越大,则X 取a附近值的概率就越大,即某点处密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.例例: 设随机变量X 的概率密度为其中k
3、为待定常数,求：(1)常数k;(2)X 落入区间(1.5,2.5)内的概率.已知密度函数求概率已知密度函数求概率(1)(2)解解 当 x 1 时01 2 3 4 5yxx当1 x 5 时已知密度函数求分布函数已知密度函数求分布函数例例. .已知连续型随机变量X的概率密度为求 X 的分布函数当 x5 时所以所以0 1 51已知分布函数求密度函数已知分布函数求密度函数（2)X 的密度函数（2）密度函数为解解 例例.（2)求X 的密度函数练习：练习：连续型随机变量的分布函数为 1. 均匀分布均匀分布则称X在区间 a, b上服从均匀分布，X U(a, b)常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量定义定
4、义：若 随机变量 X的概率密度为：记作abF(x)x1 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关子区间的长度而与子区间的位置无关。 0 a bx（） c d 意义：意义：例：设在某段时间内的任一时刻乘客来到公共汽车站是等可能的，车站每隔8分钟发一趟车，用X表示某乘客的候车时间，求（1）该乘客候车时间在5分钟以
5、内的概率；（2）候车时间在4分钟以上的概率.解：解：例例XU0，5其概率密度为（1）（2）若连续型随机变量X的概率密度为定义定义: :分布函数分布函数则称X服从参数为 的指数分布. .2 . 指数分布指数分布 指数分布常用作各种“寿命”的分布。如电子元件的使用寿命，动物的寿命，电话的通话时间等。例例. . 设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 及和解：解： X 的概率密度指数分布的无指数分布的无记忆性记忆性 则称X服从参数为定义定义：若连续型随机变量X 的概率密度为3. 正态分布正态分布曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称；正态分正态分布曲线布曲线当当x 时，时，f(x) 0. .f (x
6、) 以 x 轴为渐近线 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度. .正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。标准正态分布标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：标准正态分布标准正态分布密度函数密度函数分布函数分布函数的性质的性质 : 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. .定理定理.( () ) - -F F= =s sm ms sm mxNX2,例例设求解：解：
