第9讲可测集及其性质

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1、第9讲 可测集及其性质 目的：熟练掌握可测集的性质，学会采用 类比的方法归纳出这些性质。重点与难点：可测集的性质，可测集序列 的极限之可测性。今谤甭乾猴恿惫滞谗畜袋笛稽踞隐去徽缕恩期虫诺摊蓄兄圆支帜拖失磅夯第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质一. 可测集的性质 问题问题1 1：回忆回忆RiemannRiemann积分的性质，通过积分的性质，通过 类类比比的的方方法法，我我们们可可以以得得到可测到可测 集应具有哪些性质？集应具有哪些性质？第9讲 可测集及其性质 茸辕扎鳖能翱攘闸雕足黔段渤锤两桔御点穗渝茅制烛非泽钎虱惶狼充央敬第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质定定理理1 1 （i i）设

2、设 ，则则 可可测测当当且且仅当仅当 可测；可测； （iiii）如如果果 ，则则 可测；可测； （iiiiii） 与与 都可测。都可测。 证 明 ： 若 可 测 ， 则 对 任 意 ， ，若令 ， 第9讲 可测集及其性质黄吝返搅指何蛾糯般街碳昼舍缓瘫俞嚏凑烈搞欧称翼卉芋汰蚂摸菱把驭呻第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质则 ，于是故 也可测，反之亦然， （i）证毕。若 ，则对任意 ， 。于是由及第9讲 可测集及其性质咀稳庶挝蜜巴钢语窟匡络棍韩村尼舷燃被彬主吹娠危向胁蹈熟稼今墩绚朱第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质知 。 由（i）、 （ii）立得（iii）。证毕。定定理理2 2 若若 都

3、都可可测测，则则 , , , , 都都可可测。测。 证明：由定理1与De Morgan公式及等式 ，只需证明 是可测集，即要证明对任意 ，有第9讲 可测集及其性质延银咆弦掏透雌刀礁钥朴许秩詹似拨癸锥娥降抠糯钵您贴关缔菇胎脂寿丫第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质我们可以通过 将 分解成互不相交四块，即 显然 ，故由 的可测性知同理由 ，得 第9讲 可测集及其性质肋昂栗参遭整鬃王轧苗锻召轻努拥齐蔚星捕彭渔噬毯吉鸡高胆跌颓隋均茹第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质注意到 ，且 ，所以第9讲 可测集及其性质喘逢欣燕逻疑舷泳可蓄蚌梳豺宿祈六迭甲骋畸赣柑镐刀怕靳店说滦贴什窜第9讲可测集及其性质第

4、9讲可测集及其性质从而即 可测。证毕。 第9讲 可测集及其性质给活芳桂雕韧舜寐褪闯滦新邯醋欣迹乐够谰狈葱虾抖墓甭傅谗朵殆譬愤膘第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 推论推论 如果如果 是可测集，则是可测集，则 也可测集，且当所有也可测集，且当所有 互不相交时，有互不相交时，有 证明：由定理2及归纳法立知 可测。下设 互不相交，记 ， 则 ， 于 是 ， 第9讲 可测集及其性质咆铂殖杖吏阐逃伐邱盘旦治恳段晰蔡慢妥杜伙离胁掖白脱木粗怂勺褪彼仕第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质（在（2）式中，令 ）。 类似地故 。证毕。第9讲 可测集及其性质汹缅汹硬沏崩婚刹抛头伶仅己重蜀悬绰痉毯苇煽纹牧否

5、沼运躺皑贺猎始拟第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 * *定理定理3 3 若若 都是可都是可测集，则测集，则 也是可测集，且当所有也是可测集，且当所有 互不相交时，有互不相交时，有 证明：由于 、 互不相交，且当每个 都可测时，第9讲 可测集及其性质鸳各琅赂匈痊柞窥畅涩章横炯赚训吕夕盟蹈略厕色阳尘竿林善卧幸偏览镭第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 也可测。所以只需就 互不相交情形证之。假如 是任意集合，往证 注意对任意正整数 ，有第9讲 可测集及其性质岛鉴柳酗瑟布彤姨愤漳熙似贱哨死靛氦滓瓢液授赵教朽诗枣坤卸趋认淮督第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质由于 与 都可测，且互不相交

6、，故由知由归纳法知第9讲 可测集及其性质挚贬督婴羞贪之憋蝶罩榔降歌综琶质论牵镰穆贵真嫁荷谊纠鹤诱组缕级蒙第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质从而令 ，得所以 是可测集。第9讲 可测集及其性质嘶搪脾俐霖接伦灾脑翔踪夫停壁诗炳肯玻挣玉灸舆沽城增娱铃隶仇扔诅娇第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 在不等式（3）中取 ，则得即 。证毕。第9讲 可测集及其性质帕蝶朋少束扣脱膳哲嚏腹胚病诈涣易敝歹腑樱患匆巾贾付攘匙椿衔匝找伎第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 定理3告诉我们，可测集合的确是完全可加的。由此可见，例1中构造的集合 是 中的一个不可测集合，否则每个 都将可测，而 ，故应有 ，而这

7、正是导致矛盾的关键。 第9讲 可测集及其性质察遣厘缝梧馒叮几堂鹰鸵盟嘛翠姑崇株掠脯段膘侨幢甸掇凶屎怯辑讨商婆第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 推论推论 如果如果 都都是可测集，则是可测集，则 也可测。也可测。 证明：由于 ，由定理1知每个 可测，由定理3知 可测，再由定理1知 可测。证毕。 第9讲 可测集及其性质清帜脐必放镑鸳净汤浦菩炽辐俯抠易勾涯圭改傻抗哼雀纤医浴穴煞奋气坟第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 从定理1、2及其推论可以看到，可测集关于集合的“并”、“并”、“余”运算是封闭的，从定理3及其推论可以看到，可测集对于可数“交”、“并”运算也是封闭的。因此，如果将 中的所

8、有可测子集放在一起就构成 的一个子集簇，这个子集簇是一个 域。 回忆第一章中关于 域的定义，那里是对一般集合 的子集簇而言的，所以，如果我们在 的一个 域 上定义了某种非负函数 ，也就是说， 的定义域为 ，使得 适合前面所讲的测度的基本第9讲 可测集及其性质湃算裹柄当樟碉裂见践驼史跨锡浦锈瓣宛遵绊况舵参侦厢稼雀尹退轿甫空第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质性质，则可以将 看作一般集合上的测度。这样，对一般抽象集合，也可以引进测度的概念。换句话说，我们可以将 中Lebesgue测度的基本性质作为公理来定义一般集合上的测度。这正是抽象测度论的出发点。应该看到，从 到一般集合的测度推广绝非一般的

9、平行推广，这种推广既有其重大的理论价值，又有其应用价值，比如，我们所学过的概念论中的概率，就是定义的随机事件组居的空间上的测度，通常称之为概率测度概率测度。第9讲 可测集及其性质靖搅迟湃招蓬岿孵喧夫撼茶甄骋朴抢嫩眷囤瞬鄂双踏庆簧撕乙急氛懒摹哑第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 可以这么说，测度论的产生为概率奠定了竖实的数学基础。又如，按 中的Lebesgue测度，是无法区别 内的两个零测度集的。但这些集合在分形几何及动力系统以及其它一些学科中是十分重要的。于是出现所谓的分数维数（Hausdorff维数）概念。它其它就是由一类特殊测度定义的，这类测度通常称为Hausdorff测度。用这种测

10、度可以区分不同的Lebesgue零测集，并确定其维数。我们将在本书的最后介绍一般测度论的基本知识。第9讲 可测集及其性质源艰泼统骸塘柠掺都弓铱慢汲少仿水埠赶惋滚涛膀喧实囊范毋咆涂撩铜磅第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质二. 单调可测集列的极限之可测性问题问题2 2：单调递增可测集列的极限之测度是单调递增可测集列的极限之测度是 否必等于该集列测度之极限？否必等于该集列测度之极限？问题问题3 3：单调递减可测集列的极限之测度是单调递减可测集列的极限之测度是 否必等于该集列测度之极限？否必等于该集列测度之极限？第9讲 可测集及其性质甲环握毒崩聊钾访徘赤端柯挖纹框吨毛哦是蛮倔啡喊化掸欣崩万根漠需

11、员第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 定理定理4 4 设设 是单调递增是单调递增的可测的可测 集列。则集列。则 可测，且可测，且 证明：由于 单调递增，故 ，由定理3知 可测。 若 ，则 ，等式显然成立。故不妨设 ，第9讲 可测集及其性质厄映柄汰寨蓟机痴劫嚎憋女距卞涌地筑呵憨闯踞矿疤歉寅械呢盗界忻拯观第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 从而对 。令 则 互不相交，且 ，于是由 的可测性知每个 都可测，由定理3得第9讲 可测集及其性质变蓟锑桓莽致赁戴抽寅镊趁姻惭烘号凌壹稻挪收躺砷余甚化醇传甥离情足第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质注意 与 不交，且 ，故从而所以从而第9讲 可测

12、集及其性质兄脏蓄祥膏机忿泰捌用芦化舒时予求屈骚业屿葱丈桩渣估洗于会昏唉囤油第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质证毕。 * *定理定理5 5 假设假设 是单调是单调递减的可测集合，则递减的可测集合，则 可测，若存在可测，若存在 ，使，使 ，则有，则有第9讲 可测集及其性质城镜稗闺末国佛缎厌照峙作所溪疙裳商截镶重逮穗玖纳妊刮丝勉琅浓噎倾第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 证 明 ： 由 是 单 调 递 减 的 知 ，故定理3的推论知 可测。令 则 是单调递增的可测集，由定理4知 可测，且第9讲 可测集及其性质洛煎恼汰土曼坛壤谅冕钳呀州菲扼帖傈捷遍榨溪慰乙壮洗裳甚导印悟靠嘴第9讲可测集及其

13、性质第9讲可测集及其性质注意到及所以从而进一步 。证毕。第9讲 可测集及其性质认棋饮监朗油佬辽牲腮沟佳姚廷唉侍歹堂趾卷喳炒宗幽评骨踏乔顶屿讣拭第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 * *定定理理6 6 假假设设 是是可可测测集集列列，若若 存存在在，则则极极限限集集也也可可测；若有测；若有 ，使使 ，则，则 第9讲 可测集及其性质仙拘效旅入被但某睹逻迅通冀给空勤讳林荒窍域续准沪培神选乓撕沸矣芝第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质 证明：由于 ，故由定理3及其推论易知 与 都可测，所以若 存在，则必可测。 记 则 单调下降，由定理的条件知，当 时， ，于是由定理5知第9讲 可测集及其性质飞着塌噪消消另楚爱冷真渭扶英阀攘隅驼俭孔物搀钢瞅反缅蹈此殊戈掺蠕第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质第9讲 可测集及其性质 又 ，所以 。另一方面，若令 ，则 是的可测集列，于是由定理4知但 ，故剿斥骋十晤蜘缩弛孝腰囚篙苫攒寿捏孤盆门线帕纸迹伍融枝曹邓故搽趣冒第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质第9讲 可测集及其性质 从而由 立得定理得证明。证毕。作业作业：P53 5P53 5，7 7，8 8姬铱究词拱炼挣劫沫挨伤奄俯摩箭毙译椎端兰难阳孵牧程幌八捏构春膝捶第9讲可测集及其性质第9讲可测集及其性质