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1、 24 常用的连续型分布 二、指数分布 三、正态分布 一、均匀分布 一、均匀分布 均匀分布 均匀分布的分布函数 一、均匀分布 均匀分布 均匀分布的数字特征 二、指数分布 指数分布 指数分布的分布函数 指数分布的数字特征 二、指数分布 指数分布 二、指数分布 指数分布 定理25(指数分布的无记忆性 ) 非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是 对任意正实数r和s 有 例222 某元件的寿命X服从指数分布 已知其平均寿命为1000 h 求3个这样的元件使用1000 h 至少已有一个损坏的概率 由题设知 EX1000 h 于是该指数分布的参数为 从而X的分布函数为 e1 1F(1000) 1PX
2、1000 PX1000 由此得各元件的寿命是否超过1000 h是独立的 于是3个元件使用1 000h都未损坏的概率为e3 从而至少有一个已损坏的概率为1e3 解 三、正态分布 正态分布 正态分布的数字特征 可见 正态分布的两个参数实际上分别为其数学期望和方差 正态分布的期望和方差为 EX DX 2 (276) 说明 正态分布的密度函数的特征 正态分布的“钟型”特征与实际中很多随机变量的“中间大 两头小”的分布规律相吻合 说明 正态分布的密度函数的特征 比如考察一群人的身高 个体的身高作为一个随机变量 其分布的特点是 在平均身高附近的人较多 特别高和特别矮的人较少 说明 正态分布的密度函数的特征
3、 一个班的一次考试成绩、测量误差等均有类似的特征 进一步的理论研究表明 一个变量如果受到大量的独立因素的影响(无主导因素) 则它一般服从正态分布 1 正态分布的分布函数 正态分布的密度函数的特征 标准正态分布 2 标准正态分布表 在附录中列出了标准正态分布的密度函数值表和分布函数值表 但表中只列出x0时0(x)和0(x)的值 这是因为由正态分布的对称性可以导出0(x)和0(x)在x0时的值 标准正态分布表 标准正态分布 2 标准正态分布表 标准正态分布表 对于0(x)而言 直接由其对称性有 0(x)0(x) 因而 当x0时 0(x)0(x) 在表中查0(x)即得0(x) 提示 标准正态分布 2
4、 标准正态分布表 标准正态分布表 对于0(x) 由于0(x)关于x0对称 有 0(x)0(x)1 (280)特 别 地 有0(0)05 当 x0时 由0(x)10(x) 查表得0(x) 即可得0(x) 例223 设XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已 知 PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (1)直接查表可得根据0(x)的对称性 有097725084131081855 0(2)0(1)1PX1960(196) 0975 PX1960(196) 10(196) 109750025 P|X|196P196X196
5、 0(196)0(196) 20(196)1 209751095 P1X20(2)0(1)0(2)1(1) 例223 设XN(0 1) (1)求PX196 PX196 P|X|196 P1X2 (2)已 知 PXa07019 P|x|b09242 PXc02981 求a b c 解 (2)直接查表可得a053P|X|b20(b)109242 由查表即得 b178 查表得c0530(c)10(c)07019 所以c0 根据对称性 有 由于PXc0298105 c053 提示 3 一般正态分布与标准正态分布的关系 定理26(正态分布的线性变换) 设XN( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
6、YN(ab a2 2) 推论1 通常称为X的标准化 推论2 XN( 2)的充要条件是存在一个随机变量N(0 1) 使得X 推论3 设XN( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数 0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有4 一般正态分布的概率计算 一般正态分布与标准正态分布的关系 为一般正态分布的概率计算提供了有效的途径 对于一般正态分布的有关问题 尤其是概率计算 都可以转化为标准正态分布来解决 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (1) 解 (9)PX9 0(2) 097725 (7
7、)PX7 0(2) 10(2) 002275 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (2) 解 09999708413108413 0(4)0(1)10(4)0(1) 例224 已知XN(8 052) 求 (1)(9)(7) (2)P75X10 (3)P|X8|1 (4)P|X9|05 (3) 解 20(2)1 09545 20.977251 (4) 0(3)0(1) 01573 09986508413 例225 某种型号电池的寿命X近似服从正态分布N(2) 已知其寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均为9236% 为使其寿命在x和x之间的概率不小于09 x至少为多大？ 由PX250PX350 解 根据密度函数关于x对称
