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1、定理定理1对称矩阵的特征值为对称矩阵的特征值为实数教学课件实数教学课件定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .证明证明一、对称矩阵的性质一、对称矩阵的性质说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵解解例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值解之得基础解系解之得基础解系 解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化第四步第四步 将特征向量单
2、位化将特征向量单位化于是得正交阵于是得正交阵1.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1) (1)特征值为实数；特征值为实数； (2) (2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3) (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4) (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化思考题思考题思考题解答思考题解答结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！19
