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1、第第2讲命题及其关系、充要条件讲命题及其关系、充要条件1命题的概念命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以在数学中用语言、符号或式子表达的，可以_的的语句叫做命题，其中判断为语句叫做命题，其中判断为_的语句叫真命题，判断为的语句叫真命题，判断为_的语句叫假命题的语句叫假命题考点梳理考点梳理判断真假判断真假真真假假2四种命题及其关系四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性；的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有两个命题互为逆命题或互为否命题
2、，它们的真假性没有关系关系相同相同3充分条件、必要条件与充要条件充分条件、必要条件与充要条件(1)如果如果pq，则，则p是是q的的_，q是是p的的_；(2)如果如果pq，qp，则，则p是是q的的_充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件一个考情解读一个考情解读本节内容是高考的必考内容，主要以本节知识为工具考查本节内容是高考的必考内容，主要以本节知识为工具考查函数、立体几何、解析几何等有关内容，以填空形式出现，函数、立体几何、解析几何等有关内容，以填空形式出现，难度不大，属容易题主要考查：难度不大，属容易题主要考查：命题真假的判定；命题真假的判定；四种命题的转化及真假之间的关系；四种命题
3、的转化及真假之间的关系；充分条件与必要条充分条件与必要条件的判断件的判断从逆否命题谈等价转换从逆否命题谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假这就是常说的命题的真假这就是常说的“正难则反正难则反”【助学助学微博微博】解析解析否命题为否命题为“若实数若实数a满足满足a2，则，则a24”，是真命题，是真命题答案答案真真解析解析由由x2x，得，得x0或或x1，因此由，因此由x2x推不出推不出x1，但由，但由x1可推出可推出
4、x2x，所以，所以“x1”是是“x2x”的充分不必要条件的充分不必要条件答案答案充分不必要充分不必要考点自测考点自测1(2012南通调研南通调研)命题命题“若实数若实数a满足满足a2，则，则a24”的否命题是的否命题是_命题命题(填填“真真”或或“假假”)2(2012镇江调研镇江调研)“x1”是是“x2x”的的_条件条件(填填“充要充要”、“充分不必要充分不必要”、“必要不充分必要不充分” 或或“既不充分又不必要既不充分又不必要”)答案答案必要不充分必要不充分解析解析由由2lg ylg xlg z，可得，可得y2xz，反之，若，反之，若x1，y2，z4，则有，则有y2xz，但，但lg x，lg
5、 z无意义所以应填无意义所以应填充分不必要条件充分不必要条件答案答案充分不必要充分不必要解析解析f(x)(axb)2a2x22abxb2为偶函数为偶函数ab0ab.答案答案充要充要4(2012深圳调研深圳调研)已知已知x，y，zR，则，则“lg y为为lg x，lg z的的等差中项等差中项”是是“y是是x，z的等比中项的等比中项”的的_条件条件5(2012衡阳模拟衡阳模拟)已知已知a，b为非零向量，则为非零向量，则“函数函数f(x)(axb)2为偶函数为偶函数”是是“ab”的的_条件条件否命题是否命题是“若函数若函数f(x)exmx在在(0，)上是减函数，上是减函数，则则m1”，是真命题；，是
6、真命题；逆命题是逆命题是“若若m1，则，则f(x)exmx在在(0，)上是增函数上是增函数”，是假命题；，是假命题；逆否命题是逆否命题是“若若m1，则函数，则函数f(x)exmx在在(0，)上是减函数上是减函数”，是真，是真命题；命题；逆否命题是逆否命题是“若若m1，则函数，则函数f(x)exmx在在(0，)上不是增函数上不是增函数”，是真命题，是真命题考向一四种命题及其真假判断考向一四种命题及其真假判断【例例1】 (2012南京三模南京三模)已知：命题已知：命题“若函数若函数f(x)exmx在在(0，)上是增函数，则上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是_解析解析f(x
7、)exm0在在(0，)上恒成立，则上恒成立，则mex在在(0，)上恒成立，故上恒成立，故m1，这说明原命题正确反之，若，这说明原命题正确反之，若m1，则，则f(x)0在在(0，)上恒成立，故逆命题正确，但对增函上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是数的否定不是减函数，而是“不是增函数不是增函数”，故填，故填.答案答案方法总结方法总结 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念系，要判定命题为
8、假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手的命题的判定要从概念本身入手“若若log2a0，则函数，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内在其定义域内是减函数是减函数”是真命题；是真命题；命题命题“若若a0，则，则ab0”的否命题是的否命题是“若若a0，则，则ab0”；命题命题“若若x，y都是偶数，则都是偶数，则xy也是偶数也是偶数”的逆命题为真的逆命题为真命题；命题；命题命题“若若aM，则，则b M”与命题与命题“若若bM，则，则a M”等价等价【训练训练1】 (2013广州联考广州联考)以下关于命题的说法正确的有以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的
9、序号填写所有正确命题的序号)解析解析对于对于，若，若log2a0log21，则，则a1，所以函数，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，因此在其定义域内是增函数，因此是假命题，故是假命题，故不不正确；对于正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于法正确；对于，原命题的逆命题是，原命题的逆命题是“若若xy是偶数，则是偶数，则x、y都是偶数都是偶数”，是假命题，如，是假命题，如134是偶数，但是偶数，但3和和1均为均为奇数，故奇数，故不正确；对于不正确；对于，不难看出，命题，不难看出，命题“若若aM，则则b M”与命题与命题“若若b
10、M，则，则a M”是互为逆否命题，因此是互为逆否命题，因此二者等价，所以二者等价，所以正确综上可知正确的有正确综上可知正确的有.答案答案考向二充分、必要条件和充要条件的判断考向二充分、必要条件和充要条件的判断答案答案方法总结方法总结 判断判断p是是q的什么条件，需要从两方面分析：一的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件是由条件p能否推得条件能否推得条件q；二是由条件；二是由条件q能否推得条件能否推得条件p.“数列数列an为等比数列为等比数列”是是“数列数列anan1为等比数列为等比数列”的充的充分不必要条件；分不必要条件；“a2”是是“函数函数f(x)|xa|在区间在区间2，)上为增函数上为
11、增函数”的充要条件；的充要条件；“m3”是是“直线直线(m3)xmy20与直线与直线mx6y50互相垂直互相垂直”的充要条件；的充要条件；【训练训练2】 (2013宁波模拟宁波模拟)给出下列命题：给出下列命题：答案答案考向三充要条件的应用考向三充要条件的应用方法总结方法总结 (1)涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决题来解决(2)p的充分不必要条件为的充分不必要条件为q，等价于，等价于p q，p q；p的必要不充分条件为的必要不充分条件为q，等价于
12、，等价于pq，p q.高考对命题的考查，充要条件的判断是重点，至多高考对命题的考查，充要条件的判断是重点，至多出现一道填空题判断充分条件与必要条件的方法有三种，出现一道填空题判断充分条件与必要条件的方法有三种，即即(1)定义法：即先对命题定义法：即先对命题“若若p，则，则q”与与“若若q，则，则p”进进行真假判断，再下结论，其中行真假判断，再下结论，其中p是是q的什么条件，只有四种：的什么条件，只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件又不必要条件(2)集合法：当要判断的命题与方程的根、不等式的集合法：当要判断的命
13、题与方程的根、不等式的解答有关，或描述的对象可以用集合表示时，可以借助集解答有关，或描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断(3)等价法：在判断綈等价法：在判断綈q与綈与綈p之间的关系时，可由原之间的关系时，可由原命题与其逆否命题的等价性转化为判断命题与其逆否命题的等价性转化为判断p与与q的关系的关系热点突破热点突破2 充分条件与必要条件的判断方法充分条件与必要条件的判断方法一、用定义法判断充要条件一、用定义法判断充要条件反思与回顾反思与回顾 第四步第四步：常以方程、不等式、函数等代数知：常以方程、不等式、函数等
14、代数知识及几何知识为载体考查；从能力上主要考查推理判断能识及几何知识为载体考查；从能力上主要考查推理判断能力和论证能力力和论证能力审题与转化审题与转化 第一步第一步：“a0且且a1”是大前提设是大前提设f(x)ax是是R上的减函数时上的减函数时a的取值集合为的取值集合为A，g(x)(2a)x3在在R上上是增函数时是增函数时a的取值集合为的取值集合为B，下面只要判断集合，下面只要判断集合A与与B的包的包含关系即可含关系即可第二步第二步：函数：函数f(x)ax在在R上是减函数的充要条件是上是减函数的充要条件是p：0a0且且a0，a1，即，即0a0且且a1，则，则“函数函数f(x)ax在在R上是减函
15、数上是减函数”是是“函数函数g(x)(2a)x3在在R上是增函上是增函数数”的的_条件条件 规范解答规范解答 第三步第三步：因为：因为AB，所以，所以p是是q充分不必要充分不必要的条件的条件反思与回顾反思与回顾 第四步第四步：用集合法判断充要条件较为直观，：用集合法判断充要条件较为直观，但适用范围有一定的限制但适用范围有一定的限制解析解析a0时，时，abi可能为实数可能为实数0；若；若abi是纯虚数，则是纯虚数，则必有必有a0.所以所以“a0”是是“复数复数abi是纯虚数是纯虚数”必要不充分必要不充分的条件的条件答案答案必要不充分必要不充分高考经典题组训练高考经典题组训练1(2012北京卷改编
16、北京卷改编)设设a，bR，“a0”是是“复数复数abi是是纯虚数纯虚数”_条件条件答案答案必要不充分必要不充分解析解析若若0，则，则f(x)cos(x)cos x为偶函数，反之，为偶函数，反之，若若f(x)cos(x)为偶函数，则为偶函数，则k(kZ)所以所以“0”是是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数为偶函数”的充分不必要条件的充分不必要条件答案答案充分不必要充分不必要解析解析由由，m，b，bm，可得，可得b.又又b，所以，所以ba.反之，举反例可知不成立反之，举反例可知不成立所以所以“”是是“ab”的充分不必要条件的充分不必要条件答案答案充分不必要充分不必要3(2012天津卷改编天津卷
17、改编)设设R，则，则“0”是是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数为偶函数”的的_条件条件4(2012安徽卷改编安徽卷改编)设平面设平面与平面与平面相交于直线相交于直线m，直线，直线a在在平面平面内，直线内，直线b在平面在平面内，且内，且bm，则，则“”是是“ab”的的_条件条件解析解析由条件可得由条件可得f(x)在在1，0上为减函数当上为减函数当x3，4时，时，x41，0，f(x)f(x4)，所以，所以f(x)在在3，4上上是减函数是减函数反之，当反之，当x3，4时，时，f(x)是减函数，由是减函数，由x41，0，f(x)f(x4)，所以，所以f(x)在在1，0上是减函数于是由上是减函数于是由f(x)是偶函数知是偶函数知f(x)在在0，1上是增函数上是增函数答案答案充要充要5(2012重庆卷改编重庆卷改编)已知已知f(x)是定义在是定义在R上的偶函数，且以上的偶函数，且以2为周期的周期函数则为周期的周期函数则“f(x)为为0，1上的增函数上的增函数”是是“f(x)为为3，4上的减函数上的减函数”的的_条件条件
