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1、 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定Wednesday, July 24, 2024材料力学第12章 能量法与超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 第十二章第十二章 能量法与超静定问题能量法与超静定问题12-1 概述概述12-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算12-3 单位荷载法单位荷载法 12-4 能量法解超静定问题能量法解超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定12-1 概述概述 一、能量方法一、能量方法二、基本原理二、基本原理能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意能量法是求位移的普
2、遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。方向的位移。 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定12-2 杆件杆件变形能的计算变形能的计算1 1、轴向拉压的变形、轴向拉压的变形能能能能2 2、扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲3 3、 弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能MMe e MMe eMMe e MMe e 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定4 4、组合变形的变形能组合变形的变形能 二、二、变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 克拉贝隆原理克拉贝隆原理（只
3、限于线性结构）（只限于线性结构）F-广义力广义力包括力和力偶包括力和力偶-广义位移广义位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定12-3 单位荷载法单位荷载法 莫尔定理莫尔定理一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导求任意点求任意点A的位移的位移 f A F1F2A 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 A变形能为变形能为AF1F2=1F0AF1F2fAF F0 0=1=11、先在先在A点作用单位点作用单位力力F0 ，再作用再作用F1, F2力力， 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定2 2
4、、三个力同时作用三个力同时作用时时时时任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩任意截面的弯矩：变形能：变形能：变形能：变形能： 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定(Mohr(Mohr积分积分积分积分) )二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理注意：上式中注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力对应的广义力. . 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定B例题例题1 1 图示外伸梁，其抗弯刚度为图示外伸梁，其抗弯刚度为 EI. . 用单位载荷法求用单位载荷法求 C 点点的挠度和转
5、角的挠度和转角. .ACqF=qaa2a 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定BAABCa2a1解：解：解：解：xABAB: :（1）求截面的挠度（在求截面的挠度（在 c 处加一单位力处加一单位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/2 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定BC:BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定BABCBC: :ABAB: :(2) (2) 求求 C C 截面的转角截面的转角 ( ( 在在 c c 处加一单位力偶）处加一单位力偶）1xxABCa2a
6、xCqF=qaa2aRAx1/2a（ ） 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例题例题2 图示为一水平面内的曲杆，图示为一水平面内的曲杆，B 处为一刚性节点处为一刚性节点, ABC=90在在 C 处承受竖直力处承受竖直力 F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是 EI 和和 GIp ，求求 C 点竖向的位移点竖向的位移.ABCFab 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定xx解：在解：在 C C点点点点加竖向单位加竖向单位力力力力BCBC: :ABCFabABC1 1abxxABAB: : 河南理工大学土木工程学院 材料
7、力学 第十二章 能量法与超静定xxABCFabABC1 1abxx 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例题例题3 刚架受力如图，求刚架受力如图，求A A截面的垂直位移，水平位移及转角截面的垂直位移，水平位移及转角. .ABCllq 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定ABAB：BCBC：解：求解：求A点铅垂位移（在点铅垂位移（在A点加竖向单位力）点加竖向单位力）xxxxABCllqABCll1 1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定求求A点水平位移（在点水平位移（在A点加水平单位力）点加水平单位力）ABAB：BCBC：
8、xxxxABCllqABCll1 1 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定xx求求A点的转角（在点的转角（在A点加一单位力偶）点加一单位力偶）ABAB：BCBC：xxABCllqABCll1（ ） 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例题例题4 计算图计算图（a）所示开口圆环在所示开口圆环在 P力作用下切口的张开量力作用下切口的张开量 AB . EI=常数常数.BAORFF(a) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定BARPFBARP1解：解：解：解：OO 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例题例
9、题例题例题5 5 图示为一简单桁架，其各杆的图示为一简单桁架，其各杆的图示为一简单桁架，其各杆的图示为一简单桁架，其各杆的EIEI相等相等相等相等. . 在图示荷载作在图示荷载作在图示荷载作在图示荷载作用下，用下，用下，用下， A A，C C 两节点间的相对位移两节点间的相对位移两节点间的相对位移两节点间的相对位移. .FaaFABCDE132456789a 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位荷载法为桁架求位移的单位荷载法为桁架求位移的单位荷载法为桁架求位移的单位荷载法为11 河
10、南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定1 12 23 34 45 56 67 78 8杆件编号杆件编号杆件编号杆件编号9 90 0- -F F- -F F- -F FF F- -2 2F F0 01 10 00 00 00 0a aa aa aa aa aa aa a0 02 2FaFa0 00 00 00 0A A，C C 两点间的距离缩短两点间的距离缩短两点间的距离缩短两点间的距离缩短. . 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定14-2 用力法解静不定结构用力法解静不定结构A AB BlX X1 1(1)(1)去掉多余约束代之约束反去掉多余约束代
11、之约束反(2)(2) 力，得基本静定系力，得基本静定系X X1 1 为多余反力为多余反力例题例题6 如图所示，梁如图所示，梁EI为常数，试求支座反力为常数，试求支座反力. .q qA Aq qB B(2) (2) 变形条件：变形条件： B B点的点的 挠度为挠度为(a) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定若用若用 11 表示表示沿沿X1方向的单位力在其作点引起的方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移方向的位移由于由于X X1 1作用作用， B B点的沿点的沿X X1 1方向位移是方向位移是 1111 的的 X X1 1 倍倍利用上式解出利用上式解出 X X1 1A
12、Aq qB B(a)式成为式成为力法正则方程力法正则方程1 1A Aq qB B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定(3) 用莫尔定理求用莫尔定理求 1FX X1 1A Aq qB Bq qA AB Bx x1 1A AB Bx x 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定1 1(4) 用莫尔定理求用莫尔定理求 111 1A AB BA AB Bx xx x于是于是 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例题例题例题例题7 7 轴线为四分之一圆周的曲杆轴线为四分之一圆周的曲杆轴线为四分之一圆周的曲杆轴线为四分之一圆周的曲杆A
13、A端固定，端固定，端固定，端固定，B B端铰支（图端铰支（图端铰支（图端铰支（图a).a).在在在在F F作用下，试求曲杆的弯矩图作用下，试求曲杆的弯矩图作用下，试求曲杆的弯矩图作用下，试求曲杆的弯矩图. . 设曲杆横截面尺寸远小于轴设曲杆横截面尺寸远小于轴设曲杆横截面尺寸远小于轴设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径，可以借用计算直杆变形的公式线半径，可以借用计算直杆变形的公式线半径，可以借用计算直杆变形的公式线半径，可以借用计算直杆变形的公式. . /4/4 /4/4A AB Ba aF F解：曲杆为一次超静定，解除多与支座解：曲杆为一次超静定，解除多与支座解：曲杆为一次超静定，解除多与支座解：曲
14、杆为一次超静定，解除多与支座B B，得到，得到，得到，得到A A端固定、端固定、端固定、端固定、B B端为自由端的基本静定系，多余约束力为端为自由端的基本静定系，多余约束力为端为自由端的基本静定系，多余约束力为端为自由端的基本静定系，多余约束力为X X1 1（图（图（图（图b).b).(a)(a) /4/4A AB BF FX X1 1(b)(b) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 当基本静定系上只作用外载荷当基本静定系上只作用外载荷当基本静定系上只作用外载荷当基本静定系上只作用外载荷F F时（图时（图时（图时（图c)c)，弯矩为弯矩为弯矩为弯矩为当在当在当在当在B
15、 B点沿点沿点沿点沿X1X1方向作用一单位力时（图方向作用一单位力时（图方向作用一单位力时（图方向作用一单位力时（图d)d)，弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为1 1 a aA AB BF F(c)(c)A AB B(d)(d) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定应用莫尔积分，并设曲杆的应用莫尔积分，并设曲杆的应用莫尔积分，并设曲杆的应用莫尔积分，并设曲杆的EIEI为常量，为常量，为常量，为常量，将将将将 1 1F F和和和和 1111代入代入代入代入解得解得解得解得 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定曲杆任一横截面上的弯矩曲杆任一横截
16、面上的弯矩曲杆任一横截面上的弯矩曲杆任一横截面上的弯矩 /4/4 /4/4A AB Ba aF F /4/4A AB Ba aF F(e)(e) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例题例题例题例题8 8 计算图计算图计算图计算图(a)(a)中所示桁架各杆的内力中所示桁架各杆的内力中所示桁架各杆的内力中所示桁架各杆的内力. . 设各杆的材料相同，设各杆的材料相同，设各杆的材料相同，设各杆的材料相同，横截面面积相等横截面面积相等横截面面积相等横截面面积相等. .解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的解：
17、桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的. . 以杆件以杆件以杆件以杆件4 4为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力X X1 1，得到图，得到图，得到图，得到图(b)(b)所示的相当系统所示的相当系统所示的相当系统所示的相当系统. . a4 43 35 51 12 26 6aF FX X1 1X X1 1(a(a) )4 43 35 51 12 26 6F F(b(b) ) 河南理工大学
18、土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 1 1F F表示杆表示杆表示杆表示杆4 4切口两侧截面因载荷而引起的沿切口两侧截面因载荷而引起的沿切口两侧截面因载荷而引起的沿切口两侧截面因载荷而引起的沿X X1 1方向的相对位方向的相对位方向的相对位方向的相对位移；移；移；移； 1111表示切口两侧截面因单位力而引起的沿表示切口两侧截面因单位力而引起的沿表示切口两侧截面因单位力而引起的沿表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X X1 1方向的相对方向的相对方向的相对方向的相对位移（图位移（图位移（图位移（图d). d). 力法正则方程力法正则方程力法正则方程力法正则方程1 11 14 43 35
19、 51 12 26 64 43 35 51 12 26 6F F(c(c) )(d(d) ) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定由图由图由图由图(c)(c)求出基本静定系在求出基本静定系在求出基本静定系在求出基本静定系在F F作用下各杆的内力作用下各杆的内力作用下各杆的内力作用下各杆的内力F FN Ni i由图由图由图由图(d)(d)求出在单位力作用下各杆的内力求出在单位力作用下各杆的内力求出在单位力作用下各杆的内力求出在单位力作用下各杆的内力F FN Ni i1 12 23 34 45 56 6杆件编号杆件编号杆件编号杆件编号- -F/2F/2a a- -FaFaa
20、 a1 1- -F F- -F F0 00 00 01 11 11 1a aa aa a- -FaFa0 00 00 0a aa aa a- -F/2F/2F/2F/2F/2F/2 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定应用莫尔定理应用莫尔定理应用莫尔定理应用莫尔定理代入方程后求得代入方程后求得代入方程后求得代入方程后求得由叠加原理可知由叠加原理可知由叠加原理可知由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力桁架内任一杆件的实际内力桁架内任一杆件的实际内力桁架内任一杆件的实际内力 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例例9 试求图示刚架的全部约束反力，刚架
21、试求图示刚架的全部约束反力，刚架EIEI为常数为常数. .解：解： 刚架有两个多余约束，刚架有两个多余约束， 为二次静不定结构为二次静不定结构; ; 选取并去除多余约束，代以多选取并去除多余约束，代以多 余约束反力；余约束反力；X X2 2X X1 1 建立力法正则方程建立力法正则方程 计算系数计算系数 ij ij和自由项和自由项 iPiP用莫尔定理求得用莫尔定理求得qa aa aA AB BqA AB B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定1 11 1x x1 1x x1 1x x1 1x x2 2x x2 2x x2 2A AB BqA AB BA AB B 河南
22、理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定 求多余约束反力求多余约束反力将上述结果代入力法正则方程可得将上述结果代入力法正则方程可得 求其它支反力求其它支反力 由平衡方程得其它支反力，全由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中部表示于图中. .qA AB B 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定一、对称结构的对称变形与反对称变形一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构则称此结构为对称结构. . 14-3 对称及反对称性质的应用对称及反对
23、称性质的应用E E1 1I I1 1E E1 1I I1 1EIEI对对对对称称称称轴轴轴轴E E1 1I I1 1E E1 1I I1 1EIEI对对对对称称称称轴轴轴轴E E1 1I I1 1E E1 1I I1 1EIEI对对对对称称称称轴轴轴轴 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定A AC CD DF F(b)(b)例题例题10 在等截面圆环直径在等截面圆环直径ABAB的两端，沿直的两端，沿直径作用方向相反的一对径作用方向相反的一对F力（图力（图a）. .试求试求AB直径的长度变化直径的长度变化. .解：沿水平直径将圆环切开解：沿水平直径将圆环切开( (图图b)
24、 )，由载荷，由载荷的对称性，截面的对称性，截面C和和D上的剪力等于零，只上的剪力等于零，只有轴力有轴力FN和弯矩和弯矩M0. .利用平衡条件求出利用平衡条件求出 FN=F/2，只有，只有 M0 为多余为多余约束力约束力. .F FF FA AB BC CD Da aF FN NF FN N(a)(a)MM0 0MM0 0 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定由图由图(d)(d)和图和图(e)(e)求出求出根据对称性，只研究圆环的四分之一根据对称性，只研究圆环的四分之一( (图图c)c)，变形协调条件为变形协调条件为F FN NX X1 1A AD D(c)(c)F F
25、/2/2A AD D(d)(d) 1 1 A AD D(e)(e) 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定将将 1F和和 11代入变形协调方程中，解得代入变形协调方程中，解得任意截面上的弯矩任意截面上的弯矩 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定例题例题11 试求图示刚架的全部约束反试求图示刚架的全部约束反力，并作弯矩图，刚架力，并作弯矩图，刚架EI为常数为常数. .解：图示刚架有三个多余未知力解：图示刚架有三个多余未知力. . 但但由于结构是对称的，而载荷反对称，由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解列出一个正则方程求解. .用莫尔定理求用莫尔定理求 1F和和 11. .X X1 1X X1 1B BF FF FF FF Fa aa aA AC C 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定则则由平衡方由平衡方程求得其程求得其他支反力：他支反力：MMB BF FR RBxBxF FR RByByF FF FA AB BC CMMA AF FR RAyAyF FR RAxAx代入正则方程代入正则方程 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第十二章 能量法与超静定
