《传染病预测监控的SIR模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《传染病预测监控的SIR模型（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、传染病预测监控的SIR模型n n结合图形，推导、证明，结合图形，推导、证明，结合图形，推导、证明，结合图形，推导、证明，t t t t趋于无穷时的变化情况：趋于无穷时的变化情况：趋于无穷时的变化情况：趋于无穷时的变化情况：n n 1 1 1 1、不管初始条件如何，病人比例、不管初始条件如何，病人比例、不管初始条件如何，病人比例、不管初始条件如何，病人比例i i i i最终趋于最终趋于最终趋于最终趋于0 0 0 0；n n 2 2 2 2、最终未被感染的健康者比例、最终未被感染的健康者比例、最终未被感染的健康者比例、最终未被感染的健康者比例s_s_s_s_是如下方程在是如下方程在是如下方程在是如
2、下方程在(0,1/)(0,1/)(0,1/)(0,1/)内的根：内的根：内的根：内的根： 0=s0+i0-s+1/ln(s/s0) 0=s0+i0-s+1/ln(s/s0) 0=s0+i0-s+1/ln(s/s0) 0=s0+i0-s+1/ln(s/s0)；传染病预测监控的SIR模型n n3 3 3 3、1/1/1/1/是一阀值，如果初始未被感染的健康者比例是一阀值，如果初始未被感染的健康者比例是一阀值，如果初始未被感染的健康者比例是一阀值，如果初始未被感染的健康者比例s01/s01/s01/s01/，那么病人比例，那么病人比例，那么病人比例，那么病人比例i i i i会先增加，当会先增加，当
3、会先增加，当会先增加，当s s s s到达到达到达到达1/1/1/1/时，时，时，时，i_i_i_i_到达最大值到达最大值到达最大值到达最大值s0+i0-1/1+ln(s0)s0+i0-1/1+ln(s0)s0+i0-1/1+ln(s0)s0+i0-1/1+ln(s0)，此后，此后，此后，此后i i i i与与与与s s s s都都都都递减趋于极限值；递减趋于极限值；递减趋于极限值；递减趋于极限值；n n 如果如果如果如果s01/s01/s01/s01/，那么病人比例，那么病人比例，那么病人比例，那么病人比例i i i i与与与与s s s s都递减趋于极限都递减趋于极限都递减趋于极限都递减趋
4、于极限值。值。值。值。传染病预测监控的SIR模型n n模型应用：模型应用：模型应用：模型应用：n n 1 1 1 1、 1/ 1/ 1/ 1/是一阀值，是一阀值，是一阀值，是一阀值，=/=/=/=/，卫生水平越高，卫生水平越高，卫生水平越高，卫生水平越高，日接触率日接触率日接触率日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越小；医疗水平越高，日治愈率越小；医疗水平越高，日治愈率越小；医疗水平越高，日治愈率越大，越大，越大，越大，这是控制传染病蔓延的主要手段；这是控制传染病蔓延的主要手段；这是控制传染病蔓延的主要手段；这是控制传染病蔓延的主要手段；n n 2 2 2 2、 s=s/ s=s/ s=s/
5、s=s/是传染期内一个病人传染的健康是传染期内一个病人传染的健康是传染期内一个病人传染的健康是传染期内一个病人传染的健康者的平均数者的平均数者的平均数者的平均数( ( ( (交换数交换数交换数交换数) ) ) )，当，当，当，当s01/s01/s01/s01/，即，即，即，即s01s01s01s01，交，交，交，交换数不超过换数不超过换数不超过换数不超过1 1 1 1，病人比例，病人比例，病人比例，病人比例i i i i不会增加，传染病不会蔓不会增加，传染病不会蔓不会增加，传染病不会蔓不会增加，传染病不会蔓延；延；延；延；n n 3 3 3 3、忽略病人的初始比例、忽略病人的初始比例、忽略病人
6、的初始比例、忽略病人的初始比例i0i0i0i0，那么，那么，那么，那么r0=1-s0r0=1-s0r0=1-s0r0=1-s0，传染，传染，传染，传染病不会蔓延的条件等价于病不会蔓延的条件等价于病不会蔓延的条件等价于病不会蔓延的条件等价于r01-1/,r01-1/,r01-1/,r01-1/,通过集体免疫通过集体免疫通过集体免疫通过集体免疫提高初始时刻移出者的比例提高初始时刻移出者的比例提高初始时刻移出者的比例提高初始时刻移出者的比例r r r r，可制止传染病的蔓延；，可制止传染病的蔓延；，可制止传染病的蔓延；，可制止传染病的蔓延；传染病预测监控的SIR模型n n模型应用：模型应用：模型应用
7、：模型应用： 4 4 4 4、最终未被感染的健康者比例、最终未被感染的健康者比例、最终未被感染的健康者比例、最终未被感染的健康者比例s_s_s_s_和病人比例的和病人比例的和病人比例的和病人比例的最大值最大值最大值最大值i_i_i_i_可做为可做为可做为可做为传染病蔓延程度的度量指标传染病蔓延程度的度量指标传染病蔓延程度的度量指标传染病蔓延程度的度量指标； 5 5 5 5、 =/ =/ =/ =/是一重要参数，而实际上是一重要参数，而实际上是一重要参数，而实际上是一重要参数，而实际上、又又又又很难估计，很难估计，很难估计，很难估计， 当一次传染病结束之后通过当一次传染病结束之后通过当一次传染病
8、结束之后通过当一次传染病结束之后通过s0s0s0s0、s_s_s_s_、i0i0i0i0可以估计可以估计可以估计可以估计： =ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_-i0)=ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_-i0)=ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_-i0)=ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_-i0) ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_)ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_)ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_)ln(s0)-ln(s_)/(s0-s_) 当同样传染病再发生时，如果估计当同样传染病再发生时，如果估计当同样传染病再发生时，如果估计当同样传染病再
9、发生时，如果估计、变化不变化不变化不变化不大，可用此大，可用此大，可用此大，可用此分析新病情的蔓延过程。分析新病情的蔓延过程。分析新病情的蔓延过程。分析新病情的蔓延过程。传染病预测监控模型的验证n n背景：背景：背景：背景：n n 1903 1903 1903 1903年年年年18181818月，印度广阔地区发生瘟疫，死亡月，印度广阔地区发生瘟疫，死亡月，印度广阔地区发生瘟疫，死亡月，印度广阔地区发生瘟疫，死亡60606060万万万万人，其中旁遮普邦死亡人，其中旁遮普邦死亡人，其中旁遮普邦死亡人，其中旁遮普邦死亡13131313万人。万人。万人。万人。n n 19041905 19041905
10、 19041905 19041905年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每周死亡瘟疫，平均每周死亡瘟疫，平均每周死亡瘟疫，平均每周死亡1.81.81.81.8万人，有几周超过万人，有几周超过万人，有几周超过万人，有几周超过4 4 4 4万人，计死亡万人，计死亡万人，计死亡万人，计死亡100100100100万人。万人。万人。万人。n n 19061907 19061907 19061907 19061907年，印度瘟疫继续流行，死亡年，印度瘟疫继续流行，死亡年，印度瘟疫继续流行，死亡年
11、，印度瘟疫继续流行，死亡167.27167.27167.27167.27万万万万人。人。人。人。 1908 1908 1908 1908年，印度持续长时间的瘟疫开始趋于平息，死亡年，印度持续长时间的瘟疫开始趋于平息，死亡年，印度持续长时间的瘟疫开始趋于平息，死亡年，印度持续长时间的瘟疫开始趋于平息，死亡14.8714.8714.8714.87万人。万人。万人。万人。 n n 当时有关部门记录了每天的死亡人数的数字，当时有关部门记录了每天的死亡人数的数字，当时有关部门记录了每天的死亡人数的数字，当时有关部门记录了每天的死亡人数的数字，KermackKermackKermackKermack在在在
12、在40404040年代用这些数据对年代用这些数据对年代用这些数据对年代用这些数据对SIRSIRSIRSIR模型进行验证，将死亡模型进行验证，将死亡模型进行验证，将死亡模型进行验证，将死亡人数视为移出人数处理。人数视为移出人数处理。人数视为移出人数处理。人数视为移出人数处理。传染病预测监控模型的验证n n根据获取数据的处理根据获取数据的处理: :n n将模型转化为用移出者比例将模型转化为用移出者比例r r和易感染者比例和易感染者比例s s表示：表示： dr/dt=(1-r-s), ds/dt=-sdr/dtdr/dt=(1-r-s), ds/dt=-sdr/dt 进一步得：进一步得： s(t)=
13、s0exp(-r(t); s(t)=s0exp(-r(t); dr/dt=(1-r- s0exp(-r(t) dr/dt=(1-r- s0exp(-r(t) 对对exp(-r(t)exp(-r(t)进行进行TaylorTaylor展开，取前三项，展开，取前三项，求得求得dr/rtdr/rt、r(t)r(t)的近似表达，的近似表达，与实际数据相当吻合。与实际数据相当吻合。传染病预测监控模型的验证n n模型验证模型验证模型验证模型验证( ( ( (续续续续) ) ) )： 被传染总比例被传染总比例被传染总比例被传染总比例i.i.i.i.的估计：的估计：的估计：的估计：i.=s0-s_i.=s0-s
14、_i.=s0-s_i.=s0-s_ 代入代入代入代入s_s_s_s_的极限表达式，得的极限表达式，得的极限表达式，得的极限表达式，得 i.+i0+ln(1-i./s0)/=0 i.+i0+ln(1-i./s0)/=0 i.+i0+ln(1-i./s0)/=0 i.+i0+ln(1-i./s0)/=0 将将将将ln(1-i./s0)ln(1-i./s0)ln(1-i./s0)ln(1-i./s0)进行进行进行进行TaylorTaylorTaylorTaylor展开，取前两项，并当展开，取前两项，并当展开，取前两项，并当展开，取前两项，并当i0i0i0i0近似等近似等近似等近似等于于于于0 0 0
15、 0时，得时，得时，得时，得 i.=2s0(s0-1/) i.=2s0(s0-1/) i.=2s0(s0-1/) i.=2s0(s0-1/) 令令令令=s0-1/(=s0-1/(=s0-1/(=s0-1/(阀值差阀值差阀值差阀值差) ) ) )，当当当当s01s01s01s01时，时，时，时，i.2i.2i.2i.2传染病的预测与监控n n模型评价：模型评价：模型评价：模型评价：n n 医学模型的目的：医学模型的目的：医学模型的目的：医学模型的目的：n n 描述传播过程，分析变化规律，描述传播过程，分析变化规律，描述传播过程，分析变化规律，描述传播过程，分析变化规律，n n 预测高潮时刻，度量
16、蔓延程度，预测高潮时刻，度量蔓延程度，预测高潮时刻，度量蔓延程度，预测高潮时刻，度量蔓延程度，n n 探索控制手段探索控制手段探索控制手段探索控制手段n n思考：能否将死亡人数与康复人数别离？思考：能否将死亡人数与康复人数别离？思考：能否将死亡人数与康复人数别离？思考：能否将死亡人数与康复人数别离？n n 面对面对面对面对SARSSARSSARSSARS与禽流感都有哪些数学工具在使与禽流感都有哪些数学工具在使与禽流感都有哪些数学工具在使与禽流感都有哪些数学工具在使用？用？用？用？n n 2003 2003 2003 2003年中国大学生数学建模竞赛赛题：年中国大学生数学建模竞赛赛题：年中国大学生数学建模竞赛赛题：年中国大学生数学建模竞赛赛题：SARSSARSSARSSARS的传播的传播的传播的传播n n
