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1、上一页上一页下一页下一页;.1概率论与数理统计习题概率论与数理统计习题上一页上一页下一页下一页;.2第一章第一章 随机事件及概率随机事件及概率上一页上一页下一页下一页;.3P P2323习题习题1.3 试证试证证明：由概率的加法公式得任意的两个事件证明：由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有有故有故有上一页上一页下一页下一页;.4P P2323习题习题1.7 在区间在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于两数之和小于6/56/5”的概率。的概率。解：用解：用x,y分别表示从分别表示从(0,1)中取出的中取出的2个数，个数，则样本空间则样本空间为正方形
2、：为正方形：如图所示，如图所示，K为区域：为区域：K所以由几何概率得所以由几何概率得: :x+y=6/5上一页上一页下一页下一页;.5解：设解：设A=第一次取得红球第一次取得红球 ，B=第二次取得红球第二次取得红球 P23习题习题1.9 袋中有袋中有1010个球，其中个球，其中8 8个红球，个红球，2 2个白球，现从中任取两次，每次一球，个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：作不放回抽样，求下列事件的概率： (1) (1) 两次都取红球；两次都取红球； (2) (2) 两次中一次取得红球，另一次取得白球；两次中一次取得红球，另一次取得白球； (3) (3) 至少一次
3、取得白球；至少一次取得白球； (4) (4) 第二次取得白球。第二次取得白球。上一页上一页下一页下一页;.6解解 (1) P(AB)=P(A)P(B|A)上一页上一页下一页下一页;.7解：设解：设A=甲译出密码甲译出密码,B =乙译出密码乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4则则A,B,C相互独立，且相互独立，且C=丙译出密码丙译出密码.则此密码被译出的概率为则此密码被译出的概率为P23习题习题1.10 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。试求此密码
4、被译出的概率。上一页上一页下一页下一页;.8P23习题习题1.11 玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假设各箱含只，假设各箱含0 0，1 1，2 2只残次品的概率相只残次品的概率相应为应为0.80.8，0.10.1和和0.10.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看而顾客随机地查看4 4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯, ,否则退回，求：否则退回，求：(1) (1) 顾客买下该箱的概率；顾客买下该箱的概率； (2) (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有
5、残次品的概率。在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。上一页上一页下一页下一页;.9解解 (1)(1)设设Ai 一箱玻璃杯中含有一箱玻璃杯中含有i个残次品个残次品,i=0,1,2;B=从一箱玻璃杯中任取从一箱玻璃杯中任取4只无残次品只无残次品,由题设可知由题设可知P(A0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.根据全概率公式得根据全概率公式得上一页上一页下一页下一页;.10P23习题习题1.12 设设8 8支枪中有支枪中有3 3支未经试射校正，支未经试射校正， 5 5支已经试射校正，一射手用校支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为正的枪射击时，中靶概率为0.80.
6、8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.30.3，现假定从现假定从8 8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。率。上一页上一页下一页下一页;.11解解 设设A 经过校正的枪经过校正的枪,C=射击中靶射击中靶,由题设可知由题设可知P(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.根据全概率公式得根据全概率公式得B 未未经校正的枪经校正的枪, , 上一页上一页下一页下一页;.12P23习题习题1.13 对飞机进行对飞机进行3 3次独立射击次独立
7、射击, , 第第1 1次射击的命中率为次射击的命中率为0.4、第、第2次为次为0.5、第、第3次次为为0.7. 飞机被击中飞机被击中1 1次而坠落的概率为次而坠落的概率为0.2,被击中被击中2 2次而坠落的概率为次而坠落的概率为0.6, 若被击中若被击中3 3次飞机必坠落次飞机必坠落, ,求射击求射击3 3次使飞机坠落的概率次使飞机坠落的概率. .设设B=飞机坠落飞机坠落，Ai=飞机被击中飞机被击中i次次, i=1,2,3由全概率公式由全概率公式 则则 B=A1B+A2B+A3B,解解: :依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 P(B)=P(A
8、1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)上一页上一页下一页下一页;.13可求得可求得: : 为求为求P(Ai ) , 将数据代入计算得将数据代入计算得: :设设 Hi=飞机被第飞机被第i次射击击中次射击击中, i=1,2,3 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.上一页上一页下一页下一页;.14于是于是=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机坠落的概率为即飞机坠落的概率为0.458.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)上一页上一页下一页下一页;
9、.15P24习题习题1.14 某人每次射击的命中率为某人每次射击的命中率为0.6，独立射击，独立射击5次，求：次，求：（1）击中击中3 3次的概率；次的概率；（2 2）至少有）至少有1 1次未击中的概率次未击中的概率. .解解: :（1)1)(2) (2) 考虑至少有考虑至少有1 1次未击中的对立事件，次未击中的对立事件，即每次都击中，其概率为：即每次都击中，其概率为： 故至少有故至少有1 1次未击中的概率为次未击中的概率为上一页上一页下一页下一页;.16P24习题习题1.15 某车间有某车间有1212台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设
10、每台车床在任一时刻出故障的概率为在任一时刻出故障的概率为0.30.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有定时刻有3 3台以上车床发生故障的概率台以上车床发生故障的概率. .解：设解：设A=任一指定时刻有任一指定时刻有3 3台以上车床发生故障台以上车床发生故障,又因为又因为则则A=在任一指定时刻有少于在任一指定时刻有少于3 3台车床发生故障台车床发生故障 上一页上一页下一页下一页;.17有有0 0台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为有有1 1台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为有有2 2台车床发生故障的概率为台车床发生故
11、障的概率为故故上一页上一页下一页下一页;.18P24习题习题1.16 若若1 1人负责维修同类型的设备人负责维修同类型的设备2020台，设各台设备的工作是相互独台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是立的，在一天内发生故障的概率都是0.010.01，维修用不了多长时间，求设备发，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若生故障而不能得到及时处理的概率，若3 3人共同负责维修人共同负责维修8080台呢？台呢？上一页上一页下一页下一页;.19解解: (1) 设设A=设备发生故障而不能得到及时处理设备发生故障而不能得到及时处理,则则A=在任一时刻至多有在任一时
12、刻至多有1 1台设备发生故障台设备发生故障 故故上一页上一页下一页下一页;.20解解: (2) 设设A=设备发生故障而不能得到及时处理设备发生故障而不能得到及时处理,则则A=在任一时刻至多有在任一时刻至多有3 3台设备发生故障台设备发生故障 故故上一页上一页下一页下一页;.21第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布上一页上一页下一页下一页;.22P43习题习题2.3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独
13、立，且红绿两种信号显示的概率为1/21/2。以。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的概率分布与的概率分布与E1/(1+X)。上一页上一页下一页下一页;.23解解: : X的取值为的取值为0,1, 2, 3PX=0=1/2X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8(2) E1/(X+1)=11/2+1/21/4+1/31/8+1/41/8=67/96PX=1=1/21/2=1/4PX=2=1/21/21/2=1/8PX=3=1/21/21/2=1/8上一页上一页下一页下一页;.24P44习题习题2.8 设
14、连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:(:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度的概率密度f(x)解解:(:(1)F(x)在在x=1点连续点连续, ,由右连续性得由右连续性得: :即即: :所以所以, ,A=1(2)P(0.3X0.7)=F(0.7)- -F(0.3)=0.72- -0.32=0.4PX=1=F(1)F(10)= 1A =0上一页上一页下一页下一页;.250， x02x， 0x3,则则P(A)=PX3=2/3设设Y表示三次独立观测中表示三次独立观测中A出现的次数出现的次数,则则YB(3,2/3)上一页上一页下一页下一页;.27所求为所求
15、为PY=2+PY=3=20/27设设Y表示三次独立观测中表示三次独立观测中A出现的次数出现的次数,则则YB(3,2/3)PY2=上一页上一页下一页下一页;.28内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比. .P44习题习题2.17 设随机变量设随机变量X的绝对值不大于的绝对值不大于1 1 ；在事件在事件-1-1X11出现的条件下，出现的条件下， X在在(- -1,1)试求试求: :(2)(2) X取负值的概率取负值的概率P (1)(1)X的分布函数的分布函数F(x) 解解 (1)(2)(2)上一页上一页下一页下一页;.29F(x)的三性
16、质都不满足的三性质都不满足单调减单调减右不连续右不连续未定义未定义上一页上一页下一页下一页;.30分布函数分布函数F(x)三性质三性质F(x)的单调不减的单调不减右连续右连续上一页上一页下一页下一页;.31解解由题设知由题设知设设于是于是(1) 当当当当当当上式中令上式中令 得得还可另还可另法求法求 k推导较复杂先做准备工作推导较复杂先做准备工作.上一页上一页下一页下一页;.32又又于是当于是当 时，时，上一页上一页下一页下一页;.33(2)(2)上一页上一页下一页下一页;.34由题设由题设 得得 附附 k 的另一求法的另一求法上一页上一页下一页下一页;.35P45习题习题2.18 设设XB(
17、2,0.3),求下列随机变量的分布律求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2- -2X 3、Y3=3X- -X2解：解：X的概率分布为的概率分布为PX=k= 0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下：列表如下：X012X2014X2- -2X0- -103X- -X2022概率概率0.490.420.09上一页上一页下一页下一页;.36Y1 0 1 4P0.49 0.42 0.09Y2 - -1 0P0.42 0.58Y3 0 2P0.49 0.51则有则有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分别为的分布律分别为上一页上一页下一页下一页;.37P45习题习题2.19 设随机变量设
18、随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度函数。的概率密度函数。解：先求解：先求Y的分布函数的分布函数FY(y)=PY y=PX2 y当当y0时时,上一页上一页下一页下一页;.47P73习题习题3.10 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 求随机变量求随机变量X的密度函数；的密度函数； 求概率求概率PX+Y1.解解:(2):(2)y=xx+y=11/2上一页上一页下一页下一页;.48P73习题习题3.13 设设( (X,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为求求Z=X2+Y2的的概率密度。概率密度。上一页上一页下一页下一页;.
19、49解解上一页上一页下一页下一页;.50P P7373习题习题3.3.16 设设( (X,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为求求： (1) P( (X0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分的概率分布。布。解解：三个元件都无故障工作时间分别为三个元件都无故障工作时间分别为X,Y,Z,则则 T=min(X,Y,Z),且且X,Y,Z的概率密度都为的概率密度都为上一页上一页下一页下一页;.61则则 故故T服从参数为服从参数为30的指
20、数分布的指数分布,即概率密度为即概率密度为上一页上一页下一页下一页;.62第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征上一页上一页下一页下一页;.63解：解：P89习题习题4.1 甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛中获胜的概率为中获胜的概率为0.6，乙队为乙队为0.4，求比赛场数的数学期望。求比赛场数的数学期望。(场场)上一页上一页下一页下一页;.64求求解解P90习题习题4.6 已知已知X的密度函数为的密度函数为则则上一页上一页下一页下一页;.65P91习题习题4.12 设设X与与Y相互独立，且相
21、互独立，且解解：求求 上一页上一页下一页下一页;.66P91习题习题4.14 设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(吨吨) )，它在，它在 2000,4000 上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇挣得外汇3 3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1 1万元。万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。 上一页上一页下一页下一页;.67下面求下面求
22、EZ，并求使，并求使EZ达到最大的达到最大的y值，值，解：设解：设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与与4000之间，用之间，用Z表示表示国家的收益（万元）国家的收益（万元）上一页上一页下一页下一页;.68即组织即组织35003500吨此种商品是最佳的决策。吨此种商品是最佳的决策。 上一页上一页下一页下一页;.69补充习题补充习题 设工厂生产的设备的寿命设工厂生产的设备的寿命X（单位：年）的概率密度为（单位：年）的概率密度为 按规定，已出售设备在一年内损坏可以包换按规定，已出售设备在一年内损坏可以包换. .若工厂售出一台设备盈利若工厂
23、售出一台设备盈利100100元，元，调换一台设备厂方需花费调换一台设备厂方需花费300300元元. . 求一台设备的平均寿命求一台设备的平均寿命 求厂方售出一台设备净赢利的期望值求厂方售出一台设备净赢利的期望值. .上一页上一页下一页下一页;.70解解: : 一台设备的平均寿命为一台设备的平均寿命为EX=4年年, 厂方售出一台设备净赢利为随机变量厂方售出一台设备净赢利为随机变量Y，则，则故故p+q=1上一页上一页下一页下一页;.71例例(08) 设随机变量设随机变量且且考查：相关系数的性质：考查：相关系数的性质：存在存在a,b,使使以及正态分布数字特征的性质以及正态分布数字特征的性质.则则上一页上一页下一页下一页;.72解解 选选D. 从而从而EY=aEX+b,得得b=1.而而例例(08) 设随机变量设随机变量且且则则存在存在a,b,使使由正态分布有由正态分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,上一页上一页下一页下一页;.73填空题填空题(08) 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1的泊松分布的泊松分布, ,则则PX=EX2_.考查：泊松分布的数字特征及其概率分布考查：泊松分布的数字特征及其概率分布. .参数为参数为1的泊松分布的的泊松分布的EX =DX=1,从而从而EX2 =DX+(EX)2=2, PX=EX2=PX=2=1/2e.
