牛顿力学的基本原理.ppt

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1、牛顿力学的基本原理牛顿力学的基本原理第一章第一章理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 2理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 3教学基本要求：教学基本要求：掌握掌握质点的位移、速度和加速度以及它们在直角坐标系、质点的位移、速度和加速度以及它们在直角坐标系、 极坐标系、自然坐标系和柱坐标系下的形式。极坐标系、自然坐标系和柱坐标系下的形式。掌握掌握质点的运动基本定理质点的运动基本定理(包括动量定理、动能定理、角动量包括动量定理、动能定理、角动量 定理）、机械能守恒和角动量守恒定律以及保守力、势能定理）、机械能守恒和角动量守恒定律以及保守力

2、、势能掌握掌握质点运动微分方程的建立和求解的方法质点运动微分方程的建立和求解的方法 掌握掌握质点的牛顿第一、二、三定律的适用条件和范围。质点的牛顿第一、二、三定律的适用条件和范围。了解了解相平面、相轨迹、奇点概念以及一维简谐振子和单摆相平面、相轨迹、奇点概念以及一维简谐振子和单摆 运动的相轨迹运动的相轨迹 理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 4质点运动微分方程的建立和求解、质点运动质点运动微分方程的建立和求解、质点运动的基本定理（动量定理、动能定理、角动量的基本定理（动量定理、动能定理、角动量定理）、机械能守恒和角动量守恒定律、保定理）、机械能守恒和角动量守恒定

3、律、保守力和势能函数之间的关系。守力和势能函数之间的关系。本章重点：本章重点：本章难点：本章难点：质点运动微分方程的建立和求解、质点运动质点运动微分方程的建立和求解、质点运动的基本定理的综合应用、势能。的基本定理的综合应用、势能。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 5质点的概念质点的概念（一）参照物和坐标系（一）参照物和坐标系 质点的适用范围质点的适用范围要用数学的方法描述物体运动，需三个先决条件：要用数学的方法描述物体运动，需三个先决条件：1 1、选择参照物、选择参照物2 2、确定时间的量度连续的、均匀的、永不停息地流逝、确定时间的量度连续的、均匀的、永不停息

4、地流逝3 3、确定空间的量度连续的、均匀的、各向同性的、确定空间的量度连续的、均匀的、各向同性的时间和空间彼此独立无关地存在着时间和空间彼此独立无关地存在着物体是否当作质点取决于所讨论的问题的性质物体是否当作质点取决于所讨论的问题的性质理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 6机械运动具有相对性，为了确切说明一个物体的位置和机械运动具有相对性，为了确切说明一个物体的位置和参照物的选择以分析问题最方便的原则来选取。与参照参照物的选择以分析问题最方便的原则来选取。与参照物固连的坐标系称为物固连的坐标系称为参考坐标系参考坐标系，简称，简称参考系参考系理论力学中常用坐标系：

5、理论力学中常用坐标系：直角坐标系极坐标系直角坐标系极坐标系柱坐标系柱坐标系自然坐标系（内禀坐标系）自然坐标系（内禀坐标系） 球坐标系球坐标系描述运动时选作标描述运动时选作标准的物体（可以是一个不变形的物体，或若干个无相对准的物体（可以是一个不变形的物体，或若干个无相对运动，就必须选择其它物体做标准运动，就必须选择其它物体做标准，运动的物体），称为运动的物体），称为参照物参照物。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 7质点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化质点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的的规律称为点的运动方程运动方程质点在空间运动的路径称

6、为质点在空间运动的路径称为轨迹轨迹在某一参照物上建立不同的坐标系，质点的运动在某一参照物上建立不同的坐标系，质点的运动方程具有不同的形式。方程具有不同的形式。同一质点在不同的参照物上使用同一类坐标系，同一质点在不同的参照物上使用同一类坐标系，质点的运动方程具有不同的形式。质点的运动方程具有不同的形式。在求解质点运动学问题时，要尽可能选择适当的在求解质点运动学问题时，要尽可能选择适当的参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而参照物和坐标系，以使运动方程形式最简，从而减少计算量。减少计算量。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 8O质点的运动方程：质点的运动方程：质

7、点的直角坐标与矢径坐标之间关系为：质点的直角坐标与矢径坐标之间关系为：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 9质点的速度：质点的速度：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 10质点的加速度：质点的加速度：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 11若质点的轨道曲线若质点的轨道曲线S中，当中，当AB无限靠近时，如图有：无限靠近时，如图有：加速度亦同理加速度亦同理理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 12O在平面上任取一点在平面上任取一点O作为极点，过作为极点，过O点的任一带有刻度

8、的射线点的任一带有刻度的射线Ox为极轴，为极轴，即构成了平面极坐标系。即构成了平面极坐标系。如图，质点如图，质点P运动到运动到P点时，引点时，引为矢径方向，极轴到矢径的夹角称为幅角，有正负，用为矢径方向，极轴到矢径的夹角称为幅角，有正负，用表示表示在极坐标系中，也可进行正交分解，分为径向在极坐标系中，也可进行正交分解，分为径向和横向和横向方向为矢径方向，方向为矢径方向，方向为指向质点运动方向方向为指向质点运动方向质点的运动学方程：质点的运动学方程：质点的轨迹方程：质点的轨迹方程：质点的极标与矢径坐标之间关系为：质点的极标与矢径坐标之间关系为：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿

9、力学的基本原理 13质点的速度：质点的速度：极限情形下有：极限情形下有：也随之转动也随之转动现在看现在看项，项，当当时时，当质点在当质点在时间内位置矢量转过角度时间内位置矢量转过角度将与将与开的单位圆弧长开的单位圆弧长垂直垂直,与与方向一致。方向一致。的长度则趋于的长度则趋于所张所张理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 14同理可求出：同理可求出：(方向与极坐标轴转动的正方向成右手螺旋关系方向与极坐标轴转动的正方向成右手螺旋关系)据矢量运算法则：据矢量运算法则：若若为任一旋转矢量，则普遍地有：为任一旋转矢量，则普遍地有：引进角速度矢量引进角速度矢量上式中出现负号是

10、因为上式中出现负号是因为时，时，将趋向于与将趋向于与相反的方向。相反的方向。来描述极坐标轴绕原点的转动。来描述极坐标轴绕原点的转动。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 15回顾速度表达式：回顾速度表达式：式中：式中：表示径向速度分量，表示径向速度分量，表示横向速度分量表示横向速度分量加速度：加速度：式中：式中：径向加速度分量径向加速度分量横向加速度分量横向加速度分量有有：代入代入理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 16沿质点轨迹建立一弯曲的沿质点轨迹建立一弯曲的“坐标轴坐标轴” ，选择轨迹上一点选择轨迹上一点O为为“坐标原点坐标原

11、点”，并，并用由原点用由原点O至质点位置的弧长至质点位置的弧长s作为质点作为质点的位置坐标，坐标增加的方向是人为规的位置坐标，坐标增加的方向是人为规定的定的自然坐标自然坐标s不同于一般仅说明长度的弧长，不同于一般仅说明长度的弧长，根据原点与正方向的规定，根据原点与正方向的规定，s可正可负。可正可负。切向切向单位向量单位向量主主法线法线单位矢量单位矢量对于三维运动的质点，还需引入轨道的对于三维运动的质点，还需引入轨道的副法线副法线方向方向其方向满足其方向满足右手右手螺旋关系：螺旋关系：(正方向为质点的运动方向正方向为质点的运动方向)( (正方向为轨道曲线的密切面内并指向正方向为轨道曲线的密切面内

12、并指向凹侧侧) )理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 17自然坐标轴的几何性质自然坐标轴的几何性质密切面密切面密切面密切面：由轨迹上无限接近的两点的两条切线所确定的极限平面由轨迹上无限接近的两点的两条切线所确定的极限平面理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 18质点的速度：质点的速度：质点的加速度：质点的加速度：仅需要求出仅需要求出，由于自然坐标系中的由于自然坐标系中的是随着曲线的是随着曲线的凹凸而改变方向，凹凸而改变方向，所以在对所以在对和和求导时，与前面求单位求导时，与前面求单位(顺时针或逆时针顺时针或逆时针)是确定的，是确定的

13、，定，假定曲线凸时为顺时针，那么凹时就为逆时针。定，假定曲线凸时为顺时针，那么凹时就为逆时针。和和方向的到角不确方向的到角不确矢量的导数时略有区别，因前面的正交单位矢量方向的到角矢量的导数时略有区别，因前面的正交单位矢量方向的到角而这里而这里理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 19所以有：所以有：，质点的加速度为：质点的加速度为：质点从质点从1运动到运动到2，采用自然坐标，采用自然坐标 ，原点在，原点在O处，则从处，则从1到到2时，时，方向的变化量方向的变化量和和在轨迹凹凸时，方向不变在轨迹凹凸时，方向不变和和然而，然而，的角的角d正负发生了变化正负发生了变化到

14、到的角的角d以及以及到到式中式中理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 20在自然坐标系下的加速度分量为：在自然坐标系下的加速度分量为：启示我们可以把曲线运动看作是系列圆周运动。启示我们可以把曲线运动看作是系列圆周运动。从另一个角度看：考察同平面的运动曲线上三点从另一个角度看：考察同平面的运动曲线上三点A A、B B、C C，当，当A A点和点和C C点无限靠近点无限靠近B B点时，点时，ABCABC正好构成曲率半径为正好构成曲率半径为的极限圆的一段弧。的极限圆的一段弧。化化“曲曲”为为“圆圆”的的思想思想理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基

15、本原理 21平面极坐标系平面极坐标系自然坐标系自然坐标系平面极坐标系：平面极坐标系： 角为角为r与与ox轴间的夹角轴间的夹角角意义不一样角意义不一样而自然坐标系：而自然坐标系：角为运动点的切线与角为运动点的切线与ox轴间的夹角轴间的夹角理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 22投影距离投影距离高高度度观察点观察点天顶天顶从柱坐标系的建立方式看，与极坐标相比，只是由二维到三从柱坐标系的建立方式看，与极坐标相比，只是由二维到三维，增加了一个维，增加了一个Z Z的方向，易推导出速度和加速度的表达式的方向，易推导出速度和加速度的表达式理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本

16、原理第一章牛顿力学的基本原理 23观察点观察点天顶天顶天顶角天顶角仰仰角角投影投影距离距离方位角方位角=rsin理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 24 例例1.11.1 一质点沿抛物线一质点沿抛物线运动，速率为常量运动，速率为常量c ，运动过程中，运动过程中质点的纵坐标质点的纵坐标y y不断变小。试分别在直角坐标系、极坐标系不断变小。试分别在直角坐标系、极坐标系和自然坐标系中，求出质点的速度和加速度。和自然坐标系中，求出质点的速度和加速度。 解解: :（i i）直角坐标系中求解）直角坐标系中求解由速度和加速度定义可知：由速度和加速度定义可知：这是质点平面运动问

17、题。这是质点平面运动问题。仅仅需要求出仅仅需要求出，再次求导可得，再次求导可得理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 25对已知的轨迹方程对已知的轨迹方程又速率为常量又速率为常量从而有：从而有：又在运动过程中，质点的纵坐标又在运动过程中，质点的纵坐标y不断变小不断变小所以有：所以有：两边求导可得：两边求导可得：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 26于是得到速度的表达式：于是得到速度的表达式：对速度求导可得加速度的表达式：对速度求导可得加速度的表达式：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 27（iiii）

18、极坐标系中求解）极坐标系中求解直角坐标系和极坐标系对应关系为：直角坐标系和极坐标系对应关系为：把已知直角坐标系中的轨迹方程把已知直角坐标系中的轨迹方程化为极坐标系方程：化为极坐标系方程：对对r求导可得：求导可得：仅仅需要求出仅仅需要求出理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 28又速率为常量又速率为常量代入代入的结果可得的结果可得对对求导可得求导可得那么那么理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 29把把的结果代入速度表达式可得速度为：的结果代入速度表达式可得速度为：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 30

19、化简可得：化简可得：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 31（iiiiii）自然坐标系中求解）自然坐标系中求解仅仅需要求出仅仅需要求出当质点位于当质点位于y的区域时，的区域时，角位于第三象限角位于第三象限当质点位于当质点位于y的区域时，的区域时，角位于第四象限角位于第四象限因因，从而有从而有那么那么理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 32变形有：变形有：而而，故，故所以所以对对又又求导有：求导有：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 33不同的坐标系，描述质点的同一运动时，轨不同的坐标系，描述质点的同

20、一运动时，轨迹的方程不相同，这也直接导致了解题的繁简程迹的方程不相同，这也直接导致了解题的繁简程度不同。关键在于坐标系的选择要恰当。度不同。关键在于坐标系的选择要恰当。 在解题时，要从运动学量的定义出发，找出其在解题时，要从运动学量的定义出发，找出其或其正交分解后的函数关系或或其正交分解后的函数关系或表达式，表达式，如例题中的桥梁：如例题中的桥梁：只要找出只要找出求导后就可据定义求出。求导后就可据定义求出。中的桥梁。中的桥梁。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 34这也启示我们在求质点的速度和加速度时，只需要找出这也启示我们在求质点的速度和加速度时，只需要找出矢

21、径的表达式或函数关系，或者是在任一种正交坐标系矢径的表达式或函数关系，或者是在任一种正交坐标系中，找出矢径的正交分解方向的表达式或函数关系，求中，找出矢径的正交分解方向的表达式或函数关系，求导即可解出速度和加速度。导即可解出速度和加速度。如果如果是两个正交的矢量，且有是两个正交的矢量，且有即即或写作或写作理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 35力力是物体之间的相互作用是物体之间的相互作用力的基本属性：力的基本属性：u物质性物质性-力离不开物体力离不开物体力的三要素：力的三要素：大小、方向、作用点大小、方向、作用点u相互性相互性-施力物体同时也是受力物体施力物体同

22、时也是受力物体u矢量性矢量性-力既有大小又有方向，方向用正负来表示力既有大小又有方向，方向用正负来表示u力的独立性力的独立性-一个力作用于某个物体上产生的效果，一个力作用于某个物体上产生的效果，与这个物体是否同时受到其他力的作用无关与这个物体是否同时受到其他力的作用无关理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 36静力效果：静力效果：使物体的形状发生变化使物体的形状发生变化( (形变形变) )， 如拉伸、压缩、扭转、剪切等如拉伸、压缩、扭转、剪切等动力效果：动力效果：改变物体的运动状态，如物体的改变物体的运动状态，如物体的 运动速度大小或方向发生变化运动速度大小或方向

23、发生变化据力的性质命名：据力的性质命名：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力等重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力等据力的效果命名：据力的效果命名：拉力、压力、动力、阻力等拉力、压力、动力、阻力等据研究对象命名：据研究对象命名：内力和外力内力和外力力的分类：力的分类：力的效果：力的效果：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 37一些术语：一些术语：静力学：静力学：研究作用于物体上力系的平衡研究作用于物体上力系的平衡( (理论力学中主要是刚体理论力学中主要是刚体) )力系：力系：是指作用于物体上的一群力是指作用于物体上的一群力工程中，按作用线所在的位置，可以分为平面力系

24、和空间力系；工程中，按作用线所在的位置，可以分为平面力系和空间力系；按其作用线的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系按其作用线的相互关系，分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系物体的受力分析：物体的受力分析：分析某个物体共受几个力，以及每个力的分析某个物体共受几个力，以及每个力的作用位置和方向作用位置和方向力系的等效替换力系的等效替换( (简化简化) )：将作用在物体上的一个力系用另一将作用在物体上的一个力系用另一个与它等效的简单力系来代替。个与它等效的简单力系来代替。刚体：刚体：在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不

25、变不变( (理想模型理想模型) )理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 38常用静力学公理：常用静力学公理：力的平行四边形规则力的平行四边形规则( (矢量性矢量性) )二力平衡条件二力平衡条件( (二力大小相等、方向相反，且在同一直线上二力大小相等、方向相反，且在同一直线上) )加减平衡力系原理加减平衡力系原理( (独立性独立性) )在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用u推推1 1 力的可传性力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力

26、对刚体的作用。u推推2 2 三力平衡汇交定理三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点作用和反作用定律作用和反作用定律( (相互性相互性) )作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上作用在两个相互作用的物体上刚化原理刚化原理( (等效性等效性) )变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，

27、其平衡状态保持不变理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 39时间：时间：连续的、均匀的、不停息地流逝连续的、均匀的、不停息地流逝空间：空间：连续的、均匀的、各向同性的连续的、均匀的、各向同性的相互独立无关地存相互独立无关地存在着，与坐标系的在着，与坐标系的选择无关选择无关( (绝对性绝对性) )微观系统：微观系统：原子尺度的客体原子尺度的客体( (需用量子力学处理需用量子力学处理) ) 主要是发生强作用力或是弱作主要是发生强作用力或是弱作用力用力宏观系统：宏观系统：大小在人体尺度上下几个数量级范围大小在人体尺度上下几个数量级范围 之内的客体。主要是电磁力之内的客体

28、。主要是电磁力和引力和引力介观系统：介观系统：呈现出微观特征的宏观系统。呈现出微观特征的宏观系统。( (如一些线性或环如一些线性或环 状小尺寸样品在低温下表现出电磁波的量子干涉效应状小尺寸样品在低温下表现出电磁波的量子干涉效应) )理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 40任何物体，只要没有外力改变它的状态，便会永远保任何物体，只要没有外力改变它的状态，便会永远保持其静止或匀速直线运动的状态持其静止或匀速直线运动的状态自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态自由粒子永远保持静止或匀速直线运动的状态或者使用较为现代的表述：或者使用较为现代的表述：“自由粒子自由粒子”

29、是不受任何相互作用的粒子是不受任何相互作用的粒子( (质点质点) )。它应该是完全独立的，或者是世界上唯一的粒子。显然不可它应该是完全独立的，或者是世界上唯一的粒子。显然不可能真正观察到这样的粒子。但当其它粒子都离它非常远，从能真正观察到这样的粒子。但当其它粒子都离它非常远，从而对它的影响可以忽略时，或者其它粒子对它的作用彼此相而对它的影响可以忽略时，或者其它粒子对它的作用彼此相互抵消时，我们可以把这个粒子看成是互抵消时，我们可以把这个粒子看成是“自由自由”的。的。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 41揭示了物体具有保持其运动状态的特性揭示了物体具有保持其运动

30、状态的特性(惯性惯性)牛顿第一定律又称惯性定律牛顿第一定律又称惯性定律指出了力是改变物体运动状态的原因指出了力是改变物体运动状态的原因惯性定律是不能直接用实验来严格地验证，它是理想惯性定律是不能直接用实验来严格地验证，它是理想化抽象思维的产物。化抽象思维的产物。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 42惯性定律不仅适用于物体运动的整体，也适用于其中惯性定律不仅适用于物体运动的整体，也适用于其中一个独立的分量一个独立的分量例如：平抛物体时，物体在水平方向满足惯性定律例如：平抛物体时，物体在水平方向满足惯性定律地球不是一个精确的惯性系地球不是一个精确的惯性系但由于地球

31、旋转得较慢，只要讨论的问题不是像大气但由于地球旋转得较慢，只要讨论的问题不是像大气 或海或海洋环流那类牵涉空间范围较大、时间间隔较长的过程，固洋环流那类牵涉空间范围较大、时间间隔较长的过程，固定在地面上的参考系可看作近似程度相当好的惯性系定在地面上的参考系可看作近似程度相当好的惯性系惯性定律只适用于惯性系惯性定律只适用于惯性系惯性定律的研究对象为单个物体惯性定律的研究对象为单个物体(质点质点)物体保持静止或匀速直线运动状态的物体保持静止或匀速直线运动状态的特性特性称为称为惯性惯性理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 43物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小

32、与外力物体受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力矢量和的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度的矢量和的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度的方向与外力矢量和的方向相同方向与外力矢量和的方向相同用公式表示，则有：用公式表示，则有：即：即：牛顿第二定律只适用于惯性系牛顿第二定律只适用于惯性系牛顿第二定律的研究对象为单个物体牛顿第二定律的研究对象为单个物体(质点质点)若研究对象的运动情况较为复杂，它的各部分之间有相对若研究对象的运动情况较为复杂，它的各部分之间有相对位移，就必须分隔开来研究，常称之为位移，就必须分隔开来研究，常称之为“隔离体法隔离体法”理论力学理论力学 第一章牛顿力学

33、的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 44两物体两物体1,2相互作用时，作用力和反作用力大小相相互作用时，作用力和反作用力大小相等，方向相反，在同一直线上。等，方向相反，在同一直线上。用公式表示，则有：用公式表示，则有：牛顿第三定律只适用于惯性系牛顿第三定律只适用于惯性系牛顿第三定律的研究对象为单个物体牛顿第三定律的研究对象为单个物体(质点质点)比较作用力和反作用力与二力平衡之间的区别比较作用力和反作用力与二力平衡之间的区别理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 45 例例1.21.2质量分别为质量分别为2m和和m的重物的重物1和重物和重物2，用不可伸，用不可伸长的轻

34、绳长的轻绳l绕过一光滑的轻质滑轮联结。在重物绕过一光滑的轻质滑轮联结。在重物2的下端又用固有长度为的下端又用固有长度为L0，劲度系数为，劲度系数为k=mg/L0的弹性绳挂上另一质量为的弹性绳挂上另一质量为m的重物的重物3 3，整个系统保持在铅直平面内，如图所示，开始整个系统保持在铅直平面内，如图所示，开始时绳子是拉直的，而弹性绳则为固有长度，系时绳子是拉直的，而弹性绳则为固有长度，系统自静止状态释放，分别求出此后各重物的运统自静止状态释放，分别求出此后各重物的运动状况，以及非弹性绳和弹性绳中的张力大小动状况，以及非弹性绳和弹性绳中的张力大小FT和和FT 。分析分析: :研究的系统各物体间有相对

35、位移，采用隔离体方法研究的系统各物体间有相对位移，采用隔离体方法理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 46解：解：重物重物3的位置坐标为的位置坐标为，则有约束关系：，则有约束关系：重物重物1的位置坐标为的位置坐标为，重物，重物2的位置坐标为的位置坐标为建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系，作受力分析。并设滑轮上的绳长为，作受力分析。并设滑轮上的绳长为假设重物假设重物1向向轴正向运动，分别利用牛顿轴正向运动，分别利用牛顿第二定律对重物第二定律对重物1, 2，3列出运动学方程：列出运动学方程：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 47弹性

36、绳中的张力为：弹性绳中的张力为：令令，由（，由（1）式可知）式可知代入（代入（2）式并与（）式并与（3）式联立消去）式联立消去FT后得：后得：由（由（4）、（）、（5）、（）、（6）式可得：）式可得：利用初始条件：利用初始条件：时，时，代入初始条件有代入初始条件有，理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 48式中式中因此系统的振动周期为：因此系统的振动周期为：把把x的值代入（的值代入（5 5）式可得：）式可得：代入（代入（4 4）式可得：）式可得： 积分两次有积分两次有又又代入得代入得，代入（代入（2 2）式可得：）式可得：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理

37、第一章牛顿力学的基本原理 49一质量为一质量为m的炮弹，以速率的炮弹，以速率v0自仰角为自仰角为的炮管内射的炮管内射出，设炮弹飞行中受到的空气阻力与炮弹的速度成正出，设炮弹飞行中受到的空气阻力与炮弹的速度成正比，比，FRmbv，这里，这里b是常数，求炮弹飞行时的速是常数，求炮弹飞行时的速度和轨道。度和轨道。 例例1.31.3由于只考虑炮弹的整体飞行情况，可看作质点。由于只考虑炮弹的整体飞行情况，可看作质点。炮弹在空中受力如图所示，只有重力和阻力，炮弹在空中受力如图所示，只有重力和阻力，显然在运用牛顿第二定律的正交分解形式时，显然在运用牛顿第二定律的正交分解形式时，只有把坐标轴之一选在阻力方向或

38、重力方向时，只有把坐标轴之一选在阻力方向或重力方向时，运动学方程才能最简，所以可选择直角坐标系运动学方程才能最简，所以可选择直角坐标系或自然坐标系。或自然坐标系。 分析分析: :理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 50解解: : （i i）直角坐标系中求解）直角坐标系中求解由牛二定律得炮弹的运动学微分方程：由牛二定律得炮弹的运动学微分方程：，原点选在炮弹从炮管射出瞬时，原点选在炮弹从炮管射出瞬时建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系上式化简可得：上式化简可得：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 51初始条件为：初始条件为：时，时，利

39、用常微分方程知识求解利用常微分方程知识求解特征方程为特征方程为可求得可求得那么其解为：那么其解为：，其中其中代入初始条件，可得代入初始条件，可得，从而可求得从而可求得于是于是当当为待定常数为待定常数，则则也可令也可令则则分离变量后积分分离变量后积分理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 52同理，同理，可求得可求得那么齐次方程的通解为：那么齐次方程的通解为：则则观察非齐次方程，观察非齐次方程，为单重根，为单重根，代入微分方程可得：代入微分方程可得：即即于是非齐次方程的通解为：于是非齐次方程的通解为：，代入初始条件可得代入初始条件可得从而可求得：从而可求得：，对于对于

40、特征方程为特征方程为可令特解为：可令特解为：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 53于是有：于是有：所以炮弹飞行的速度为：所以炮弹飞行的速度为：炮弹飞行的轨道为：炮弹飞行的轨道为：，消去消去t后可得轨道方程：后可得轨道方程：求轨道方程不必先求出以求轨道方程不必先求出以时间为参量时间为参量 的参量方程再的参量方程再消元，可直接从运动方程消元，可直接从运动方程消去时间参量后积分即可消去时间参量后积分即可，理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 54炮弹飞行中所受的力在自然坐标系中表示为：炮弹飞行中所受的力在自然坐标系中表示为：由牛二定律得

41、炮弹的运动学微分方程：由牛二定律得炮弹的运动学微分方程：（iiii）自然坐标系中求解）自然坐标系中求解直接用加速度公式：直接用加速度公式：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 55又又是负的是负的.由曲率公式知，炮弹的轨迹中，由曲率公式知，炮弹的轨迹中，所以所以曲率公式：曲率公式：逆时针时取正，顺时针时取负逆时针时取正，顺时针时取负，式中，式中理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 56联立联立(1)式、式、(2)式和式和(3)式有：式有：又注意到复合导数关系：又注意到复合导数关系：于是于是(4)式可化为：式可化为：分别对分别对(5)式

42、两边积分，并利用初始条件可得炮弹的速度：式两边积分，并利用初始条件可得炮弹的速度：联立联立(1)式和式和(2)式可得：式可得：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 57对对(7)(7)式积分可求得在自然坐标系下炮弹的轨迹：式积分可求得在自然坐标系下炮弹的轨迹：也可求出炮弹飞行的水平距离：也可求出炮弹飞行的水平距离：为方便积分，作变换，令为方便积分，作变换，令理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 58则则从从(6)(6)式和式和(8)(8)式可以看出，当式可以看出，当时，有时，有牛顿第二定律的运动学方程形式繁简程度与坐标系的选择牛顿第二

43、定律的运动学方程形式繁简程度与坐标系的选择有关，从而直接决定了求解过程中的计算量的大小。原则有关，从而直接决定了求解过程中的计算量的大小。原则上坐标系的选择会尽可能地把坐标系选择在受力方向上，上坐标系的选择会尽可能地把坐标系选择在受力方向上，尤其是变力方向，这样运用牛顿第二定律正交分解的运动尤其是变力方向，这样运用牛顿第二定律正交分解的运动学方程时，形式就达到最简。但本题中选择自然坐标系却学方程时，形式就达到最简。但本题中选择自然坐标系却比直角坐标系计算量要大，是因为空气阻力与速度呈线性比直角坐标系计算量要大，是因为空气阻力与速度呈线性关系，若是非线性关系时，自然坐标系就会体现出优越性关系，若

44、是非线性关系时，自然坐标系就会体现出优越性理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 59 例例1.41.4带电粒子的质量和电荷分别为带电粒子的质量和电荷分别为m和和q的粒子束，自的粒子束，自O O点点射入相互垂直的均匀稳定电磁场射入相互垂直的均匀稳定电磁场E、B中，各粒子的初中，各粒子的初速度与磁场垂直。证明：尽管各粒子初速度的大小和速度与磁场垂直。证明：尽管各粒子初速度的大小和方向有差别，但它们都将聚焦在同一个点方向有差别，但它们都将聚焦在同一个点f f处；距离处；距离Of与粒子的质量成正比，与电荷成反比。与粒子的质量成正比，与电荷成反比。解解: : 因电场和磁场分

45、别垂直，从而受力也相互垂直，因电场和磁场分别垂直，从而受力也相互垂直，所以选择直角坐标系所以选择直角坐标系O-xyz如图所示，如图所示，O点为坐标点为坐标原点，电场和磁场分别沿原点，电场和磁场分别沿y方向和方向和z方向。则有：方向。则有：，理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 60粒子受到的电磁力为：粒子受到的电磁力为：( (粒子做平面运动粒子做平面运动) )质点的运动方程为：质点的运动方程为：任一粒子的初始条件为：任一粒子的初始条件为：时，时，对对(2)(2)式积分一次，并利用式积分一次，并利用(4)(4)式的初始条件可得：式的初始条件可得：理论力学理论力学 第

46、一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 61把把(5)(5)式代入式代入(3)(3)式可得式可得y的二阶常系数微分方程：的二阶常系数微分方程：只需要求出非齐次方程的特解，于是设特解为：只需要求出非齐次方程的特解，于是设特解为：令令，则，则(6)(6)式的齐次方程正好是简谐振动方程，式的齐次方程正好是简谐振动方程，代入代入(6)(6)式可得：式可得：从而从而(6)(6)式的解为：式的解为：积分常数积分常数A和和 由由(4)(4)式中关于式中关于和和的初始条件确定。的初始条件确定。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 62把把(7)(7)式代入式代入(5)(5

47、)式并积分一次可得关于式并积分一次可得关于x的解的解( (设设C C为积分常数为积分常数) )：把把(4)(4)式中的式中的时，时，代入代入(7)(7)式及其一阶导数式得：式及其一阶导数式得：把把(4)(4)式中的式中的时，时， 代入代入(8)(8)式得：式得：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 63由由(7)(7)式可知，粒子式可知，粒子y坐标呈周期性变化，又初始时刻坐标呈周期性变化，又初始时刻时，时， 当当时，时，此时此时，代入，代入(9)(9)式可得粒子的式可得粒子的x坐标为：坐标为：可以看出，上式结果只与粒子的质量可以看出，上式结果只与粒子的质量m、电荷

48、、电荷q以及以及电磁场电磁场E、B有关，而与粒子的初始速度的大小和方有关，而与粒子的初始速度的大小和方向无关。由此证毕。向无关。由此证毕。y值不变，仍为值不变，仍为0 0理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 64 例例1.51.5质量为质量为m的小球，穿在竖直放置的螺纹形光滑铁丝上，的小球，穿在竖直放置的螺纹形光滑铁丝上，自静止向下滑动，如图所示，求小球的速度自静止向下滑动，如图所示，求小球的速度v和铁丝对和铁丝对小球的约束力小球的约束力FN分别与小球下滑距离分别与小球下滑距离z z的关系。已知铁的关系。已知铁丝的曲线方程可写为：丝的曲线方程可写为：x=rcos,

49、y=rsin,z=b解解: : 由于铁丝光滑，小球只受重力和铁丝的由于铁丝光滑，小球只受重力和铁丝的约束力，且约束力在切向方向没有分量约束力，且约束力在切向方向没有分量宜选用自然坐标系宜选用自然坐标系( (n, ,，b三方向三方向) )。图中为柱坐标系图中为柱坐标系( (, ， z三方向三方向) )。小球的受力在自然坐标系中表示为：小球的受力在自然坐标系中表示为：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 65考虑到铁丝的曲线方程的形式，宜选用柱坐标系。考虑到铁丝的曲线方程的形式，宜选用柱坐标系。由铁丝的曲线方程可知小球的元位移为：由铁丝的曲线方程可知小球的元位移为：显

50、然显然于是有于是有所以所以，理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 66把副法线方向的单位矢量化为柱坐标系为：把副法线方向的单位矢量化为柱坐标系为：于是把于是把(1)(1)式化为柱坐标系为：式化为柱坐标系为：由小球的轨迹方程可知，小球做圆周运动和竖直方向由小球的轨迹方程可知，小球做圆周运动和竖直方向的变加速直线运动，可列出其运动学方程：的变加速直线运动，可列出其运动学方程：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 67又小球的约束方程为：又小球的约束方程为：小球的运动的初始条件为：小球的运动的初始条件为：当当时，时，理论力学理论力学 第一章

51、牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 68由由(9)(9)式可知：式可知：代入代入(8)(8)式后，再联立式后，再联立(7)(7)式可得：式可得：把把(12)(12)的结果代入的结果代入(7)(7)式可得：式可得：要求要求FNn与下滑距离与下滑距离z 的关系，的关系，由由(12)(12)式可知：式可知：就必须先求就必须先求理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 69把把(14)(14)最后两项对最后两项对z z积分一次，利用初始条件积分一次，利用初始条件(10)(10)式可得：式可得：把把(15)(15)式代入式代入(11)(11)式中第一式有：式中第一式有：

52、把把(15)(15)式的结果代入式的结果代入(6)(6)式可得式可得FNn与下滑距离与下滑距离z 的关系：的关系：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 70由柱坐标中速度的定义可得小球的速度为：由柱坐标中速度的定义可得小球的速度为：由由(5)(5)、(13)(13)、(16)(16)可得小球受到的约束力为：可得小球受到的约束力为：由本题可看出，在解题时，不会仅限于一种坐标系，我们由本题可看出，在解题时，不会仅限于一种坐标系，我们会根据解题的方便，视研究对象的受力情况以及运动的轨会根据解题的方便，视研究对象的受力情况以及运动的轨迹选择合适的坐标系，利用坐标之间的转化

53、来减少计算量迹选择合适的坐标系，利用坐标之间的转化来减少计算量也可使用同一坐标系，而选用不同的原点，如习题也可使用同一坐标系，而选用不同的原点，如习题1.4理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 71质点动量定理质点动量定理微分形式：微分形式：( (牛顿第二定律的另一形式牛顿第二定律的另一形式) )积分形式：积分形式：由质点动量定理的微分形式知，当质点的合力由质点动量定理的微分形式知，当质点的合力为为0 0时，时，质点的总动量或正交分解方向上的合动量守恒。质点的总动量或正交分解方向上的合动量守恒。又质点的动量定理为矢量式，所以在某一正交分又质点的动量定理为矢量式，所

54、以在某一正交分或质点的某一正交分解方向上的合力或质点的某一正交分解方向上的合力解方向上，质点的动量定理依然成立。解方向上，质点的动量定理依然成立。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 72质点动量矩定理质点动量矩定理( (角动量定理角动量定理) )角动量的定义：角动量的定义：又又利用位矢左叉乘等式两边有：利用位矢左叉乘等式两边有：所以得到质点的动量矩定理的微分形式和积分形式：所以得到质点的动量矩定理的微分形式和积分形式：力矩的定义：力矩的定义：式中利用了式中利用了，理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 73因为质点的因为质点的动量矩定

55、理是矢量式：动量矩定理是矢量式：当质点的合力矩为当质点的合力矩为0 0时，那么该质点的角动量守恒时，那么该质点的角动量守恒在某一正交分解方向上的合力矩为在某一正交分解方向上的合力矩为0 0，那么，那么 该正交分解方向上的角动量守恒该正交分解方向上的角动量守恒( (定轴定轴) ) 在某一正交分解方向上仍成立在某一正交分解方向上仍成立理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 74定点角动量和定轴角动量之间的关系：定点角动量和定轴角动量之间的关系：定点力矩和定轴力矩之间的关系：定点力矩和定轴力矩之间的关系：如图质量为如图质量为m的质点，绕的质点，绕O点作定点转动，数据已在图

56、中点作定点转动，数据已在图中给出，有时需要知道对给出，有时需要知道对l方向的力矩和角动量方向的力矩和角动量这正好是定点这正好是定点O角动量在角动量在l方向上的分量：方向上的分量：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 75质点动能定理质点动能定理动能的定义：动能的定义：又又利用速度点乘等式两边有：利用速度点乘等式两边有：即即两边在两边在t1到到t2积分，可得：积分，可得：功的定义：功的定义：( (质点动能定理质点动能定理) )理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 76因此牛顿第二定律与这三个定理中的任何一个因此牛顿第二定律与这三个定理中

57、的任何一个都不是相互独立的。从而我们在求解问题时需都不是相互独立的。从而我们在求解问题时需要视问题的情况和计算方便来进行选择。要视问题的情况和计算方便来进行选择。从质点的动量定理、质点的动量矩定理以及质从质点的动量定理、质点的动量矩定理以及质点的动能定理的推导可以看出，这三个定理都点的动能定理的推导可以看出，这三个定理都是由牛顿第二定律推演出来的。是由牛顿第二定律推演出来的。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 77假如力仅为坐标假如力仅为坐标的单值的、有限的和可微的函数，的单值的、有限的和可微的函数，则在空间区域每一点上，都将有一定的力作用着，此力只则在空间区域

58、每一点上，都将有一定的力作用着，此力只和该点的坐标有关，我们把这空间区域叫做和该点的坐标有关，我们把这空间区域叫做如果力场本身随着时间而变化，质点所受的力还是时间如果力场本身随着时间而变化，质点所受的力还是时间t力场力场不稳定力场不稳定力场如果力场不随时间变化，质点所受的力不是时间如果力场不随时间变化，质点所受的力不是时间t的显函的显函的显函数，则这样的力场称为的显函数，则这样的力场称为数，则称这样的力场称为数，则称这样的力场称为稳定力场稳定力场理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 78沿任意闭合回路作功沿任意闭合回路作功( (或者说抵抗它作功或者说抵抗它作功)

59、)为零的力，为零的力，或者是能够被表示成某一标量函数的梯度的力称作或者是能够被表示成某一标量函数的梯度的力称作，保守力保守力( () )，反之，则是非保守力，反之，则是非保守力( (判断保守力判断保守力) )( (判断保守力场判断保守力场) )称为势能函数称为势能函数理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 79保守力的特性：保守力的特性：保守力场可以表示为势能函数的保守力场可以表示为势能函数的负梯度负梯度保守力具有保守力具有无旋性无旋性保守力作功与路径无关保守力作功与路径无关在保守力作用上，质点的机械能守恒在保守力作用上，质点的机械能守恒势能函数的势能函数的极小处极

60、小处是是稳定稳定平衡点，平衡点， 势能函数的势能函数的极大处极大处为为不稳定不稳定平衡点平衡点由于力总是指向势能降低的方向，所以质点由于力总是指向势能降低的方向，所以质点稍稍偏离平衡位置时，从力的方向可以看出稍稍偏离平衡位置时，从力的方向可以看出质点是不处于稳定的平衡点。质点是不处于稳定的平衡点。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 80 例例1.61.6一质量为一质量为m的质点，自光滑圆滚线的尖端无初速度的质点，自光滑圆滚线的尖端无初速度地下滑，已知圆滚线的方程为地下滑，已知圆滚线的方程为，如图所示，这里，如图所示，这里是水平线是水平线(x轴轴方向方向)和质点运

61、动和质点运动方向间的夹角，求出质点沿圆滚线方向间的夹角，求出质点沿圆滚线运动时对圆滚线的压力运动时对圆滚线的压力质点自光滑圆滚线的尖端无初速度地质点自光滑圆滚线的尖端无初速度地下滑，因而质点只受到重力和轨道约下滑，因而质点只受到重力和轨道约束力，如图。又知轨道方程为圆滚线束力，如图。又知轨道方程为圆滚线约束力不做功，显然用机械能量守恒约束力不做功，显然用机械能量守恒( (或牛顿第二定律或牛顿第二定律) )与约束方程相结合与约束方程相结合来求解较为简便。至于坐标系的选择来求解较为简便。至于坐标系的选择约束力为变力，选自然坐标系会更好约束力为变力，选自然坐标系会更好分分析析：由题意和图示可知，由题

62、意和图示可知， =-=-理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 81解：解：质点自光滑圆滚线的尖端质点自光滑圆滚线的尖端( (y=0) )无初速度下滑时的受力如图，无初速度下滑时的受力如图，从而不妨取从而不妨取k = 0= 0，( i ) ( i ) 直角坐标系中求解直角坐标系中求解所以所以质点的受力为：质点的受力为：于是初始条件可以写为：于是初始条件可以写为：时，时，那么质点初始时刻在那么质点初始时刻在理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 82约束方程：约束方程：，则质点的运动学方程可写为：则质点的运动学方程可写为：至此，联立至此，联

63、立(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)和和(6)(6)式便可求出约束力，但较复杂式便可求出约束力，但较复杂由由(4)(4)式可得：式可得：，结合结合(2)(2)、(3)(3)式可知，要求约束力关键在于求出式可知，要求约束力关键在于求出 和和由分析知本题中机械能守恒，虽然它是由牛二定律导出的，由分析知本题中机械能守恒，虽然它是由牛二定律导出的，但利用它将大大简化计算量，而不必先解关于但利用它将大大简化计算量，而不必先解关于的微分方程的微分方程理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 83质点机械能守恒：质点机械能守恒：联立联立(4)(4)、(5)(5)和和(7)(7

64、)式可得：式可得：化简得：化简得：或或那么那么代入代入(6)(6)式可得：式可得：代入代入(2)(2)式可得：式可得：于是质点对圆滚线的压力为：于是质点对圆滚线的压力为：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 84( ii ) ( ii ) 自然坐标系中求解自然坐标系中求解质点的受力为：质点的受力为：质点的运动方程：质点的运动方程：由约束方程有：由约束方程有：，理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 85又又化简：化简：因因从而易得：从而易得：也可利用机械能守恒求得也可利用机械能守恒求得理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿

65、力学的基本原理 86 例例1.71.7一质量为一质量为m的质点在保守力作用下作直线运动，其势能的质点在保守力作用下作直线运动，其势能（iiiiii）如果质点在稳定平衡点以速度）如果质点在稳定平衡点以速度v出发，求出在下列各种出发，求出在下列各种 情形下速度大小情形下速度大小v的数值范围：的数值范围：函数为函数为，其中，其中，a和和c都是正常数。试求：都是正常数。试求：（i i）质点的稳定平衡点位置）质点的稳定平衡点位置（iiii）质点在稳定平衡位置附近作微小振动时的振动周期）质点在稳定平衡位置附近作微小振动时的振动周期（a a）质点在稳定平衡位置附近振动）质点在稳定平衡位置附近振动（b b）质

66、点逃逸至）质点逃逸至-（c c）质点逃逸至）质点逃逸至+理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 87解：解：（i i）由保守力的性质可知，质点在稳定平衡点时，）由保守力的性质可知，质点在稳定平衡点时，势能函数取极小值，所以有：势能函数取极小值，所以有：于是质点的稳定平衡点在于是质点的稳定平衡点在x=-=-a处，势能曲线如图。处，势能曲线如图。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 88（iiii）由保守力性质可知，作用于质点的力为：）由保守力性质可知，作用于质点的力为：质点在平衡位置质点在平衡位置x=-a处附近作振动，则可以把质点处附近作

67、振动，则可以把质点的受力在的受力在x=-a处用处用Taylor级数展开，其值为：级数展开，其值为：附附Taylor级数公式：级数公式：也可先化成下面的形式后，再展开。也可先化成下面的形式后，再展开。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 89于是质点在平衡位置附近振动时所受的力可近似地表示成：于是质点在平衡位置附近振动时所受的力可近似地表示成：力的形式正好符合简谐振动，从而易得其解：力的形式正好符合简谐振动，从而易得其解：式中式中那么，质点的振动周期为：那么，质点的振动周期为：（iiiiii）由于质点受到的是保守力，所以机械能守恒：）由于质点受到的是保守力，所以机械

68、能守恒：理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 90由质点的势能函数关系图知：由质点的势能函数关系图知：（a a）质点在平衡位置附近振动，故质点被限制在）质点在平衡位置附近振动，故质点被限制在x=-=-a附近，附近， 这也同时要求了质点的动能应小于势能的值，否则会这也同时要求了质点的动能应小于势能的值，否则会所以质点在平衡位置附近振动的条件为：所以质点在平衡位置附近振动的条件为： 跑出跑出x=-=-a附近，而不符合题意。即附近，而不符合题意。即从而质点在平衡点从而质点在平衡点x=-=-a处速度的大小应为：处速度的大小应为：（b b）逃逸至）逃逸至-的条件是的条件是故

69、故（c c）逃逸至）逃逸至+的条件是跨跃的条件是跨跃V(x=+a),故故理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 91线性系统输入和输出成比例，可应用叠加原理线性系统输入和输出成比例，可应用叠加原理或或实际系统中，总是含有非线性系统成分，为非线性系统实际系统中，总是含有非线性系统成分，为非线性系统非线性系统输入和输出不成比例，不可应用叠加原理非线性系统输入和输出不成比例，不可应用叠加原理小信号范围内总是可以把非线性系统化成线性系统来处理小信号范围内总是可以把非线性系统化成线性系统来处理理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 92非线性系统的

70、特征：非线性系统的特征：输出响应与输入信号大小和系统初态有关输出响应与输入信号大小和系统初态有关系统稳定性与输入信号大小和系统初态有关系统稳定性与输入信号大小和系统初态有关会产生自激振荡会产生自激振荡可能产生跳跃谐振可能产生跳跃谐振会产生波形畸变会产生波形畸变相平面法相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法 相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析 相平面法不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给相平面法不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像出系统运动轨迹的清晰图像理论力学理论力学 第一章

71、牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 93设一个二阶系统可以用下面的常微分方程设一个二阶系统可以用下面的常微分方程来描述。来描述。是是 和和的线性或非线性函数。的线性或非线性函数。在一组非全零初始条件下（在一组非全零初始条件下（和和不全为零），系统不全为零），系统的运动可以用解析解的运动可以用解析解和和描述描述如果取如果取和和构成坐标浃面，则系统构成坐标浃面，则系统每一个状态均对应于该平面上的一点每一个状态均对应于该平面上的一点当当t变化时，这一点在变化时，这一点在平面上描绘平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程出的轨迹，表征系统状态的演变过程该轨迹就叫做该轨迹就叫做相轨迹相轨迹这个

72、平面称这个平面称相平面相平面其中其中理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 94相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程相轨迹的性质：相轨迹的性质：相平面的上半平面中，相平面的上半平面中，相迹点沿相轨迹向，相迹点沿相轨迹向x x轴正方向轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面，相轨迹箭头向左。，相轨迹箭头向左。总之，相迹点在相轨迹上总是按顺时针方向运动。当相轨总之，相迹点在相轨

73、迹上总是按顺时针方向运动。当相轨迹穿越迹穿越x轴交点处有轴交点处有，因此，相轨迹总是以，因此，相轨迹总是以方向方向通过通过x轴。轴。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 95通过相平面上任一点的相轨迹在该点处的斜率为：通过相平面上任一点的相轨迹在该点处的斜率为：相平面上任一点相平面上任一点( (，) )，只要不同时满足，只要不同时满足和和，则，则a a是一个确定的值。这样，是一个确定的值。这样，通过该点的相轨迹不可能多于一条，相轨迹不会通过该点的相轨迹不可能多于一条，相轨迹不会在该点相交。这些点就是相平面上的普通点。在该点相交。这些点就是相平面上的普通点。理论力学理论力学 第一章牛顿力学的基本原理第一章牛顿力学的基本原理 96相平面上同时满足相平面上同时满足和和的点处，的点处，a不是一个确定的值。不是一个确定的值。通过该点的相轨迹有一条以上。这些点是相轨迹通过该点的相轨迹有一条以上。这些点是相轨迹的交点，称为的交点，称为奇点奇点。显然奇点只分布在相平面的显然奇点只分布在相平面的x轴上。轴上。由于奇点处由于奇点处，故奇点也称平衡点。，故奇点也称平衡点。对于二阶线性系统对于二阶线性系统( () )，奇点为坐标原点。，奇点为坐标原点。