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1、$1 $1 引言引言非线性非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非非线线性性系系统统：如如果果一一个个控控制制系系统统，包包含含一一个个或或一一个个以以上上具具有有非非线线性性静静特特性性的的元元件件或或环环节节，则则称称这这类类系系统统为为非非线线性性系系统统，其其特特性不能用线性微分方程来描述。性不能用线性微分方程来描述。一控制系统中的典型非线性特性一控制系统中的典型非线性特性下下面面介介绍绍的的这这些些特特性性中中，一一些些是是组组成成控控制制系系统统的的元元件件所所固固有有的的，如如饱饱和和特特性性，死死区区特特性性和和滞滞环环特特性性
2、等等，这这些些特特性性一一般般来来说说对对控控制制系系统统的的性性能能是是不不利利的的；另另一一些些特特性性则则是是为为了了改改善善系系统统的的性性能能而而人人为为加加入入的的，如如继继电电器器特特性性，变变增增益益特特性性，在在控控制制系系统统中中加加入入这这类类特特性性，一一般般来来说说能能使使系系统统具具有有比比线线性性系系统更为优良的动态特性。统更为优良的动态特性。(1) (1) 饱和特性饱和特性（2 2）死区特性）死区特性式中式中 a a- -线性区宽度线性区宽度 k k- -线性区特性的斜率线性区特性的斜率 危危害害：使使系系统统输输出出信信号号在在相相位位上上产产生生滞滞后后，从
3、从而而降降低低系系统统的的相相对对 稳定性，使系统产生自持振荡。稳定性，使系统产生自持振荡。（3 3）间隙特性）间隙特性功能：改善系统性能的切换元件功能：改善系统性能的切换元件（4 4）继电器特性）继电器特性特点特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性
4、化本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性二非线性控制系统的特性二非线性控制系统的特性（1 1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型是线性微分方程，它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型为非线性微分方程，不能使用叠加原理。为非线性微分方程，不能使用叠加原理。(5)(5)变增益特性变增益特性对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论对非线性系统，一般
5、并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。（2 2）在在线线性性系系统统中中，系系统统的的稳稳定定性性只只与与其其结结构构和和参参数数有有关关，而而与与初初始始条条件件无无关关。对对于于线线性性定定常常系系统统，稳稳定定性性仅仅取取决决于于特特征征根根在在s s平平面面的的分分布布。但但非非线线性性系系统统的的稳稳定定性性除除和和系系统统的的结结构构形形式式及及参参数数有有关关外
6、外，还还和和初初始始条条件件有有关关。在在不不同同的的初初始始条条件件下下，运运动动的的最最终终状状态态可可能能完完全全不不同同。如如有有的的系系统统初初始始值值处处于于较较小小区区域域内内时时是是稳稳定定的的，而而当当初初始始值值处处于于较较大大区区域域内内时时则则变变为为不不稳稳定定。反反之之，也也可可能能初初始始值值大大时时系统稳定，而初始值小则不稳定。甚至还会出现更为复杂的情况。系统稳定，而初始值小则不稳定。甚至还会出现更为复杂的情况。（3 3）在在非非线线性性系系统统中中，除除了了从从平平衡衡状状态态发发散散或或收收敛敛于于平平衡衡状状态态两两种种运运动动形形式式外外，往往往往即即使
7、使无无外外作作用用存存在在，系系统统也也可可能能产产生生具具有有一一定定振幅和频率的稳定的等幅振荡。振幅和频率的稳定的等幅振荡。自自持持振振荡荡：无无外外作作用用时时非非线线性性系系统统内内部部产产生生的的稳稳定定的的等等幅幅振振荡荡称称为自持振荡，简称自振荡。为自持振荡，简称自振荡。改改变变非非线线性性系系统统的的结结构构和和参参数数，可可以以改改变变自自持持振振荡荡的的振振幅幅和和频频率率，或消除自持振荡。或消除自持振荡。对对线线性性系系统统，围围绕绕其其平平衡衡状状态态只只有有发发散散和和收收敛敛两两种种运运动动形形式式，其其中不可能产生稳定的自持振荡。中不可能产生稳定的自持振荡。（4
8、4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。三非线性系统的研究方法三非线性系统的研究方法 现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。对非
9、本质非线性系统对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统对本质非线性系统 二阶系统：相平面法二阶系统：相平面法 高阶系统：描述函数法高阶系统：描述函数法$2 $2 相平面法相平面法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。一基本概念二线性系统的相轨迹二线性系统的相轨迹相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。（6 6）三三. .相轨迹的绘制相轨迹的绘制b.b.直接积分法直接积分法（2 2）图解法）图解法a.a.等倾线
10、法等倾线法等倾线等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点 的连线的连线原理原理步骤：步骤：a.a.根据等倾线方程式（根据等倾线方程式（* *），做出不同值的等倾线），做出不同值的等倾线b.b.根据初始条件确定相轨迹的起始点根据初始条件确定相轨迹的起始点c.c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第率近似等于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的二条等倾线的交点向相邻的第三条等倾线
11、画直线。这段直线的斜率等于第二斜率等于第二. .第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即第三等倾线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。可作出相轨迹。 四四. .由相轨迹求时间解由相轨迹求时间解2 2根据根据求时间解求时间解以以为横坐标，为横坐标，为纵坐标为纵坐标则有如下轨迹则有如下轨迹便是阴影部分的面积便是阴影部分的面积五非线性系统的相平面分析五非线性系统的相平面分析1 1基本概念基本概念实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外极极限限环环：极极限限环环是是相相平平面面图图上上一一个
12、个孤孤立立的的封封闭闭轨轨迹迹，所所有有极极限限环环附附近近的的相相轨轨迹迹都都将将卷卷向向极极限限环环，或或从从极极限限环环卷卷出出。极极限限环环内内部部（或或外外部部）的的相相轨轨迹迹，总总是是不不可可能能穿穿过过极限环而进入它的外部（或内部）。极限环而进入它的外部（或内部）。（1 1）稳稳定定极极限限环环 在在极极限限环环附附近近，起起始始于于极极限限环环外外部部或或内内部部的的相相轨轨迹迹均均收收敛敛于于该该极极限限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。环。这时，系统表现为等幅持续振荡。（2 2）不稳定极限环不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹总是在极限环附近的相轨迹总是从极限环发散出去。在
13、这种情况下，如果相从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。则该相轨迹发散至无穷远。（3 3）半稳定极限环半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环于极限环; ; 或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部
14、各点的相轨迹收敛于原点。于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于原点。 一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转换线。区域的边界线称为开关线或转换线。2 2非线性系统相轨迹非线性系统相轨迹 因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分
15、段线性因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。作。（1 1）将将非非线线性性特特性性用用分分段段的的直直线线特特性性来来表表示示，写写出出相相应应线线段段的的数学表达式。数学表达式。（2 2）首首先先在在相相平平面面上上选选择择合合适适的的坐坐标标，一一般般常常用用误误差差及及其其导导数数分分别别为为横横纵纵坐坐标标。然然后后将将相相平平面面根根据据非非线线性性特特性性分分成成若若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3 3）确定每个区
16、域的奇点类别和在相平面上的位置。）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4 4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5 5）将将相相邻邻区区域域的的相相轨轨迹迹，根根据据在在相相邻邻两两区区分分界界线线上上的的点点对对于于相相邻邻两两区区具具有有相相同同工工作作状状态态的的原原则则连连接接起起来来，便便得得到到整整个非线性系统的相轨迹。个非线性系统的相轨迹。（6 6）基基于于该该相相轨轨迹迹，全全面面分分析析二二阶阶非非线线性性系系统统的的动动态态及及稳稳态态特特性。性。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：用相平面法分析非线性系统的一般步骤：例例1.1
17、.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。初始状态初始状态-M-e0M 例例2.2.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。作用下的相轨迹，并分析该系统的特性。初始状态初始状态解解：死区特性的数学表达式为死区特性的数学表达式为线性部分微分方程为线性部分微分方程为而而根据死区特性，系统可分为三个区根据死区特性，系统可分为三个区I I区区区区区区故有故有(1)(1)I I区区区区区区三个区
18、的微分方程分别为三个区的微分方程分别为在在I I区区奇点正好位于奇点正好位于I I，区分界线上区分界线上; ;说明相轨迹是斜率为的说明相轨迹是斜率为的 直线或直线或在在区区同理在同理在区，等倾线为区，等倾线为起始坐标起始坐标(2)(2)渐近线渐近线虚奇点虚奇点实奇点实奇点例例3 3解：解：I I区区区区区区衰减振荡，最终稳态误差为常值衰减振荡，最终稳态误差为常值 例例1 1 求下列方程的奇点，并确定奇点类型求下列方程的奇点，并确定奇点类型解：奇点解：奇点故奇点为中心点故奇点为中心点 令令在奇点处，将在奇点处，将 进行泰勒进行泰勒(Taylor)(Taylor)级数展开级数展开故有故有特征方程特
19、征方程所以为不稳定焦点所以为不稳定焦点$3 $3 描述函数法描述函数法一本质非线性特性的谐波线性化一本质非线性特性的谐波线性化1谐波线性化：具有本质非线性的非线性元件在正弦输入作用下，在其非正弦周期函数的输出响应中，假设只有基波分量有意义，从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似。3应用描述函数法分析非线性系统的前提a.非线性特性具有奇对称性b.非线性系统具有图a所示的典型结构c.非线性部分输出x(t)中的基波分量最强d.非线性部分G(s)的低通滤波效应较好4.4.描述函数描述函数b.b.非线性特性的描述函数的求取方法非线性特性的描述函数的求取方法非线性元件的正弦输入为非线性元件
20、的正弦输入为式中式中其非线性周期输出其非线性周期输出 付立叶级数为付立叶级数为的基波分量为的基波分量为若非线性特性是奇对称的若非线性特性是奇对称的式中式中二典型非线性特性的描述函数二典型非线性特性的描述函数（1 1）饱和特性的描述函数）饱和特性的描述函数（2 2）死区特性描述函数）死区特性描述函数（3 3）间隙特性的描述函数）间隙特性的描述函数（4 4）继电特性描述函数）继电特性描述函数（5 5）变增益特性的描述函数）变增益特性的描述函数(6)(6)典型非线性环节串联时的描述函数典型非线性环节串联时的描述函数例1 求取非线性环节的等效形式例2 三三. .非线性控制系统的描述函数分析非线性控制系
21、统的描述函数分析(1)(1)控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析特征方程为特征方程为相当于相当于非线性特性非线性特性的负倒描述的负倒描述函数函数NyquistNyquist图上分析谐波线性化系统稳定的准则是图上分析谐波线性化系统稳定的准则是(2)(2)1 1N N( (A A) )的绘制及特点的绘制及特点负倒描述函负倒描述函数曲线数曲线1 1N N( (A A) )不是像（不是像（1 1，j0j0）点那样的固定在负实轴的静止点那样的固定在负实轴的静止点，而是随线性系统运动状态点，而是随线性系统运动状态变化的变化的“动点动点”，当，当A A改变时，改变时，该点沿负倒描述函数曲线移动。该点沿负
22、倒描述函数曲线移动。1 1N N( (A A) )的绘制步骤的绘制步骤a.a.根据根据N N( (A A) )写出写出1 1N N( (A A) )的表达式的表达式b.b.令令A A从小到大取值从小到大取值c.c.在复平面上描点在复平面上描点(3)(3)自振分析自振分析a.a.自振的确定自振的确定自振是没有外部激励条件下，系统内部自身产生的稳定周期运动自振是没有外部激励条件下，系统内部自身产生的稳定周期运动当当 与与1 1N N( (A A) )相交时相交时自振的必自振的必要条件要条件不稳定区域e ec cd df fb.b.自振参数的确定自振参数的确定例例1 1 设含理想继电器特性的系统方设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。的振幅和角频率。M MM MM MM M继电特性的描述函数为继电特性的描述函数为这里，这里，m m=1=1
