《高中数学 第二章 平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法 2.2.1 向量的加法课件2 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法 2.2.1 向量的加法课件2 北师大版必修4（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.22.2从位移的合成到向量的加法从位移的合成到向量的加法2.2.1 2.2.1 向量的加法向量的加法【知识提炼知识提炼】1.1.向量的加法向量的加法(1)(1)定义定义: :求两个向量求两个向量_._.和的运算和的运算(2)(2)运算法则运算法则a+ +b 2.2.向量加法的运算律向量加法的运算律(1)(1)交换律交换律: :a+ +b=_.=_.(2)(2)结合律结合律:(:(a+ +b)+)+c= =a+(_).+(_).特别地特别地: :对于零向量与任一向量对于零向量与任一向量a的和有的和有0+ +a=_=_.=_=_.b+ +ab+ +ca+ +0a【即时小测即时小测】1.1.思考
2、下列问题思考下列问题: :(1)(1)两个向量的和向量方向如何确定两个向量的和向量方向如何确定? ?提示提示: :根据向量加法的三角形法则根据向量加法的三角形法则, ,即即“首尾相接首尾相接, ,起点指向终点起点指向终点”. .(2)(2)力的合成与向量的加法有着怎样的关系力的合成与向量的加法有着怎样的关系? ?提示提示: :力的合成也可以看成是向量加法的一个物理模型力的合成也可以看成是向量加法的一个物理模型. .2. 2. 等于等于( () )A.0 B.A.0 B.0 C.2 D.-2 C.2 D.-2【解析解析】选选B.B.如图如图, ,由向量加法的运算法则可知由向量加法的运算法则可知
3、3.3.在四边形在四边形ABCDABCD中中, , 则则( () )A.ABCDA.ABCD一定是矩形一定是矩形 B.ABCDB.ABCD一定是菱形一定是菱形C.ABCDC.ABCD一定是正方形一定是正方形 D.ABCDD.ABCD一定是平行四边形一定是平行四边形【解析解析】选选D.D.由由 知知A,B,C,DA,B,C,D构成的四边形一定是平行四边形构成的四边形一定是平行四边形. .4.4.化简化简 =_. =_.【解析解析】原式原式= = 答案答案: :5.5.在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,边长为边长为1, 1, 则则| |a+ +b|=_.|=_.【解析解析】a+ +b= =
4、 所以所以| |a+ +b|=| |= .|=| |= .答案答案: :【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 向量的加法法则向量的加法法则观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同? ?问题问题2:2:两个向量共线时怎样求和两个向量共线时怎样求和? ?问题问题3:3:多个向量相加时多个向量相加时, ,运用哪个法则求解运用哪个法则求解? ?【总结提升总结提升】对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解(1)(1)两个法则的使用条件不同两
5、个法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和三角形法则适用于任意两个非零向量求和, ,平行四边形法则只适用于平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和两个不共线的向量求和. .当两个向量不共线时当两个向量不共线时, ,两个法则是一致的两个法则是一致的. .如图所示如图所示: (: (平行四边形法则平行四边形法则),),又因为又因为 ( (三角形法则三角形法则). ). (2)(2)在使用三角形法则时在使用三角形法则时, ,应注意应注意“首尾相接首尾相接”; ;在使用平行四边形法在使用平行四边形法则时相加向量共起点则时相加向量共起点. .(3)(3)多个向量相加的运算法则推广多个向量
6、相加的运算法则推广两个向量相加有三角形法则两个向量相加有三角形法则, ,多个向量相加怎么办呢多个向量相加怎么办呢? ?我们知道我们知道: :两个两个向量相加的三角形法则的物理模型是位移的合成向量相加的三角形法则的物理模型是位移的合成. .类似地类似地, ,多个向量的多个向量的相加相加, ,也可以用位移合成也可以用位移合成, ,即向量求和的三角形法则可推广到多个向量即向量求和的三角形法则可推广到多个向量求和的多边形法则求和的多边形法则:n:n个向量经过平移个向量经过平移, ,顺次使前一个向量的终点与后顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合一个向量的起点重合, ,组成一个向量折线组成一个向量
7、折线, ,这这n n个向量的和等于折线起个向量的和等于折线起点到终点的向量点到终点的向量, ,即即: : 特别地特别地: : 知识点知识点2 2 向量加法的运算律向量加法的运算律观察图形观察图形, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:向量加法的交换律中向量向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗可以是零向量吗? ?问题问题2:2:任意两个向量相加都可以用平行四边形法则吗任意两个向量相加都可以用平行四边形法则吗? ?问题问题3:3:向量加法的交换律和结合律对多个向量还成立吗向量加法的交换律和结合律对多个向量还成立吗? ?【总结提升总结提升】1.1.向量加法的交换律向量加法的交换律在图在
8、图中的平行四边形中的平行四边形ABCDABCD中中, , 故故a+ +b= =b+ +a. .即向量加法满足交换律即向量加法满足交换律. .当向量当向量a, ,b至少有一个为零向量时至少有一个为零向量时, ,交换律显然成立交换律显然成立, ,当当a, ,b为非零向为非零向量且共线时量且共线时, ,(1)(1)当当a, ,b同向时同向时, ,向量向量a+ +b与与a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|+|+|b|;|;向量向量b+ +a与与b同向同向, ,且且| |b+ +a|=|=|b|+|+|a|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .(2)(2)当当a, ,b反向时反向时,
9、,不妨设不妨设| |a|b|,|,a+ +b与与a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|;|;b+ +a与与a同向同向, ,且且| |b+ +a|=|=|a|-|-|b|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .2.2.向量加法的结合律向量加法的结合律在图在图中中, , 所以所以 从而从而( (a+ +b)+)+c= =a+(+(b+ +c).).即向量加即向量加法满足结合律法满足结合律. .3.3.向量加法运算律的推广向量加法运算律的推广向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立, ,恰当地使用运算律恰当地使用运算律可以实现简化
10、运算的目的可以实现简化运算的目的. .在进行多个向量的加法运算时在进行多个向量的加法运算时, ,可以按照任可以按照任意的次序和任意的组合进行意的次序和任意的组合进行. .如如( (a+ +b)+()+(c+ +d)=()=(a+ +d)+()+(b+ +c).).【题型探究题型探究】类型一类型一 向量求和向量求和【典典例例】1.1.如如图图所所示示, ,四四边边形形ABCDABCD是是平平行行四四边边形形,E,F,G,H,E,F,G,H分分别别是是所所在在边的中点边的中点, ,点点O O是对角线的交点是对角线的交点, ,则下列各式正确的是则下列各式正确的是( () ) A.A.和和B.B.和和
11、C.C.和和D.D.和和2.2.如图如图, ,已知梯形已知梯形ABCD,ADBC,ABCD,ADBC,则则 =_. =_.【解题探究解题探究】1.1.解答本题可用向量的哪些知识解答本题可用向量的哪些知识? ?提示提示: :显然可用向量的加法的平行四边形法则及相等向量判断显然可用向量的加法的平行四边形法则及相等向量判断. .2.2.运用向量加法的结合律应如何结合较好运用向量加法的结合律应如何结合较好? ?提示提示: :一个向量的终点是另一个向量的起点时一个向量的终点是另一个向量的起点时, ,两个向量两两结合较好两个向量两两结合较好. .【解析解析】1.1.选选A.A.由向量加法的平行四边形法则知
12、由向量加法的平行四边形法则知 所以所以正确正确. .因为因为 又因为又因为 所以所以不正确不正确. .因为因为 又因为又因为 而而 所以所以正确正确. .因为因为 所以所以不正确不正确. .2. 2. 答案答案: :【方法技巧方法技巧】向量加法运算律的应用原则及注意点向量加法运算律的应用原则及注意点(1)(1)应用原则应用原则: :利用代数方法通过向量加法的交换律利用代数方法通过向量加法的交换律, ,使各向量使各向量“首尾首尾相接相接”, ,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. .(2)(2)注意点注意点三角形法则强调三角形法则强调“首尾相接首尾相接”
13、, ,平行四边形法则强调平行四边形法则强调“起点相同起点相同”; ;向量的和仍是向量向量的和仍是向量; ;向量加法的三角形法则和平行四边形法则实质上是向量加法的几何向量加法的三角形法则和平行四边形法则实质上是向量加法的几何意义意义. .【变式训练变式训练】 =_. =_.【解析解析】方法一方法一: : 方法二方法二: : 答案答案: :类型二类型二 利用向量的加法法则作图利用向量的加法法则作图【典典例例】如如图图, ,已已知知a, ,b, ,分分别别用用向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则和和平平行行四四边边形形法法则作出则作出a+ +b. .【解题探究解题探究】如何作不共线的两个向量的和
14、如何作不共线的两个向量的和? ?提示提示: :在平面内任取一点在平面内任取一点A,A,作作 = =a, ,然后利用三角形法则或平行四边然后利用三角形法则或平行四边形法则形法则, ,作作 进而可得进而可得. .【解析解析】如图所示如图所示, ,a+ +b= = 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )如果两个向量变为如图所示如果两个向量变为如图所示, ,作出作出a+ +b. .【解析解析】方法一方法一: :在平面内任意取一点在平面内任意取一点O,O,作作如图如图. .方法二方法二: :在平面内任意取一点在平面内任意取一点O,O,以以OA,OBOA,OB为邻边作为邻边作 OACB,O
15、ACB,且且连接连接OC,OC,则则 = =a+ +b. .如图如图. .2.(2.(变变换换条条件件) )若若本本例例再再增增加加一一个个向向量量c, ,如如图图, ,利利用用三三角角形形法法则则作作出出a+ +b+ +c. .【解析解析】如图如图, ,在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 【方法技巧方法技巧】利用向量加法的两种法则作图的方法利用向量加法的两种法则作图的方法【补偿训练补偿训练】若正方形若正方形ABCDABCD的边长为的边长为1, 1, 试作出向量试作出向量a+ +b+ +c. .【解析解析】根据平行四边形法则可知根据平行四边形法则可知, , 根据三角形法则根据三角形法
16、则, ,延长延长AC,AC,在在ACAC的延长线上作的延长线上作 如图如图. .【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )本题条件不变本题条件不变, ,求求| |a+ +b+ +c|.|.【解析解析】因为因为 2.(2.(变换条件变换条件) )如图如图,O,O为为ABCABC内一点内一点, , 求作求作b+ +c+ +a. .【解析解析】方法一方法一: :如图如图, ,以以 为邻边作为邻边作 OBDC,OBDC,连接连接则则 方法二方法二: :如图如图, ,作作连接连接AD,AD,则则 类型三类型三 向量加法的应用向量加法的应用【典例典例】如图如图,O,O是四边形是四边形ABCDA
17、BCD对角线的交点对角线的交点, ,使得使得求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .【解题探究解题探究】证明平行四边形的方法有哪些证明平行四边形的方法有哪些? ?本例可从什么角度入手本例可从什么角度入手? ?提示提示: :可证一组对边平行且相等可证一组对边平行且相等, ,也可证对角线互相平分也可证对角线互相平分, ,本例可证本例可证 进而可得进而可得ABAB DC.DC.【解析解析】因为因为 所以所以所以所以ABAB DC,DC,所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .【延伸探究延伸探究】本本例例的的条条件件不不变变, ,在在BDBD的
18、的延延长长线线和和反反向向延延长长线线上上各各取取一一点点F,E,F,E,使使BE=DF.BE=DF.求证求证: :四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .【证明证明】 因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,所以所以 因为因为BE=DF,BE=DF,且且 的方向相同的方向相同, ,所以所以 所以所以 即即AEAE与与FCFC平行且相等平行且相等, ,所以四边形所以四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .【方法技巧方法技巧】应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤(1)(1)表表示示:
19、:用用向向量量表表示示相相关关的的量量, ,将将所所有有解解决决的的问问题题转转化化为为向向量量的的加加法法问题问题. .(2)(2)运运算算: :应应用用向向量量加加法法的的平平行行四四边边形形法法则则或或三三角角形形法法则则, ,进进行行相相关关运运算算. .(3)(3)还原还原: :根据向量运算的结果根据向量运算的结果, ,结合向量共线、相等概念回答原问题结合向量共线、相等概念回答原问题. .【变变式式训训练练】一一架架救救援援直直升升飞飞机机从从A A地地沿沿北北偏偏东东6060方方向向飞飞行行了了40km40km到到达达B B地地, ,再再由由B B地地沿沿正正北北方方向向飞飞行行4
20、0km40km到到达达C C地地, ,求求此此时时直直升升飞飞机机与与A A地地的相对位置的相对位置. .【解题指南解题指南】利用向量加法的三角形法则利用向量加法的三角形法则, ,知知是线段是线段ACAC的长度的长度. .【解析解析】如图如图, ,设设分别是直升飞机的两次位移分别是直升飞机的两次位移, ,则则 表示两次位移的合位移表示两次位移的合位移, ,即即 在在RtABDRtABD中中, , 在在RtACDRtACD中中, , CAD=60CAD=60, ,即此时直升飞机位于即此时直升飞机位于A A地北偏东地北偏东3030方向方向, ,且距离且距离A A地地40 km40 km处处. .【
21、补偿训练补偿训练】P P是是ABCABC内的一点内的一点, , 则则ABCABC的面的面积与积与ABPABP的面积之比为的面积之比为_._.【解析解析】如图如图,D,D为为BCBC的中点的中点, ,则则所所以以P P为为ABCABC的的重重心心, ,故故C C到到ABAB距距离离为为P P到到ABAB距距离离的的3 3倍倍, ,即即若若ABCABC中中ABAB边上的高为边上的高为h,h,则则ABPABP中中ABAB边上的高为边上的高为 h,h,所以所以 答案答案: :3 3易错案例易错案例 向量的求和向量的求和【典例典例】化简化简 =_. =_.【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析上面
22、的解析过程分析上面的解析过程, ,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗? ?提提示示: :错错误误的的根根本本原原因因在在于于对对向向量量的的加加法法运运算算的的结结果果没没有有正正确确理理解解. .平平面面向向量量的的加加法法运运算算的的结结果果仍仍是是一一个个向向量量, ,特特别别对对于于结结果果为为零零向向量量的的运运算算, ,往往往往容容易易出出现现符符号号方方面面的的错错误误, ,认认为为结结果果为为零零而而将将结结果果0错错误误地地写写成成0.0.【自我矫正自我矫正】方法一方法一: : 方法二方法二: : 答案答案: :0【防范措施防范措施】1.1.正确理解向量的加法正确理解向量的加法平平面面向向量量的的加加法法运运算算的的结结果果仍仍是是一一个个向向量量, ,特特别别对对于于结结果果为为零零向向量量的的运运算算, ,要要注注意意零零向向量量的的书书写写. .另另外外把把握握“首首尾尾相相接接且且为为和和”的的三三角角形形法法则则. .2.2.恰当地利用向量的加法运算律恰当地利用向量的加法运算律灵灵活活地地运运用用向向量量的的加加法法运运算算律律可可实实现现简简化化运运算算的的目目的的, ,如如本本例例利利用用结结合律使得多个向量相加的运算变得简洁明快合律使得多个向量相加的运算变得简洁明快. .
