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1、勾股定理的证明勾股定理的证明325242 两千多年来，人两千多年来，人们对勾股定理的勾股定理的证明明颇感感兴趣，因趣，因为这个定理太个定理太贴近人近人们的生活的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探都愿意探讨和研究它的和研究它的证明因此不断出明因此不断出现关于勾股定理的新关于勾股定理的新证法法1 1传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德的证法任总统茄菲尔德的证法3 3刘徽的证法刘徽的证法勾股定理的证明5 5其他证法其他证法 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这
2、棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有什么关系吗？有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：个基本图形组成的：一个直角三角形一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形
3、有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 关于勾股定理的关于勾股定理的证明，明，现在人在人类保存下来的最早的保存下来的最早的文字文字资料是欧几里得（公元前料是欧几里得（公元前300年左右）所著的年左右）所著的几几何原本何原本第一卷中的命第一卷中的命题47：“直角三角形斜直角三角形斜边上的正上的正方形等于两直角方形等于两直角边上的两个正方形之和上的两个正方形之和”其其证明是用明是用面面积来来进行的行的传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在已知：如图，以在RtABC中，中，ACB=90，分别以，分别以a、b、c为为边向外
4、作正方形边向外作正方形 求证：求证：a2 +b2=c2 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行线平行线AK和和BH间的距离），间的距离）， S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADCABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG ， 也就是也就是 a2+b2=c2传说中毕
5、达哥拉斯的证法证明：从证明：从RtABC的三边向外各作一个正方形（如图），作的三边向外各作一个正方形（如图），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB返回 由于矩形由于矩形ADNM和和 ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行线即平行线AD和和CN间的距离间的距离)， 我国对勾股定理的证明采取的是割我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的赵爽的勾股圆方图注勾股圆方图注在这篇短文在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的中，赵爽画了一张他所谓的“弦图弦图”，其中每一个直角三
6、角形称为，其中每一个直角三角形称为“朱实朱实”，中间的一个正方形称为，中间的一个正方形称为“中黄实中黄实”，以弦为边的大正方形叫，以弦为边的大正方形叫“弦实弦实”，所以，如果以，所以，如果以a、b、c分别表示勾、分别表示勾、股、弦之长，股、弦之长，那么：那么： 赵爽弦图的证法得：得：c2=a2+ b2返回刘徽在刘徽在九章算术九章算术中对勾股定理的证明：中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正
7、方为朱方，正方形形BEFG为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使，使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为，是为“出入相补，各从其类出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形其余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽的证法返回学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数余种其中，美国第二十任总统
8、伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声
9、争论，时而小声探讨由于好小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长，那么斜边长为多少呢？为多少呢？”伽菲尔
10、德答到：伽菲尔德答到：“是是5呀呀”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别为如果两条直角边分别为5和和7，那，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定那斜边的平方一定等于等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思于是伽菲尔德不再散步，立
11、即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回向常春的证明方法向常春的证明方法 注注:这一方法是向常春这一方法是向常春于于1994年年3月月20日构想发日构想发现的新法现的新法abcba-bADCBEc 我们用拼图的方法来说明我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的勾股定理是正确的试试 一一 试试证明证明:上面的大正方形的面积为：上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：下面大的正方形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是边长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即观察下面的图形，你还能发现什么吗？观察下面的图形，你还能发现什么吗？
